Сергей Ларин

School of Mathematics Physics and Computer Technology
Krasnoyarsk State Pedagogical University
Krasnoyarsk Russia
ORCiD: 0000-0002-5900-3463
SCOPUS: 56250614800
E-mail: larin_serg@mail.ru

Резюме. В статье дано новое анимационно-геометрическое представление полиномов на комплексной плоскости при условии, что модуль комплексной переменной равен 1, в виде спутниковых систем. Аналогичное представление в виде пространственных спутниковых систем дано для полиномов от комплексной переменной \(z,|z|=1\), коэффициенты которых являются векторными кватернионами (их скалярная часть равна нулю). Представлена эффективность и целесообразность использования анимационных рисунков как средства визуализации математических знаний в современной дидактике обучения математике.

Ключови думи: анимационные рисунки; GeoGebra; спутниковая система; комплексные числа; кватернионы; многочлены

Введение

Материал статьи имеет два аспекта: чисто математический и методический. С математической точки зрения представлен новый анимационно-геометрический взгляд на многочлены от комплексной переменной \(Z\) при условии \(|z|=1\) как на спутниковые системы на плоскости и в пространстве. Этот материал в школе и в педагогическом вузе можно использовать как основу для организации учебно-исследовательской деятельности, расширяющей и углубляющей обязательные знания по комплексным числам. С методической точки зрения в статье демонстрируется роль и значение анимационных рисунков, выполненных в компьютерной среде GeoGebra. Они не только позволяют визуализировать математические понятия, но и делать математические утверждения очевидными в буквальном смысле этого слова (их «очи видят»). Кроме того, они приобщают обучаемого к технологиям для будущего, формируя личность, которая призвана раскрыть свой творческий потенциал в условиях цифровой экономики. Анимационные рисунки позволяют экспериментировать, поддерживая исследовательский стиль обучения математике, и представляют собой элементы цифровизации образования.

Выбор программы GeoGebra обусловлен тем, что она свободно распространяется, содержит достаточно широкий инструментарий и проста в освоении. Интернет-ресурс Geogebra.org \({ }^{1)}\) содержит большой объем демонстрационного учебно-исследовательского материала, который непрерывно пополняется. С работами автора в этом направлении можно познакомиться по публикациям, перечисленным в списке литературы.

1. Спутниковая система порядка \(\boldsymbol{n}\) и ее определяющий многочлен

Представим следующую картину. На координатной плоскости начало координат назовем звездой. Вокруг звезды по круговым орбитам вращаются точки – спутники звезды. Вокруг некоторых из них по круговым орбитам вращаются точки – спутники спутников, и так далее. Как алгебраически описать такую спутниковую систему? Прежде, чем перейти к решению этой задачи, дадим конструктивное определение спутниковой системы порядка \(n\), а для этого предварительно введем вспомогательное понятие.

Определение 1. Набором числовых параметров спутниковой системы по-рядка \(n\) назовем запись вида \(S\left(\left(r_{1}, p_{1}, k_{1}\right), \ldots,\left(r_{n}, p_{n}, k_{n}\right)\right)\), где \(r_{1}, \ldots, r_{n}-\) положительные действительные числа, называемые радиусами орбит спутников системы, \(p_{1}, \ldots, p_{n}\) - целые неотрицательные числа, называемые показателями вращения спутников, \(k_{1}, \ldots, k_{n}\) - комплексные числа, модуль которых равен 1 , которые будем называть угловыми коэффициентами спутников.

Сформулируем конструктивное определение спутниковой системы порядка \(n\), описывая ее построение. Анимационный рисунок 1 демонстрирует это построение для \(n=3\).

Определение 2. Спутниковой системой порядка \(n\), заданной набором числовых параметров \(S\left(\left(r_{1}, p_{1}, k_{1}\right), \ldots,\left(r_{n}, p_{n}, k_{n}\right)\right)\), называется последовательность точек \(O_{0}, O_{1}, \ldots, O_{n}\), которая строится следующим образом.

1. Построение исходных данных. Начало координат обозначим \(O_{0}\) и назовем звездой. Строим единичную окружность и отмечаем на ней точку, изображающую комплексную переменную \(Z\), которую будем называть независимой планетой. На единичной окружности строим точки, изображающие угловые коэффициенты \(k_{1}, \ldots, k_{n}\). Вводим углы \(\varphi=\arg (z), \alpha_{1}=\arg \left(k_{1}\right)\), \(\ldots, \alpha_{n}=\arg \left(k_{n}\right)\). Ползунками вводим радиусы орбит \(r_{1}, \ldots, r_{n}\) и показатели вращений \(p_{1}, \ldots, p_{n}\).

