Задача 1. Дадена е функцията \(f(x)=x^{2}-m x+n\), където \(m, n, \in \mathbb{N}\). Ако \(x_{1}\) и \(x_{2}\) са корените на уравнението \(f(x)=0\) и е изпълнено \(\cfrac{f(-2)}{x_{1}+x_{2}}=\cfrac{f(-3)}{x_{1} x_{2}}=t \in \mathbb{N}\), да се намерят \(m\) и \(n\).

Росен Николаев, Варна

Решение: от формулите на Виет имаме \(x_{1}+x_{2}=m\) и \(x_{1} x_{2}=n\). Тогава от условието \(\cfrac{f(-2)}{x_{1}+x_{2}}=\cfrac{f(-3)}{x_{1} x_{2}}=t \in \mathbb{N}\) следва \(\cfrac{4+2 m+n}{m}=\cfrac{9+3 m+n}{n}=t\). Оттук \(\begin{array}{|l} \cfrac{4+2 m+n}{m}=t \\ \cfrac{9+3 m+n}{n}=t \end{array}\) и \(\begin{array}{|l} m=\cfrac{4 t+5}{t^{2}-3 t-1} \\ n=\cfrac{9 t-6}{t^{2}-3 t-1} \end{array}\) . Тъй като m и n са естествени числа,

то \(\left|\begin{array}{l}\cfrac{4 t+5}{t^{2}-3 t-1} \geq 1 \\ \cfrac{9 t-6}{t^{2}-3 t-1} \geq 1\end{array}\right. \Leftrightarrow\left|\begin{array}{l} t \in\left[\cfrac{7-\sqrt{73}}{2}, \cfrac{3-\sqrt{13}}{2}\right] \cup\left[\cfrac{3+\sqrt{13}}{2}, \cfrac{7+\sqrt{73}}{2}\right] \\t \in\left[\cfrac{3-\sqrt{13}}{2}, 6-\sqrt{31}\right] \cup\left[\cfrac{3+\sqrt{13}}{2}, 6+\sqrt{31}\right]\end{array} \right.\) .

Като се вземе предвид, че \(t\) също е естествено число, се получава \(t \in\{4 ; 5 ; 6 ; 7\}\). С непосредствена проверка се установява, че при \(t=4\) имаме \(m=7\) и \(n=10\).

Задача 2. Окръжност \(k\) с център \(O\) се допира до правата \(c\) в точка \(M\). Точките \(A\) и \(B\) лежат върху \(c\) така, че \(M\) е между \(A\) и \(B\). През точките \(A\) и \(B\) са построени допирателните \(a\) и \(b\) към \(k\), които се пресичат в точка \(C\). Ако \(A M=m, B M=n\) и лицето на \(\triangle A B C\) е равно на \(A M . B M\), да се намери дължината на \(O C\).

Милен Найденов, Варна

Решение: за елементите на \(\triangle A B C\) ще използваме обичайните означения. От Хероновата формула за \(\triangle A B C\) имаме \(S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)\) и от условието \(S=m \cdot n=(p-a)(p-b)\) следва, че \(S=p(p-c)\). Затова \((p-a)(p-b)=p(p-c)\), което води до равенството \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\). Следователно \(A B C\) е правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при върха \(C\). Тъй като \(O C\) е диагонал на квадрат със страна \(x\), равна на радиуса на окръжността, то \(O C=x \sqrt{2}\). Възможни са два случая.

Първи случай: \((x+m)(x+n)=2 S=2 m n . \quad\) Оттук \(x=\cfrac{-m-n+\sqrt{m^{2}+n^{2}+6 m n}}{2}\) и \(O C=\cfrac{-m-n+\sqrt{m^{2}+n^{2}+6 m n}}{\sqrt{2}}\).

Втори случай: \((x-m)(x-n)=2 S=2 m n\). Оттук \(x=\cfrac{m+n+\sqrt{m^{2}+n^{2}+6 m n}}{2}\) и \(O C=\cfrac{m+n+\sqrt{m^{2}+n^{2}+6 m n}}{\sqrt{2}}\).

