Задача 1. Да се докаже, че съществуват безброй много двойки естествени числа \(x\) и \(y\), при които числата \(x^{2}+2016 x y+y^{2}\) са квадрати на естествени числа.

Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

Решение. Нека \(x^{2}+2016 x y+y^{2}=k^{2}\), а \(\Lambda^{2}\) е дискриминантата на квадратното спрямо \(x\) уравнение \(\Delta^{2}=1008^{2} y^{2}-\left(y^{2}-k^{2}\right)\). Следователно \(\Delta^{2}=1008^{2} y^{2}-\left(y^{2}-k^{2}\right)\). Оттук получаваме равенството \((\Delta-k)(\Delta+k)=1007.1009 . y^{2}\). Предполагаме, че \(\Delta-k=1007.1009\) и \(\Delta+k=y^{2}\). Оттук имаме \(\Delta=\tfrac{y^{2}+1007.1009}{2}\) и \(k=\tfrac{y^{2}-1007.1009}{2}\) . След заместване в уравнението получаваме \(x=\tfrac{(y-1007)(y-1009)}{2}\). Сега полагаме \(y=2 t+1\), където \(t\) е естествено число и \(t \geq 505\). От горното равенство следва, че \(x=2(t-503)(t-504)\). След заместване на целите числа \(x\) и \(y\) с получените формули в условието на задачата получаваме \(x^{2}+2016 x y+y^{2}=\left(2 t^{2}+2 t-508031\right)^{2}\).

Задача 2. Точките \(B_{1}, B_{2}\) и лежат съответно върху страните \(A_{1} A_{2}\), \(A_{2} A_{3}\) и \(A_{3} A_{1}\) на \(\triangle A_{1} A_{2} A_{3}\), като \(A_{2} B_{1}=2 A_{1} B_{1}, A_{3} B_{2}=2 A_{2} B_{2}\) и \(A_{1} B_{3}=2 A_{3} B_{3}\). Ако вторите общи точки на описаните около триъгълниците \(B_{2} B_{3} A_{3}, B_{3} B_{1} A_{1}\) и \(B_{1} B_{2} A_{2}\) окръжности с описаната окръжност на \(\triangle A_{1} A_{2} A_{3}\) са съответно \(C_{1}\), \(C_{2}\) и \(C_{3}\), да се докаже, че правите \(A_{1} C_{1}, A_{2} C_{2}\) и \(A_{3} C_{3}\) се пресичат в една точка. Коя е тази точка?

Хаим Хаимов, Варна

Решение. Ще докажем, че правите \(A_{1} C_{1}, A_{2} C_{2}\) и \(A_{3} C_{3}\) се пресичат в точката на Лемоан за \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\). От свойствата на вписаните ъгли следват равенствата \(\quad ∢ B_{3} A_{1} C_{1}=∢ B_{2} A_{2} C_{1} \quad\) и \(\quad ∢ A_{3} B_{3} C_{1}=∢ A_{3} B_{2} C_{1}\). Следователно \(\Delta A_{1} B_{3} C_{1} \sim \Delta A_{2} B_{2} C_{1}\). Затова е изпълнено равенството \(\tfrac{A_{1} B_{3}}{A_{1} C_{1}}=\tfrac{A_{2} B_{2}}{A_{2} C_{1}}\). Освен това от условието следват равенствата \(A_{1} B_{3}=\tfrac{2}{3} A_{1} A_{3}\) и \(A_{2} B_{2}=\tfrac{1}{3} A_{2} A_{3}\). От трите равенства получаваме \(A_{1} C_{1} \cdot A_{2} A_{3}=2 \cdot A_{1} A_{3} \cdot A_{2} C_{1}\). От друга страна, по теоремата на Птолемей за четириъгълника \(A_{1} A_{2} C_{1} A_{3}\) е изпълнено равенството \(A_{1} C_{1} \cdot A_{2} A_{3}=A_{1} A_{3} \cdot A_{2} C_{1}+A_{1} A_{2} \cdot A_{3} C_{1}\). След заместване на предходното равенство в последното получаваме \(A_{1} A_{3} \cdot A_{2} C_{1}=A_{1} A_{2} \cdot A_{3} C_{1}\), което еквивалентно с \(\tfrac{A_{2} C_{1}}{A_{3} C_{1}}=\tfrac{A_{1} A_{2}}{A_{1} A_{3}}\). Означаваме \(A_{1} C_{1} \cap A_{2} A_{3}=L_{1}\). Като използваме последното равенство, получаваме \(\tfrac{A_{2} L_{1}}{A_{3} L_{1}}=\tfrac{S_{A_{1} A_{2} C_{1}}}{S_{A_{1} A_{3} C_{1}}}=\tfrac{\tfrac{1}{2} A_{1} A_{2} \cdot A_{2} C_{1} \cdot \sin ∢ A_{1} A_{2} C_{1}}{\tfrac{1}{2} A_{1} A_{3} \cdot A_{3} C_{1} \cdot \sin ∢ A_{1} A_{3} C_{1}}=\tfrac{A_{1} A_{2}^{2}}{A_{1} A_{3}^{2}}\). Следователно \(A_{1} L_{1} \equiv A_{1} C_{1}\) е симедиана на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\). Аналогично се доказва, че правите \(A_{2} C_{2}\) и \(A_{3} C_{3}\) са симедиани на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\). Следователно правите \(A_{1} C_{1}\), \(A_{2} C_{2}\) и \(A_{3} C_{3}\) се пресичат в точката на Лемоан \(L\) за \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\).

Задача 3. Спрямо координатната система \(O x y\) кривата \(k\) е такава, че лицето \(S\) на триъгълника, образуван от ординатната ос \(O y\), допирателната към \(k\) в произволна точка \(T\) и правата \(O T\), не зависи от \(T\). Да се намери уравнението на кривата \(k\), ако е известно, че тя минава през точката \((S, 2)\).

Милен Найденов, Варна

Решение. Нека \(T(x, y)\) е произволна точка от \(k\), а допирателната в \(T\) към \(k\) пресича \(O y\) в точката \(M(\xi, \eta)\). От условието следва равенството \(x . \eta=2 . S\). Освен това уравнението на допирателната в \(T\) е \(y=y^{\prime} . x+\eta\). От двете равенства се получава обикновеното линейно диференциално уравнение \(x^{2} y^{\prime}-x y-2 . S=0\). Решаваме това уравнение по метода на Лагранж и по-лучаваме \(x y=S+C . x^{2}\), където \(C\) е реална константа. Заместваме в последното уравнение координатите на точката \((S, 2)\), за да определим, че \(C=\tfrac{1}{S}\). Следователно търсената крива \(k\) има следното уравнение \(y=\tfrac{x}{S}+\tfrac{S}{x}\). Кривата \(k\) е хипербола, за която правата \(O x\) е асимптота.