Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се намерят всички цели числа \(x\), за които \(\sqrt{x(x-9)+2019}\) е естествено число.

Христо Лесов, Казанлък

Решение: нека \(\sqrt{x(x-9)+2019}=n\) е естествено число. Тогава \(\grave{u}^{2}-9+2019-{ }^{2}=0\). Решенията на това квадратно относно \(x\) уравнение се определят чрез формулата \(x_{1,2}=\tfrac{1}{2}(9 \pm \sqrt{D})\), където \(D=4 n^{2}-7995\). Оттук следва, че \(x\) е цяло число, когато \(D=m^{2}\) за нечетно естествено число \(m\). Така стигаме до равенството \(4 n^{2}-7995=m^{2}\) или \(4 n^{2}-m^{2}=7995\), което се представя във вида \((2 n+m)(2 n-m)=1.3 .13 .41\). Тъй като \(0 \lt 2 n-m \lt 2 n+m\), получаваме следните възможности: \(2 n-m=1,3,5,13,15,39,41,65\) и техните съответни \(2 n+m=7995,2665,1599,615,533,205,195,123\). След почленно събиране и изваждане на тези две равенства изразяваме по-следователно: \(4 n=7996,2668,1604,628,548,244,236,188\) и \(4 m=7994,2662,1594,602,518,166,154,58\).

Оттук имаме \(n=1999,667,401,157,137,61,59,47\) и \(m=3997,1331,797,301,259,83,77,29\). Сега за стойностите на \(x\) получаваме: \(x=\tfrac{1}{2}(9+m)=2003,670,403,155,134,46,43,19\) и

\(x=\tfrac{1}{2}(9-m)=-1994,-661,-394,-146,-125,-37,-34,-10\).

Задача 2. В изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) са изпълнени равенствата \(∢ A D C=∢ A B C\) и \(A D \neq A B\). Ако симетралата на диагонала \(B D\) пресича диагонала \(A C\) в точка \(O\), да се докажат равенствата \(∢ A D O=∢ D B C\) и \(∢ A B O=∢ B D C\).

Хаим Хаимов, Варна

Решение: нека \(O^{\prime}\) е вътрешна за \(A B C D\) точка, за която са изпълнени равенствата \(∢ A D O^{\prime}=∢ D B C\) и \(∢ A B O^{\prime}=∢ B D C\). Ще докажем, че \(O^{\prime} \equiv O\), с което твърдението на задачата ще бъде доказано. Въвеждаме означенията \(∢ C A D=\alpha_{1}, ∢ C A B=\alpha_{2}, ∢ O^{\prime} A D=x, ∢ O^{\prime} A B=y, ∢ D B C=\beta_{2}\), \(∢ B D C=\delta_{1}, ∢ O^{\prime} D B=\omega_{1}\) и \(∢ O^{\prime} B D=\omega_{2}\). От тези означения и построението на точката \(O^{\prime}\) следва, че \(∢ A D O^{\prime}=∢ D B C=\beta_{2}\) и \(∢ A B O^{\prime}=∢ B D C=\delta_{1}\). Тъй като по условие \(∢ A D C=∢ A B C\), то \(\beta_{2}+\omega_{1}+\delta_{1}=\delta_{1}+\omega_{2}+\beta_{2}\). Оттук имаме \(\omega_{1}=\omega_{2}\). Следователно \(B O^{\prime}=D O^{\prime}\), което означава, че точката \(O^{\prime}\) лежи върху симетралата на диагонала \(B D\). Остава да докажем, че \(O^{\prime}\) лежи върху \(A C\). От синусовата теорема за \(\Delta A O^{\prime} D\) и \(\Delta A O^{\prime} B\) имаме съответно \(\tfrac{\sin x}{\sin \beta_{2}}=\tfrac{D O^{\prime}}{A O^{\prime}}\) и \(\tfrac{\sin y}{\sin \delta_{1}}=\tfrac{B O^{\prime}}{A O^{\prime}}\). От тези равенства и \(B O^{\prime}=D O^{\prime}\) следва \(\tfrac{\sin x}{\sin y}=\tfrac{\sin \beta_{2}}{\sin \delta_{1}}\). Освен това от синусовата теорема за \(\triangle A C D\) имаме \(\tfrac{\sin \beta_{2}}{\sin \delta_{1}}=\tfrac{C D}{B C}\). Оттук и предишното равенство получаваме \(\tfrac{\sin x}{\sin y}=\tfrac{C D}{B C}\).