Задача 3. Дадени са \(\triangle A B C\) и точка \(P\) от равнината му. Нека \(A_{1}=A P \cap B C\), \(B_{1}=P B \cap C A\) и \(C_{1}=C P \cap A B\). Описаните окръжности на триъгълниците \(A B B_{1}\) и \(A C C_{1}\) се пресичат за втори път в точката \(Q_{a}\). Аналогично се получават точките \(Q_{b}\) и \(Q_{c}\). Да се докаже, че правите \(A Q_{a}, B Q_{b}\) и \(C Q_{c}\) се пресичат в една точка.

Хаим Хаимов, Варна

Решение: ще решим задачата с помощта на барицентрични координати спрямо \(\triangle A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), P(\lambda, \mu, v)\) \((\lambda+\mu+v=1)\). Първо да отбележим, че \(A_{1}\left(0, \cfrac{\mu}{1-\lambda}, \cfrac{v}{1-\lambda}\right)\), \(B_{1}\left(\cfrac{\lambda}{1-\mu}, 0, \cfrac{v}{1-\mu}\right), \quad C_{1}\left(\cfrac{\lambda}{1-v}, \cfrac{\mu}{1-v}, 0\right) . \quad\) За по-кратко в координатите на точките \(B_{1}\) и \(C_{1}\) ще използваме означенията \(x_{b}=\cfrac{\lambda}{1-\mu}\) и \(x_{c}=\cfrac{\lambda}{1-v}\). Уравненията на симетралите на отсечките \(A B\) и \(A B_{1}\) са съответно \(c^{2} x-c^{2} y+\left(a^{2}-b^{2}\right) z=0\) и \(2 b^{2} x+\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right) y-\left(1+x_{b}\right) b^{2}=0\), където \(a, b\) и \(c\) са страните на \(\triangle A B C\). От тези уравнения намираме координатите \(\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\) на центъра на описаната около \(\triangle A B B_{1}\) окръжност във вида: \(x_{1}=\cfrac{a^{2}\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+b^{2}\left(a^{2}-b^{2}+c^{2}\right) x_{b}}{16 S^{2}}\), \(y_{1}=\cfrac{b^{2}\left(a^{2}-b^{2}+c^{2}\right)+b^{2}\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) x_{b}}{16 S^{2}}, \quad z_{1}=\cfrac{c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)-2 b^{2} c^{2} x_{b}}{16 S^{2}}\) където \(16 S^{2}=2 b^{2} c^{2}+2 c^{2} a^{2}+2 a^{2} b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}\) ( \(S\) е лицето на \(\triangle A B C\) ). Аналогично определяме координатите \(\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\) на центъра на описаната около \(\triangle A C C_{1}\) окръжност във вида:

\(x_{2}=\cfrac{a^{2}\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right) x_{c}}{16 S^{2}}\), \(y_{2}=\cfrac{b^{2}\left(a^{2}-b^{2}+c^{2}\right)-2 b^{2} c^{2} x_{c}}{16 S^{2}}\), \(z_{2}=\cfrac{c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)+c^{2}\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) x_{c}}{16 S^{2}}\).

Уравненията на описаните около триъгълниците \(A B B_{1}\) и \(A C C_{1}\) окръжности са съответно \(a^{2} y z+b^{2} z x+c^{2} x y+\left[-c^{2} x_{1}+c^{2} y_{1}+\left(b^{2}-a^{2}\right) z_{1}\right] y+\left[-b^{2} x_{1}+\left(c^{2}-a^{2}\right) y_{1}+b^{2} z_{1}\right] z=0\), \(a^{2} y z+b^{2} z x+c^{2} x y+\left[-c^{2} x_{2}+c^{2} y_{2}+\left(b^{2}-a^{2}\right) z_{2}\right] y+\left[-b^{2} x_{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right) y_{2}+b^{2} z_{2}\right] z=0\).