2. Начало построения спутниковой системы (построение первого спутника \(O_{1}\) ). Строим окружность с центром в точке \(O_{0}\) и радиусом \(r_{1}\), получаем орбиту первого спутника. Строим луч \(O_{0} z\) и отмечаем точку \(A_{1}\) пересечения луча и построенной орбиты. Поворачиваем точку \(A_{1}\) вокруг точки \(O_{0}\) на угол \(\alpha_{1}+p_{1} \varphi\) и получаем точку, которая является первым спутником \(O_{1}^{0}\) (спутником звезды \(O_{0}\) ). Если \(n=1\), то построение закончено. В противном случае продолжаем построения.

3. Шаг построения (построение следующего спутника). Пусть уже по-строена круговая орбита и на ней спутник \(O_{j}\) для \(O_{j-1}\). Строим орбиту следующего спутника \(O_{j+1}\) в виде окружности с центром в точке \(O_{j}\) и радиусом \(r_{j+1}\). Строим луч \(O_{j-1} O_{j}\) и выделяем из него луч с началом в точке \(O_{j}\), не содержащий точки \(O_{j-1}\). Отмечаем точку \(A_{j+1}\) пересечения этого луча с построенной орбитой. Поворачиваем точку \(A_{j+1}\) вокруг точки \(O_{j}\) на угол \(\alpha_{j+1}+p_{j+1} \varphi\) и получаем \(j+1\)-й спутник \(O_{j+1}\). Если \(j+1=n\), то построение закончено. Иначе выполняем очередной шаг построения. Построенная спутниковая система порядка \(n\) приходит в движение при анимации независимой планеты \(Z\) по единичной окружности.

Геометрический смысл показателя вращения \(p_{j}\) спутника \(O_{j}\) просматривается в повороте точки \(A_{j}\) на угол \(\alpha_{i}+p_{i} \varphi\), приводящего к построению спутника \(O_{j}\) число \(p_{j}\) показывает количество оборотов спутника, совмещающих его с точкой \(A_{j}\), за время одного оборота независимой планеты \(Z\) по своей орбите. Глядя на анимационный рисунок, можно подсчитать количество оборотов спутника \(O_{j}\) вокруг \(O_{j-1}\) за это же время и убедиться, что оно равно \(1+p_{1}+\ldots+p_{j}\) - факт, который будет доказан ниже. В этом еще одно проявление геометрического смысла показателей вращения.

Для алгебраического описания спутниковой системы порядка \(n\) всякую точку \((a, b)\) координатной плоскости будем трактовать как комплексное число \(a+b i\) и координатную плоскость называть комплексной плоскостью. Следующая теорема показывает вид алгебраической зависимости спутников как комплексных чисел от независимой планеты \(Z\) (независимой переменной).

Теорема 1. Пусть дана спутниковая система порядка \(n\) набором числовых параметров \(S\left(\left(r_{1}, p_{1}, k_{1}\right), \ldots,\left(r_{n}, p_{n}, k_{n}\right)\right)\) и изображениями на плоскости звезды - точки \(O_{0}\) в начале координат, планеты \(z\) - точки на единичной окружности и спутников \(O_{1}, \ldots, O_{n}\), построенных в соответствии с определением 2. Тогда для любого \(j=1, \ldots, n\)

\[ O_{j}=r_{1} k_{1} z^{1+p_{1}}+r_{2} k_{1} k_{2} z^{1+p_{1}+p_{2}}+\ldots+r_{j} k_{1} \ldots k_{j} z^{1+p_{1}+\ldots+p_{j}} \] причем когда планета \(Z\) совершает один оборот вокруг звезды \(O_{0}\), спутник \(O_{j}\) делает \(q_{j}=1+p_{1}+\ldots+p_{j}\) оборотов вокруг \(O_{j-1}\).

\(\arg O_{1}=\varphi+\alpha_{1}+p_{1} \varphi\). Следовательно, \(O_{1}=r_{1} k_{1} z^{1+p_{1}}\). Отсюда следует, что за один оборот точки \(Z\) по единичной окружности точка \(O_{1}\) совершает вокруг начала координат \(q_{1}=1+p_{1}\) оборотов.

