Задача 1. Ако \(a \geq 3\) е нечетно число и \(k \geq 2\) е естествено число, да се намери остатъкът от делението на \(a^{\mathrm{k}}\) с \(\tfrac{a^{2}+1}{2}\).

Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния

Решение: Означаваме с \(r\) търсения остатък. При \(k=2\) е изпълнено равенството \(a^{2}=\tfrac{a^{2}+1}{2}+\tfrac{a^{2}-1}{2}\). Тъй като \(\tfrac{a^{2}-1}{2} \lt \tfrac{a^{2}+1}{2}\), то \(r=\tfrac{a^{2}-1}{2}\). Сега от равенството \(a^{2}=2 \cdot \tfrac{a^{2}+1}{2}-1\) се получава \(a^{2 k}=M \cdot\left(\tfrac{a^{2}+1}{2}\right)+(-1)^{k}\), където \(M\) е цяло число. Ако \(k=2 l, l \in \mathbb{N}\), l , търсеният остатък е \(r=1\). Ако \(k=2 l+1, l \in \mathbb{N}\), то \(a^{2(2 l+1)} \equiv-1 \equiv \tfrac{a^{2}+1}{2}-1 \equiv \tfrac{a^{2}-1}{2}\left(\bmod \tfrac{a^{2}+1}{2}\right)\). В този случай получаваме, че \(r=\tfrac{a^{2}-1}{2}\). Разглеждаме случая, при който \(k=3\). От релациите \(\quad a^{3}=2 a \tfrac{a^{2}+1}{2}-a=(2 a-1) \tfrac{a^{2}+1}{2}+\tfrac{a^{2}+1}{2}-a=(2 a-1) \tfrac{a^{2}+1}{2}+\tfrac{(a-1)^{2}}{2} \quad\) и \(\tfrac{(a-1)^{2}}{2} \lt \tfrac{a^{2}+1}{2}\) следва, че \(r=\tfrac{(a-1)^{2}}{2}\). Като използваме, че \(a^{4 l} \equiv 1\left(\bmod \tfrac{a^{2}+1}{2}\right)\), получаваме \(a^{4 l+3} \equiv a^{3} \equiv \tfrac{(a-1)^{2}}{2}\left(\bmod \tfrac{a^{2}+1}{2}\right)\) и \(a^{4 l+1} \equiv a^{4 l} \cdot a \equiv a\left(\bmod \tfrac{a^{2}+1}{2}\right)\). Сега, като обобщим получените резултати, имаме: При \(k=4 l, k=4 l+2, k=4 l+3\)

и \(k=4 l+3(l \in \mathbb{N})\) е изпълнено съответно \(r=1, r=a, r=\tfrac{a^{2}-1}{2}\) и \(r=\tfrac{(a-1)^{2}}{2}\).

Задача 2. В окръжност с център \(O\) е вписан триъгълник \(A B C\) с ортоцентър \(H\). Точките \(M\) и \(N\) са средите съответно на страните \(B C\) и \(A C\), точката \(I\) е център на вписаната в \(\triangle A B C\) окръжност, а \(O_{9}\) е центърът на Ойлеровата окръжност за \(\triangle A B C\). Да се докаже, че следващите твърдения са равносилни.

\(T_{1}\). Мерките на ъглите при върховете \(A, C\) и \(B\) образуват в този ред аритметична прогресия.

\(T_{2}\). Изпълнено е равенството \(O I=I H\).

\(T_{3}\). Точките \(C, O, M, N\) и \(O_{9}\) лежат на една окръжност.

Христо Лесов, Казанлък

Решение: В началото ще отбележим, че за равностранен триъгълник \(A B C\) точките \(O, H, I\) и \(O_{9}\) съвпадат и условието на задачата е изпълнено. Ще разгледаме общия случай на разностранен остроъгълен триъгълник \(A B C\), вписан в окръжност \(k\) с център \(O\) и радиус \(R\). Означаваме с \(\alpha, \gamma\) и \(\beta\) мерките на ъглите съответно при върховете \(A, C\) и \(B\). Те образуват в този ред аритметична прогресия тогава и само тогава, когато \(\alpha+\beta=2 \gamma\) или \(\alpha+\beta+\gamma=3 \gamma\). Оттук следва \(\gamma=60\). Затова твърдение \(T_{1}\) е равносилно с твърдение \(T_{4}\) : Изпълнено е равенството \(A C B=60^{\circ}\).