От намерените координати на центровете на тези окръжности последните уравнениясепреврьщатсъответновравенствата \(a^{2} y z+b^{2} z x+c^{2} x y-b^{2} x_{b} z=0\) и \(a^{2} y z+b^{2} z x+c^{2} x y-c^{2} x_{c} y=0\). След почленното изваждане на тези равенства получаваме \(c^{2} x_{c} y-b^{2} x_{b} z=0\). Оттук имаме \(z=\cfrac{c^{2} x_{c}}{b^{2} x_{b}} y\). От това равенството изразяванията на \(x_{b}\) и \(x_{c}\), равенството \(x=1-y-z\) и уравнението на една от окръжностите получаваме, че координатите \(\left(x_{A}, y_{A}, z_{A}\right)\) на пресечната точка \(Q_{a}\) на окръжностите, която е различна от \(A\), се изразяват със следните равенства:

\[ \begin{aligned} & x_{A}=\left[-a^{2}(1-\mu)(1-v)+b^{2} \lambda(1-v)+c^{2} \lambda(1-\mu)\right] / \tau_{A}, \\ & y_{A}=b^{2}(1-v) / \tau_{A}, z_{A}=c^{2}(1-\mu) / \tau_{A}, \text { където } \\ & \tau_{A}=-a^{2}(1-\mu)(1-v)+b^{2}(1+\lambda)(1-v)+c^{2}(1+\lambda)(1-\mu) . \end{aligned} \]

Аналогично, ако \(\left(x_{B}, y_{B}, z_{B}\right)\) и \(\left(x_{C}, y_{C}, z_{C}\right)\), се получават равенствата:

\(x_{B}=a^{2}(1-v) / \tau_{B}, y_{B}=\left[a^{2} \mu(1-v)-b^{2}(1-v)(1-\lambda)+c^{2} \mu(1-\lambda)\right] / \tau_{B}\)

\(z_{B}=c^{2}(1-\lambda) / \tau_{B}\), \(x_{C}=a^{2}(1-\mu) / \tau_{C}, y_{C}=b^{2}(1-\lambda) / \tau_{C}\), \(z_{C}=\left[a^{2} v(1-\mu)+b^{2} v(1-\lambda)+c^{2}(1-\lambda)(1-\mu)\right] / \tau_{C}\), където \(\quad \tau_{B}=\grave{u}^{\grave{u}}(1+\mu)(1-v)-(1-v)(1-\lambda)+(1+\mu)(1-\lambda)\), \(\tau_{C}=a^{2}(1+v)(1-\mu)+b^{2}(1+v)(1-\lambda)-c^{2}(1-\lambda)(1-\mu)\).

Сега намираме уравненията на правите \(A Q_{a}, B Q_{b}\) и \(C Q_{c}\) във вида:

\(A Q_{a}:\left\{\begin{array}{l}x=1+\left(x_{A}-1\right) t_{a}, \\ y=y_{A} t_{a}, \\ z=z_{A} t_{a},\end{array} \quad B Q_{b}:\left\{\begin{array}{l}x=x_{B} t_{b}, \\ y=1+\left(y_{B}-1\right) t_{b}, \\ z=z_{B} t_{b},\end{array} \quad C Q_{c}:\left\{\begin{array}{l}x=x_{C} t_{c}, \\ y=y_{C} t_{c}, \\ z=1+\left(z_{C}-1\right) t_{c} .\end{array}\right.\right.\right.\)

Ако правите \(A Q_{a}\) и \(B Q_{b}\) се пресичат в точката \(T\left(x_{T}, y_{T}, z_{T}\right)\), за нейните координати се получават равенствата: \(\quad x_{T}=\cfrac{a^{2}(1-\mu)(1-v)}{\tau}\), \(y_{T}=\cfrac{b^{2}(1-v)(1-\lambda)}{\tau}, \quad z_{T}=\cfrac{c^{2}(1-\lambda)(1-\mu)}{\tau}\), където \(\tau=\grave{u}^{\grave{u}}(1-\mu)(1-v)+(1-v)(1-\lambda)+\quad(1-\lambda)(1-\mu)\). Лесно се проверява, че координатите на \(T\) удовлетворяват и уравнението на правата \(C Q_{c}\). Следователно правите \(A Q_{a}, B Q_{b}\) и \(C Q_{c}\) минават през една точка. Ако \(\tau=0\), трите прави са успоредни.