2) Рассматривая на рисунке 1 параллелограмм \(O_{0} O_{1} O_{2} C_{2}\) и его вершины как комплексные числа, получаем \(O_{2}=O_{1}+C_{2},\left|C_{2}\right|=r_{2}\). При параллельных \(O_{1} O_{2}\) и \(O_{0} C_{2}\) и секущей \(O_{0} A_{2}\) отметим равенство углов \(\angle O_{1} O_{0} C_{2}=\angle A A_{2} O_{2} O_{2}\), откуда

\[ \begin{gathered} \arg C_{2}=\angle E O_{0} O_{1}+\angle O_{1} O_{0} C_{2}= \\ =\arg O_{1}+\alpha_{2}+p_{2} \varphi=\varphi+\alpha_{1}+p_{1} \varphi+\alpha_{2}+p_{2} \varphi=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\left(1+p_{1}+p_{2}\right) \varphi \end{gathered} \] Следовательно, \(C_{2}=r_{2} k_{1} k_{2} z^{1+p_{1}+p_{2}}\) и \(O_{2}=r_{1} k_{1} z^{p_{1}+1}+r_{2} k_{1} k_{2} z^{1+p_{1}+p_{2}}\).

3) Пусть для \(j\ge2\) доказано, что \(O_{j}=r_{1} k_{1} z^{1+p_{1}}+r_{2} k_{1} k_{2} z^{1+p_{1}+p_{2}}+\ldots+\underset{j}{\text { для }}+\underset{j}{j} \geq 2 k_{j} z^{1+p_{1}+\ldots+p_{j}} \quad\) и в параллелограмме \(O_{0} O_{j-1} O_{j} C_{j}\) вершина \(C_{j}\) как комплексное число выражается через \(z\) равенством \(C_j=r_jk_1...k_j\) \(z^{1+p_1+...+p_j}\) . Рассмотрим параллелограмм \(O_{0} O_{j} O_{j+1} C_{j+1}\). По построению, \(\quad\left|C_{j+1}\right|=r_{j+1} \quad\) и \(\arg C_{j+1}=\arg C_{j}+\alpha_{j+1}+p_{j+1} \varphi\). Следовательно,

\[ \arg C_{j+1}=\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{j}+\left(1+p_{1}+\ldots p_{j}\right) \varphi+\alpha_{j+1}+p_{j+1} \varphi= \]

\[ =\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{j}+\alpha_{j+1}+\left(1+p_{1}+\ldots+p_{j}+p_{j+1}\right) \varphi \]

Отсюда \(C_{j+1}=r_{j+1} k_{1} \ldots k_{j+1} z^{p_{j+1}+\ldots+p_{1}+1}\). Остается заметить, что \(O_{j+1}=O_{j}+C_{j+1}\).

Из доказанной формулы для \(O_{j}\), рассматривая параллелограмм \(O_{0} O_{j-1} O_{j} C_{j}\), видим, что точка \(O_{j}\) совершает вокруг точки \(O_{j-1}\) столько же оборотов, сколько совершает точка \(C_{j}\) вокруг начала координат. Из формулы для \(C_{j}\) вытекает, что это число равно \(q_{j}=1+p_{1}+\ldots+p_{j}\). Теорема доказана.

Например, на рисунке 1 , рассматривая параллелограмм \(O_{0} O_{2} O_{3} C_{3}\), видим, что по построению, \(\left|C_{3}\right|=r_{3}\) и \(\arg C_{3}=\arg C_{2}+\alpha_{3}+p_{3} \varphi\). Следовательно, \(\quad \arg C_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\left(1+p_{1}+p_{2}\right) \varphi+\alpha_{3}+p_{3} \varphi=\) \(\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\left(1+p_{1}+p_{2}+p_{3}\right) \varphi\), откуда \(C_{3}=r_{3} k_{1} k_{2} k_{3} z^{1+p_{1}+p_{2}+p_{3}}\) и \(O_{3}=O_{2}+C_{3}=r_{1} k_{1} z^{1+p_{1}}+r_{2} k_{1} k_{2} z^{1+p_{1}+p_{2}}+r_{3} k_{1} k_{2} k_{3} z^{1+p_{1}+p_{2}+p_{3}}\).

