Рубриката се води от проф. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се намери безкрайно множество от двойки положителни рационални числа \((x, y)\), , които са решения на уравнението \(x^{2}=y^{2}+5\).

Милен Найденов, Варна

Решение: eдно множество от решения на разглежданото уравнение се описва със следните формули: \(x=\tfrac{2 k^{2}+2 k+3}{2 k+1}, y=\tfrac{2 k^{2}+2 k-2}{2 k+1}\), където \(k=1,2,3, \ldots\)

Задача 2. Средите на диагоналите \(A C\) и \(B D\) на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) са съответно \(E\) и \(F\), а пресечната им точка е \(T\). Ако втората пресечна точка на описаните около триъгълниците \(A B T\) и \(C D T\) окръжности е \(K\) и \(S_{C D K}=\tfrac{1}{2} S_{C D A}\), да се докаже, че правата \(D K\) се допира до описаната окръжност на \(\triangle E F T\).

Хаим Хаимов, Варна

Решение: тъй като \(∢ T K C=∢ T D K \quad\) (като вписани ъгли), то \(∢ T A K=∢ T B K\). Аналогично \(∢ C A K=∢ D B K\). Затова \(\triangle A C K \sim \triangle B D K\).

Отсечките \(K E\) и \(K F\) са съответни медиани в триъгълниците \(A C K\) и \(\quad B D K\). Затова \(\quad ∢ C E K=∢ D F K\), т.е. \(∢ T E K=∢ T F K\). Следователно точката \(K\) лежи върху описаната около \(\triangle E F T\) окръжност \(k\). От условието \(S_{C D K}=\tfrac{1}{2} S_{C D A}\) имаме (2). От \(∢ D K C=∢ D T C=180^{\circ}-∢ A T D\) и синусовата теорема за \(\triangle A D T\) намираме \(\sin ∢ D K C=\sin ∢ A T D=\) \(=\tfrac{A D}{D T} \cdot \sin ∢ D A T\). Сега от (1) и (2) следва \(\quad D K \cdot \tfrac{D K \cdot A C}{D B} \cdot \tfrac{A D}{D T} \cdot \sin ∢ D A T=\tfrac{1}{2} A D \cdot A C \cdot \sin ∢ D A T\). Оттук \(D K^{2}=\tfrac{1}{2} D B . D T\), т.е. \(D K^{2}=D F . D T\). Последното равенство показва, че \(D K\) е допирателна към окръжността \(k\) в точката \(K\). С това задачата е решена.

Задача 3. Равнината е покрита с квадрати с дължина на страната \(3 c m\) и квадрати със страна \(1 c m\), както е показано на чертежа. Ако точките \(A, B\) и \(C\) са центрове на квадрати със страна \(3 c m\), както е отбелязано на чертежа, да се намери лицето на \(\triangle A B C\).

Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Решение: да построим центровете на още няколко квадрата и ги свържем, както е показано на черт. 1. От свойствата на ъглите лесно се вижда, че \(∢ B U V+∢ B W V=180^{\circ}\). Оттук следва, че \(∢ A B C=90^{\circ}\). Освен това четириъгълникът \(A B C D\) е правоъгълник, съставен от квадрати със страна \(a\). Това означава, че \(\triangle A B C\) има катети \(A B=3 a\) и \(B C=2 a\). Следователно лицето му е \(S=\tfrac{1}{2} A B \cdot B C=3 a^{2}\). За да определим стойността на \(a\), извършваме транслация на покритието на равнината с квадрати, така че центровете на големите квадрати да отиват в техни върхове, както е показано на черт. 1. Същевременно оставяме правоъгълника \(A B C D\) на място. Така получаваме конфигурацията на черт. 2. По този начин се вижда, че страната \(a\) на квадрат от разлагането на правоъгълника \(A B C D\) е хипотенуза на правоъгълен триъгълник \(C P Q\) с катети \(C Q=1 c m\) и \(P Q=3 c m\). Следователно \(a^{2}=C P^{2}=10 c m^{2}\). Оттук окончателно получаваме, че \(S=30 c m^{2}\).

Решение на Румяна Несторова. Разглеждаме координатната система \(C x y\), както е показано на следващата фигура. Спрямо \(C x y\) имаме \(C(0,0)\), \(B(-2,6)\) и \(C(7,9)\). Тогава \(S=\tfrac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}7 & 9 & 1 \\ -2 & 6 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=30 c m^{2}\).