Сега от синусовата теорема за триъгълниците \(A C D\) и \(A B C\) имаме съответно \(\tfrac{\sin \alpha_{1}}{\sin ∢ A D C}=\tfrac{C D}{A C}\) и \(\tfrac{\sin \alpha_{2}}{\sin ∢ A B C}=\tfrac{B C}{A C}\). След разделяне на тези равенства получаваме \(\tfrac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}} \cdot \tfrac{\sin ∢ A B C}{\sin ∢ A D C}=\tfrac{C D}{B C}\). Тъй като по условие \(∢ A D C=∢ A B C\), то оттук имаме \(\tfrac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}=\tfrac{C D}{B C}\). Това равенство заедно с \(\tfrac{\sin x}{\sin y}=\tfrac{C D}{B C}\) води до \(\tfrac{\sin x}{\sin y}=\tfrac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}\). Освен това \(x+y=\alpha_{1}+\alpha_{2}\). Затова \(180^{\circ}-(x+y)=180^{\circ}-\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)\). Затова третите ъгли на триъгълниците \(\Delta_{1}\) и \(\Delta_{2}\), които имат съответно ъгли \(x, y\) и \(\alpha_{1}, \alpha_{2}\), y и α1 , α2 , са равни. От пропорцията \(\tfrac{\sin x}{\sin y}=\tfrac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}\) и синусовата теорема следва, че страните, сключващи тези ъгли, са пропорционални. Следователно \(\Delta_{1} \sim \Delta_{2}\). Оттук следва, че \(x=\alpha_{1}\) и \(y=\alpha_{2}\). Следователно \(O^{\prime}\) е точка от правата \(A C\). С това задачата е решена.

Задача 3. Да се намерят най-малката и най-голямата стойност на линейната функция \(u=3 x-y+4 z+15\), ако \(x^{2}+y^{2}+z^{2}-16 x-14 y-12 z+123=0\).

Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Решение: разглежданото уравнение може да се запише по следния начин \((x-8)^{2}+(y-7)^{2}+(z-6)^{2}=26\), което е уравнение на сфера \(s\) център \(\Omega(8,7,6)\) и радиус \(R=\sqrt{26}\). Нека \(\overrightarrow{n}(3,-1,4)\) е вектор, определен от коефициентите пред променливите \(x, y\) и \(z\) във функцията \(u\). Най-малката и най-голямата стойност на \(u\) се получават в допирните точки съответно на допирателните равнини \(\alpha_{1}\) и \(\alpha_{2}\) към \(S\), които са перпендикулярни на \(\overrightarrow{n}(3,-1,4)\). Следователно търсените екстремални стойности са пресечните точки на правата \(l\), минаваща през \(\Omega\) и успоредна на \(\overrightarrow{n}(3,-1,4)\). Правата \(l\), определена от точката \(\Omega(8,7,6)\) и колинеарния є вектор \(\overrightarrow{n}(3,-1,4)\), има следните параметрични уравнения \(l:\left\{\begin{array}{l}x=8+3 t, \\ y=7-t, \\ z=6+4 t .\end{array}\right.\). Заместваме \(x, y\) и \(z\) от последните равенства в уравнението на \(s\) и получаваме \(9 t^{2}+t^{2}+16 t^{2}=26\), т.е. \(t^{2}=1\). Следователно пресечните точки на \(l\) и \(s\) са \(M_{1}(5,8,2)\) и \(M_{2}(11,6,10)\), 6,10) , които се получават съответно при \(t_{1}=-1\) и \(t_{2}=1\). Заместваме координатите на \(M_{1}\) и \(M_{2}\) във функцията \(u\) и получаваме \(u_{1}\left(M_{1}\right) \quad 30\) и \(u_{2}\left(M_{2}\right)=82\). Следователно \(u_{\min }(5,8,2)=30\) и \(u_{\max }(11,6,10)=82\).