На рисунке 1 одновременно представлен определяющий полином спутниковой системы в смысле следующего определения.

Определение 3 . Пусть спутниковая система порядка \(n\) дана набором ее числовых параметров \(S\left(\left(r_{1}, p_{1}, k_{1}\right), \ldots,\left(r_{n}, p_{n}, k_{n}\right)\right)\). Полином

\[ s(z)=r_{1} k_{1} z^{p_{1}+1}+r_{2} k_{1} k_{2} z^{p_{2}+p_{1}+1}+\ldots+r_{n} k_{1} \ldots k_{n} z^{p_{n}+\ldots+p_{1}+1} \] назовем определяющим полиномом данной спутниковой системы.

На анимационном рисунке 1 видим, что последний спутник \(O_{3}\) совпадает с точкой \(S=s(z)\) при \(|z|=1\), что подтверждает теорему 1 .

Непосредственно из определения 3 вытекает, что последний спутник спутниковой системы порядка \(n\), оставляя след, вычерчивает кривую, которая является образом единичной окружности при действии на комплексной плоскости определяющего многочлена. Обращаясь к статьям (Larin & Mayer, 2018), (Larin, 2019), можно установить, что эта кривая является улиткой Паскаля порядка \(n\).

2. Построение спутниковой системы порядка \(\boldsymbol{n}\) по полиному

Докажем теорему, которая высвечивает путь построения спутниковой системы порядка \(n\) по данному полиному.

фициентамиТеорема 2. от Пусть компл дан ексной полино переменнойм с ненулевыми \(s(z)=a_{1} z^{q_{1}}+\ldots+a_{n} z^{q_{n}}\) комплqексными коэqф, где \(0 \lt q_{1} \lt \ldots \lt q_{n},|z|=1\). Построим \(j=1, \ldots, n\). Тогда последовательность тоединичнуючекS j = \(S_{0}, S_{1}, \ldots, S_{n}\) a1zqокружность+ ajявляется zqиj точдля ку \(z\) на ней. Построим точки \(S_{0}=0, S_{j}=a_{1} z^{q_{1}}+\ldots+a_{j} z^{q_{j}}\) спутниковой системой порядка \(n\), заданной набором числовых параметров \(S\left(\left(r_{1}, p_{1}, k_{1}\right), \ldots,\left(r_{n}, p_{n}, k_{n}\right)\right)\), p1,k1),...,(rn , pn , kn )) , где \(r_{j}=\left|a_{j}\right|, q_{0}=1, \quad p_{j}=q_{j}-q_{j-1}\), \(k_{j}=\tfrac{a_{j}\left|a_{j-1}\right|}{\left|a_{j}\right| a_{j-1}}\), причем данный полином является для нее определяющим.

Доказательство. Рассматривая равенство полиномов \(s(z)=a_{1} z^{q_{1}}+\ldots+a_{n} z^{q_{n}}\) \(=r_{1} k_{1} z^{1+p_{1}}+r_{2} k_{1} k_{2} z^{1+p_{1}+p_{2}}+\ldots+r_{n} k_{1} \ldots k_{n} z^{1+p_{1}+\ldots+p_{n}}\), получаем формулы, указанные в формулировке теоремы. Строим по найденному набору числовых параметров спутниковую систему в соответствии с определением 2 и убеждаемся, что в соответствии с определением 3 данный полином является определяющим для построенной спутниковой системы. Теорема доказана.

Теоремы 1 и 2 говорят о том, что спутниковые системы являются анимационно-геометрическими моделями полиномов при условии, что модуль переменной равен 1.

Приведем простой и естественный способ построения спутниковой системы по полиному: строим каждый его одночлен и получаем совокупность точек на концентрических окружностях. Затем последовательно складываем эти точки по правилу параллелограмма (рис. 3).

