Задача 1. Естествените числа \(a\) и \(b\) удовлетворяват равенството \(9^{a}=b^{2}+53\). Да се намерят корените на уравнението \(a x^{2}+b x-\sqrt{a(b+1)}=0\).

Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Решение. Даденото равенство е еквивалентно с \(\left(3^{a}-b\right)\left(3^{a}+b\right)=53\). Тъй като 53 е просто число, то \(3^{a}-b=1\) и \(3^{a}+b=53\). След почленно събиране на последните равенства получаваме \(2.3^{a}=54\). Следователно \(3^{a}=27,3^{a}=3^{3}\), \(a=3\). Оттук и едно от горните равенства получаваме \(b=26\). Сега квадратното уравнение е следното \(3 x^{2}+26 x-9=0\). Неговите корени са \(x_{1}=-9\) и \(x_{2}=-\tfrac{1}{3}\).

Задача 2. Нека \(A B C D E F\) е изпъкнал шестоъгълник, в който поне два от диагоналите, свързващи срещуположни върхове, разполовяват лицето му. Ако \(S\) е лицето на шестоъгълника, а \(S_{1}\) и \(S_{2}\) са лицата съответно на триъгълниците \(A C E\) и \(B D F\), да се докаже, че \(S=2 \sqrt{S_{1} S_{2}}\).

Хаим Хаимов, Варна

Решение. Означаваме \(\measuredangle E A C\) и \(\measuredangle B D F\) съответно с \(\alpha\) и \(\delta\). Без ограничение можем да считаме, че диагоналите, разполовяващи лицето на шестоъгълника \(A B C D E F\), са \(A D\) и \(B E\). Тогава \(S_{A D E F}=\tfrac{S}{2}\) и \(S_{A B E F}=\tfrac{S}{2}\). Оттук \(S_{A D E F}=S_{A B E F}\). Тъй като \(\quad S_{A D E F}=S_{A E F}+S_{A D E} \quad\) и \(\quad S_{A B E F}=S_{A E F}+S_{A B E}\), то от последното равенство следва \(S_{A E F}+S_{A D E}=S_{A E F}+S_{A B E}\), т. е. \(S_{A D E}=S_{A B E}\). Оттук получаваме, че \(B D \| A E\), което означава, че \(\measuredangle A M F=\measuredangle B D F=\delta\) и \(\measuredangle D N C=\measuredangle E A C=\alpha\) (вж. чертежа). Сега да запишем желаното равенство във вида \(2 S_{1} \cdot 2 S_{2}=S^{2}\). Като вземем предвид равенствата \(2 S_{1}=2 S_{A C E}=A E . A C . \sin \alpha\) и \(2 S_{2}=2 S_{B D F}=B D . D F . \sin \delta\), последното добива вида \((A E . A C . \sin \alpha) .(B D . D F . \sin \delta)=S^{2}\). Това равенство може да се запише още по следния начин \((A E \cdot D F \cdot \sin \delta) \cdot(A C \cdot B D \cdot \sin \alpha)=S^{2}\). Но \(A E . D F . \sin \delta=2 S_{A D E F}=2 . \tfrac{S}{2}=S\) и \(A C . B D . \sin \alpha=2 S_{A B C D}=2 . \tfrac{S}{2}=S\). Оттук следва, че последното равенство е изпълнено, а следователно и това, което трябваше да се докаже. С това задачата е решена.

Задача 3. Основата \(A B C D\) на пирамида \(M A B C D\) е ромб с диагонали \(A C=3 k\) и \(B D=k(k \in \mathbb{R})\). Да се докаже, че ако дължината на околния ръб \(M A\) е равна на \(2 k\), то останалите три околни ръба са страни на правоъгълен триъгълник.

Милен Найденов, Варна

Решение: Нека \(A C \cap B D=O\) и \(M O=m\). Прилагаме формулата за изразяване на медианата чрез дължините да страните за \(\triangle A C M\) и \(\triangle B D M\), след което получаваме съответно равенствата \(2 A M^{2}+2 C M^{2}-A C^{2}=4 M O^{2}\) и \(2 B M^{2}+2 D M^{2}-B D^{2}=4 M O^{2}\). Като вземем предвид условието, тези равенства записваме съответно във вида: \(C M^{2}=2 m^{2}+\tfrac{k^{2}}{2}\) и \(B M^{2}+D M^{2}=2 m^{2}+\tfrac{k^{2}}{2}\). Последните две равенства означават, че \(B M^{2}+D M^{2}=C M^{2}\). Оттук според теоремата, обратна на Питагоровата теорема, следва, че съществува правоъгълен триъгълник с катети \(B M\) и \(D M\) и хипотенуза \(C M\).