Задача 1. Да се намери най-малкото естествено число \(n\), за което има четири естествени числа \(x, y, z, t\), y , z , t , образуващи в този ред аритметична прогресия, като е изпълнено равенството \(x^{n}+y^{n}+z^{n}=t^{n}\). За намерената стойност на \(n\) да се определят всички четворки \(x, y, z, t\), y , z , t , удовлетворяващи условията на задачата.

Христо Лесов, Казанлък

Решение. Нека естествените числа \(x, y, z, t\) образуват аритметична прогресия с разлика естественото число \(d\). Тогава \(x=y-d, z=y+d\) и \(t=y+2 d\). Ако \(n=1\), то равенството \(x+y+z=t\) води до \(y=d\). Следователно \(x=y-d=0\), което не е естествено число. Ако \(n=2\), то равенството \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=t^{2}\) води до \((y-d)^{2}=2 d^{2}\), т.е. \(y-d= \pm d \sqrt{2}\). Последното равенство не е изпълнено за никои естествени числа \(y\) и \(d\). Ако \(n=3\), то равенството \(x^{3}+y^{3}+z^{3}=t^{3}\) води до \(y^{3}-3 d y^{2}-3 d^{2} y-4 d^{3}=0\) или \((y-4 d)\left(y^{2}+d y+d^{2}\right)=0\). Тъй като \(y^{2}+d y+d^{2} \gt 0\), то \(y=4 d\). Оттук следва, че \(x=3 d, z=5 d\) и \(t=6 d\). Следователно при \(n=3\) и произволно естествено число \(d\) се определят безброй много четворки естествени числа \(x, y, z, t\), съответно кратни \(3,4,5,6\), които удовлетворяват условията на задачата.

Задача 2. Нека \(P\) е произволна точка от описаната окръжност на \(\triangle A B C\) \((P \neq A, B, C)\), а \(l_{a}, l_{b}\) и \(l_{c}\) са правите през \(P\), перпендикулярни съответно на \(A P, B P\) и \(C P\). Ако \(A_{1}=l_{a} \cap B C, B_{1}=l_{b} \cap C A\) и \(C_{1}=l_{c} \cap A B\), да се докаже, че точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) лежат на една права.

Хаим Хаимов, Варна, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Решение. Ще докажем, че правите \(A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}\) и \(B_{1} C_{1}\) минават през центъра \(O\) на описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(k\). Оттук непосредствено следва твърдението на задачата. Тъй като \(l_{a} \perp A P\), то втората пресечна точка \(A_{2}\) на правата \(l_{a}\) с \(k\) е диаметрално противоположна на \(A\). Аналогично диаметрално противоположните точки \(B_{2}\) и \(C_{2}\) съответно на \(B\) и \(C\) са вторите пресечни точки съответно на \(l_{b}\) и \(l_{c}\) с \(k\). Шестоъгълникът \(A A_{2} P B_{2} B C\) е вписан в окръжността \(k\) и от теоремата на Паскал, приложена за него, следва, че точките \(O=A A_{2} \cap B_{2} B, A_{1}=A_{2} P \cap B C\) и \(B_{1}=P B_{2} \cap C A\) лежат на една права. Аналогично се доказва, че правите \(A_{1} C_{1}\) и \(B_{1} C_{1}\) минават през \(O\). С това задачата е решена.

Задача 3. Всяка от пет сфери се допира до останалите четири. Ако четири от тези сфери имат радиуси, равни на единица, да се определи радиусът на петата.

Милен Найденов, Варна

Решение. Центровете на еднаквите сфери образуват правилен тетраедър с ръб 2 . Височината на този тетраедър е \(H=\sqrt{2^{2}-\left(\cfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\cfrac{8}{3}}\). Нека радиусът на петата сфера е \(x\). Ако тази сфера се допира външно до останалите четири, то \(x \lt 1\) и \(H=x+1+\sqrt{(x+1)^{2}-\cfrac{4}{3}}\), а ако допирането е вътрешно, то \(x \gt 1\) и \(H=x-1+\sqrt{(x-1)^{2}-\cfrac{4}{3}}\). След приравняване на получените изрази за \(H\) получаваме че сферата, която се намира между еднаквите сфери, има радиус \(x_{1}=\sqrt{\cfrac{3}{2}}-1\), а тази, която ги съдържа, има радиус \(x_{2}=\sqrt{\cfrac{3}{2}}+1\).