Определим спутниковую систему порядка ( \(n_{1}, \ldots, n_{m}\) ), как совокупность спутниковых систем порядка \(n_{j}\) для \(j=1, \ldots, m\) с общей звездой. Алгебраически она описывается совокупностью определяющих многочленов составляющих ее спутниковых систем порядков \(n_{j}\). На рисунке 4 изображена спутниковая система порядка \((3,2)\), которая представляет собой объединение спутниковой системы порядка 3 , состоящей из спутников \(O_{1}, O_{2}, O_{3}\), и спутниковой системы порядка 2 , состоящей из спутников \(O_{1}, O_{4}\) с общей звездой \(O_{0}\). Эта спутниковая система задается совокупностью двух определяющих полиномов \(\quad s(z)=r_{1} k_{1} z^{1+p_{1}}+r_{2} k_{1} k_{2} z^{1+p_{1}+p_{2}}+r_{3} k_{1} k_{2} k_{3} z^{1+p_{1}+p_{2}+p_{3}} \quad\) и \(w(z)=r_{1} k_{1} z^{1+p_{1}}+r_{4} k_{1} k_{4} z^{1+p_{1}+p_{4}}\).

Приведем пример построения спутниковой системы порядка ( 3,2 ) (рис. 4).

1. Построение исходных данных. Строим начало координат (звезду)

\((0,0)\), единичную окружность и точку \(Z\) на ней. На единичной окружности строим точки (комплексные числа) \(k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}\). Ползунками вводим параметры \(r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}\) (радиусы орбит) и \(p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\) (показатели вращений).

2. Построение спутников. Строкой ввода строим точки (комплексные числа) \(O_{1}=r_{1} k_{1} z^{1+p_{1}}, \quad O_{2}=O_{1}+r_{2} k_{1} k_{2} z^{1+p_{1}+p_{2}}\), \(O_{3}=O_{2}+r_{3} k_{1} k_{2} k_{3} z^{1+p_{1}+p_{2}+p_{3}}, O_{4}=O_{1}+r_{4} k_{1} k_{4} z^{1+p_{1}+p_{4}}\).

При анимации точки \(z\) спутниковая система приходит в движение.

3. Спутниковая система в пространстве

Для алгебраического описания спутниковых систем в пространстве нам понадобятся кватернионы и связанные с ними понятия векторного умножения и скалярного умножения векторов.

Всякий кватернион (Математическая Энциклопедия, 1977, т. 2, с. 838) записывается в виде \(a i+b j+c k+d\), где \(a, b, c, d\) - действительные числа, \(i, j, k\) называются мнимыми единицами и по определению удовлетворяют условию \(i^{2}=j^{2}=k^{2}=(i j k)^{2}=-1\). Число \(d\) называется скалярной (или действительной) частью, а \(a i+b j+c k\) векторной (или мнимой) частью кватерниона. Если \(d=0\), то кватернион будем называть векторным (или вектором) и обозначать без стрелки. Кватернионы ввел английский математик Гамильтон (W.R. Hamilton, 1806 - 1868) в работе 1843 г. (Hamilton, 1853), (Hance, 1867).

В соответствии с (Математическая Энциклопедия, 1977, т. 1, с. 634-635), векторное произведение векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) обозначается \([\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]\) или \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\), а скалярное произведение \((\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})\).Поскольку векторные кватернионыдоговариваемяписатьбез стрелок, то для них будемиспользовать обозначения соответственно \([a, b], a \times b\), \((a, b)\). Геометрически векторные кватернионы складываются по правилу параллелограмма. Чтобы умножить один кватернион на другой, нужно раскрыть скобки, перемножить мнимые единицы, сохраняя порядок их следования, и привести по-добные. Мнимые единицы умножаются по правилам: \(i j=k, j i=-k ; j k=i\), , \(k j=-i ; k i=j, i k=-j\). Пользуясь этими правилами, для векторных кватернионов (векторов) \(h=a i+b j+c k, h_{1}=a_{1} i+b_{1} j+c_{1} k \quad\) имеем \(h h_{1}=\left(b c_{1}-b_{1} c\right) i+\left(a_{1} c-a c_{1}\right) j+\left(a b_{1}-a_{1} b\right) k-a a_{1}-b b_{1}-c c_{1}=\left[h, h_{1}\right]-\left(h, h_{1}\right)\).

Видим, что произведение векторных кватернионов есть снова векторный кватернион тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть перемножаемые векторы перпендикулярны. Сами понятия векторное произведение и скалярное произведение векторов вошли в математику именно из теории кватернионов.

С этим багажом знаний перейдем к построению спутниковой системы в пространстве и ее алгебраическому описанию. Как и в случае спутниковой системы на плоскости, опишем построение спутниковой системы порядка \(n\) в пространстве и описание построения примем за конструктивное определение. На рисунке 5 изображено построение лишь одного спутника. Этого достаточно, чтобы построить любое количество спутников самостоятельно.