Тъй като \(\triangle A B C\) е остроъгълен, точките \(O\) и \(H\) са вътрешни за него, като \(O N \perp A C, A O N=\beta\). Ако правите \(A H\) и \(C H\) пресичат \(B C\) и \(A B\) съответно в точките \(D\) и \(F\), то \(A D \perp B C\) и \(C F \perp A B\). От правоъгълните триъгълници \(C O N\) и \(C B F\) намираме \(O C N=\) \(90^{\circ}-\beta=B C F=H C D\). Ако \(\mathrm{CL}(L \in A B)\) е ъглополовящата на \(A C B\), то \(O C L=\) \(A C L-O C N=B C L-H C D=H C L\), което показва, че \(C L\) е ъглополовяща на OCN. В правоъгълния триъгълник \(A C D\) имаме \(C A D=90^{\circ}-A C B\) откъдето равенството \(A C B=60^{\circ}\) е изпълнено тогава и само тогава, когато \(C A D=30^{\circ}\), т.е. \(C D=\tfrac{1}{2} A C=C N\). Последното е равносилно с еднаквост на правоъгълните триъгълници \(C H D\) и \(C O N\). Следователно твърдение \(T_{4}\) е равносилно с твърдение \(T_{5}\) : Изпълнено е равенството \(C H=C O\) и \(C L\) е ъглополовяща на \(O H\). Тъй като \(I \in C L\), твърдения \(T_{5}\) и \(T_{2}\) са равносилни. Както е известно, центърът \(O_{9}\) на Ойлеровата окръжност за \(A B C\) е средата на отсечката \(O H\) (вж. Права на Ойлер и окръжност на деветте точки за триъгълник, МИ, 2008, 1). Затова твърдение \(T_{5}\) е равносилно с \(C O_{9} O=90^{\circ}\) и \(C O\) се вижда от точките \(M, N\) и \(O_{9}\) под ъгъл \(90^{\circ}\). Това показва, че точките \(C, O, M, N\) и \(O_{9}\) лежат на окръжност с диаметър \(C O=R\). При това центърът \(Q\) на тази окръжност лежи върху Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\).

Задача 3. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, за който \(T=A C \cap B D\) е пресечната точка на диагоналите и \(S_{A D T}=\tfrac{1}{2}\left(S_{A B T}+S_{C D T}\right)\). Ако \(G\) е медицентърът на \(A B C D\), да се докаже, че: а) \(G T \| A D\); б) \(G T \lt \tfrac{A D}{4}\).

Хаим Хаимов, Варна

Решение: а) Без ограничение можем да считаме, че \(S_{A B T} \geq S_{C D T}\). От условието на задачата следва, че \(S_{A B T} \geq S_{A D T} \geq\) \(S_{C D T}\), откъдето \(B T \geq D T\) и \(A T \geq C T\). Следователно средите \(E\) и \(F\) съответно на \(A C\) и \(B D\) лежат съответно на отсечките \(A T\) и \(B T\). Означаваме мярката на \(∢ A T D\) с . Изпълнени са равенствата \(S_{A D T}=\tfrac{1}{2} A T \cdot D T \cdot \sin \varphi, S_{A B T}=\tfrac{1}{2} A T \cdot B T \cdot \sin \varphi\) и \(S_{C D T}=\tfrac{1}{2} C T . D T . \sin \varphi\). DT . sinϕ . Сега от условието получаваме \(2 . A T . D T=A T . B T+\) \(C T . D T\), което води до равенството \((*) \rightarrow \tfrac{B T-D T}{D T}=\tfrac{A T-C T}{A T}\). Медицентърът на \(A B C D\) е средата на \(E F\). Нека \(O\) е симетричната точка на \(T\) спрямо \(G\). Четириъгълникът \(E O F T\) е успоредник, откъдето следват равенствата \(E O=F T=B T-B F=B T-\tfrac{B T+D T}{2}=\tfrac{B T-D T}{2}\)\(E T=\tfrac{A T-C T}{2}\). Сега от равенството (*) получаваме. Аналогично \(\tfrac{E O}{D T}=\tfrac{E T}{A T}\) се. показв От \(E O \| B D\) а, че следва \(∢ O E T=∢ A T D\). Следователно \(\triangle E O T \sim \triangle T D A\). Оттук заключаваме, че \(∢ O T E=∢ T A D\), т.е. \(G T|\mid A D\).

б) От \(\triangle E O T \sim \triangle T D A\) следва още, че \(\tfrac{T O}{A D}=\tfrac{E O}{D T}\). Оттук . Следователно \(G T=\tfrac{T O}{2}=\tfrac{A D}{4} \cdot\left(\tfrac{B T}{D T}-1\right)\). За да докажем, че \(G T \lt \tfrac{A D}{4}\), остава да проверим неравенството \(\tfrac{B T}{D T}-1 \lt 1\), което е еквивалентно с \(B T \lt 2 D T\), т.е. \(S_{A B T} \lt 2 S_{A D T}\). Тъй като по условие

\(2 S_{A D T}=S_{A B T}+S_{C D T}\), то \(S_{A B T} \lt 2 S_{A D T}\). С това задачата е решена.