Построение спутниковой системы порядка \(n\) в пространстве.

Пусть даны ненулевые векторные кватерниононы \(\left\{a_{1}, \ldots, a_{n}\right\}\) (аналоги коэффициентов многочлена, задающего спутниковую систему на плоскости) и даны натуральные числа \(\left\{q_{1}, \ldots, q_{n}\right\}\) (показатели степеней комплекснной переменной).

1. Построение исходных данньх. Строим данную систему векторных кватернионов \(\left\{a_{1}, \ldots, a_{n}\right\}\) в виде точек пространства (по их координатам) и ползунками вводим показатели степеней переменной \(\left\{q_{1}, \ldots, q_{n}\right\}\). На рисунке 5 данный кватернион изображен точкой \(A\), показатель степени \(q\) введен ползунком.

2. Строим единичную сферу и единичные векторы осей координат \(i, j, k\) (на рисунке 5 сфера сделана невидимой, чтобы не заслонять главного).

Для каждого \(t=1, \ldots, n\) выполняем следующие построения.

3. Координатную плоскость \(\langle i, j\rangle\) будем рассматривать как комплексную плоскость с действительной осью абсцисс, содержашей вектор \(i\), и мнимой осью ординат, содержащей вектор \(j\). На этой плоскости строим единичную окружность и точку \(T=z\) на ней (на рисунке 5 слева). Рассматривая \(Z\) как комплексную переменную, находим угол \(\varphi=\arg (z)\) и строим точку \(T^{\prime}=z^{q_{t}}\) с аргументом \(\alpha_{t}=q_{t} \varphi\). При анимации точки \(z\) за время ее полного оборота по единичной окружности в координатной плоскости \(\langle i, j\rangle\) точка \(T^{\prime}=z^{q_{t}}\) совершит по ней \(q_{t}\) оборотов.

4. Если \(a_{t} \in\langle i, j\rangle\), то обозначим \(u_{t}=\left[a_{t} \mid k, z^{t}\right]\). Если же \(A=a_{t} \notin\langle i, j\rangle\) (рис. 5), то строим плоскость \(\pi_{t}=\left\langle a_{t}, z^{q_{t}}\right\rangle\) по точкам \(O\), \(a_{t}, z^{q_{t}}\), прямую \(l\), проходящую через точку \(O\) перпендикулярно плоскости \(\pi_{t}\), и сферу с центром в точке \(O\), проходящую через точку \(A=a_{t}\). Из двух точек пересечения прямой \(l\) со сферой выбираем точку \(u_{t}\) так, чтобы обход точек \(a_{t}, z^{q_{t}}, u_{t}\) в указанном порядке был таким же, как обход по единичным точкам \(i, j, k\) (против часовой стрелки). Вектор \(u_{t}\) является нормальным вектором плоскости \(\pi_{t}\).

Для алгебраического осмысления вектора \(u_{t}\) переводим по-строения на алгебраический язык. Записываем уравнение плоскости \(\pi_{t}\) по точкам \(O=(0,0,0), \quad T^{\prime}=z^{q_{t}}=\left(\cos \left(q_{t} \varphi\right), \sin \left(q_{t} \varphi\right), 0\right)\), \(A=a_{t}=(a, b, c)\) (на рисунке \(5 A=a_{t}=(2,-3,4)\) ). Уравнение имеет вид \(-c \sin \left(q_{t} \varphi\right) \cdot x+c \cos \left(q_{t} \varphi\right) \cdot y+\left(a \sin \left(q_{t} \varphi\right)-b \cos \left(q_{t} \varphi\right) \cdot z=0\right.\). Следовательно, нормальный вектор плоскости \(\pi_{t}\) равен \(u_{t}=\left(-c \sin \left(q_{t} \varphi\right), c \cos \left(q_{t} \varphi\right), a \sin \left(q_{t} \varphi\right)-b \cos \left(q_{t} \varphi\right)\right)=\left[a_{t}, z^{q_{t}}\right]\). Для проверки на рисунке 5 строим точку \(S=\left(-c \sin \left(q_{t} \varphi\right), c \cos \left(q_{t} \varphi\right), a \sin \left(q_{t} \varphi\right)-b \cos \left(q_{t} \varphi\right)\right)\) и убеждаемся, что она совпадает с точкой \(u_{t}\), построенной выше.

Обозначая значком × операцию нахождения векторного произведения двух векторных кватернионов, в первом случае получаем \(u_{t}=\left[\left|a_{t}\right| k, z^{q_{t}}\right]=\left|a_{t}\right| k \times z^{q_{t}}\), а во втором \(u_{t}=\left[a_{t}, z^{q_{t}}\right]=a_{t} \times z^{q_{t}}\). В общем случае \(u_{t}=b_{t} \times z^{q_{t}}\), где

\[ b_{t}=\left\{\begin{array}{l} \left|a_{t}\right| k, \quad \text { если } a_{t} \in\langle i, j\rangle \\ a_{t}, \quad \text { если } a_{t} \notin\langle i, j\rangle \end{array}\right. \]

5. Строим последовательно точки \(S_{0}=O, S_{1}=u_{1}, S_{2}=S_{1}+u_{2}, \ldots\), \(S_{n}=S_{n-1}+u_{n}\) и получаем искомую пространственную систему спутников \(\left\{S_{1}, \ldots, S_{n}\right\}\) со звездой \(O\). При анимации точки \(T=z\) за время ее полного оборота по единичной окружности в соответствующей координатной плоскости точка \(S_{t}\) совершит \(q_{t}\) оборотов по круговой орбите радиуса \(\left|a_{t}\right|\) вокруг \(S_{t-1}\).

Алгебраически выражение \(S_{t}=b_{1} \times z^{q_{1}}+\ldots+b_{t} \times z^{q_{t}}\) имеет вид полинома от комплексной переменной \(z\) при условии \(|z|=1\) с коэффициентами, которые представляют собой векторные кватернионы. Вместе с тем, спутниковые системы в пространстве можно рассматривать как анимационно-геометрические модели указанных полиномов.

Заключение. В чисто математическом отношении представленный материал является началом исследований спутниковых систем как анимационно-геометрических моделей полиномов, открывающий новые проблемы и перспективы, и следующая подготовленная к печати статья автора по-священа вопросам анимационно-геометрического моделирования полиномов в области кватернионов в виде спутниковых систем в пространстве. С методической точки зрения представленная в статье целесообразность использования анимационных рисунков в обучении математике как технологическая часть цифровизации образования демонстрируется в подготовленном автором к печати учебном пособии по тригонометрии 10 класса. Основное понятие тригонометрии – числовая окружность демонстрируется на анимационном рисунке в виде наматывания числовой прямой на окружность. Анимационно-геометрическая модель этого процесса ложится в основу анимационного вычерчивания графиков тригонометрических функций. Анимационными рисунками сопровождается изложение всего учебного материала по тригономерти. Альбом анимационных рисунков к учебному пособию размещен по указанному ниже адресу \({ }^{1)}\). Автор уверен, что в недалеком будущем анимационные рисунки войдут в арсенал средств обучения так же естественно, как ныне используются мел и шариковая ручка.

ПРИМЕЧАНИЯ

1. https://www.geogebra.org/m/nsn4h2sx

ЛИТЕРАТУРА

Ларин, С. (2015). Компьютерная анимация в среде GeoGebra на уроках математики. Ростов-на-Дону: «Легион».

Ларин, С. (2018). Методика обучения математике. Компьютерная анимация в среде GeoGebra. Москва: «Юрайт».

Ларин, С. (2019). Алгебраическое описание улиток Паскаля порядка \(n\). Математика и информатикя. Volume 62, Number 5, 550 – 559.

Математическая Энциклопедия (1977). Москва: «Советская энциклопедия».

REFERENCES

Larin, S. V. (2015). Computer animation in GeoGebra platform in mathematics classes. Rostov-na-Donu: Legion.

Larin, S. V. (2018). Mathematics training. Computer animation in the GeoGebra environment. Moscow: Jright.

Larin, S. & Mayer, V. (2018). The Role of computer animation in mathematics teaching. Mathematics and Informatics, Volume 61, Number 6, 542 – 552.

Larin, S. (2019). Algebraic description of Pascal’s snails order n. Matematics and Informatics. Volume 62, Number 5, 550 – 559.] Mathematical Encyclopedia (1977). Moscow: “Soviet Encyclopedia”.

Hamilton, W. R. (1853). Lectures on qusternions. Dublin.

Hancel, H. (1867). Theory der complexen Zahlensysteme. Leipzig (Voss).