Резюме. В статията се разглеждат няколко теми от учебното съдържание за 9 клас. Предложен е рефлексивен подход, за който се твърди, че е ефективен при решаване на съответни задачи. Твърдението не е подкрепено с педагогически експеримент.

Ключови думи: reflection, problem solving, 9th grade curriculum

Успешното изучаване на математика в училище зависи от осъзнатите методи и средствата, с които се осъществява учебната дейност и от това доколко субектите на учебния процес правилно оценяват своите постижения и възможности. За постигане на тези цели съдейства рефлексията. Сред изследователите на рефлексията са Дж. Дюи, Клапаред, Ж. Пиаже, А. Хуторской, Д. Шьон, П. Николов, Л. Десев, В. Василев, М. Георгиева и много други. За същността на рефлексията има над 100 разбирания и трактовки, без да може да се даде единно определение за този сложен психологически акт [1]. През 1987г. съвременният американски автор Доналд Шьон въвежда два ключови термина: «рефлексия в действието», която протича без прекъсване на действието, обикновено в интерактивен режим, и «рефлексия над действието», която се осъществява след неговото завършване и се проявява като ретроспективен критичен анализ и оценка на вече стореното. В традиционните уроци се осъществява най-вече рефлексия над действието (най-често в заключителната част на урока). Въпреки многобройните изследвания на рефлексията недостатъчно е изследвана „рефлексията в действието”, като тук ще изследваме рефлексията в дейността решаване на задачи. Затова акцентът на тази статия е рефлексивната учебна дейност, илюстрирана върху примери от учебното съдържание за 9 клас. Акцентира се на следните теоретични постановки, разкриващи важни характеристики на рефлексията \([1,2,3,4,5,6,11]\) :

 Рефлексията е процес, чрез който някой отразява, когато той се опитва да преструктурира неговия опит или знание (Ф. А. Й. Кортхаген);

 Рефлексията има и инструментално значение – тя е способ за решаване на учебни проблеми и задачи. За да започне рефлексивната дейност на учениците е необходимо да се прекрати решаването на задачата и да се започне изясняване на причините за затруднението. Към задачата се връщаме след откриване на причините и намиране на начини за решаването на задачата (А. В. Хуторской);

 Рефлексията се активизира в нестандартни ситуации и нейното начало е някакво затруднение или двойствена ситуация (дилема), предлагаща алтернативи (Дж. Дюи);

 Рефлексивната дейност включва: анализ на дейността, критика на предходната дейност на основата на анализа, търсене на нови норми (алтернативи) на дейността (О. С. Анисимов).

Статията предлага алгоритъм на рефлексивната дейност за решаване на задачи, който се базира на модела ALAСT на проф. Ф. А. Й. Кортхаген. Наименованието ALAСT е абревиатура от първите букви в наименованията на фазите на рефлексията: 1. Действие (Action); 2. Поглеждане назад към действието (Looking back on the action); 3. Осъзнаване на основни аспекти (Awareness of the essential aspects); 4. Създаване на алтернативни методи за действие (Creating alternative methods of action); 5. Изпробване (Trial). В петфазовия модел на рефлексията се съдържат основните етапи на рефлексивната дейност по математика (фиг.1). Ще покажем етапите на рефлексията при решаване на задачи от учебното съдържание за 9 клас, като следваме фазите на модела ALAСT (Таблица 1.)

В следващото изложение се демонстрира действието на алгоритъма за рефлексивна дейност като се следват петте фази на модела ALAСT при решаване на примерни задачи (№3 – №8) от различни урочни теми.

Тема „Формули на Виет. Приложение”

Фаза 1. Действие. На учениците се предлага самостоятелно да решат следната примерна задача 3. : „Ако \(\mathrm{x}_{1}\) и \(\mathrm{x}_{2}\) са корените на квадратното уравнение \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=0\), пресметнете стойността на израза \(\mathrm{x}_{1}{ }^{2}+\mathrm{x}_{2}{ }^{2}\), ако:

a) \(f(x)=x^{2}-3 x-4\); б) \(f(x)=x^{2}-x-1\); в) \(f(x)=3 x^{2}+2 x+1\)

Учениците използват формулата за корените на квадратното уравнение при решаване на подточка 3а). и лесно определят корените \(\mathrm{x}_{1}=4, \mathrm{x}_{2}=-1\), откъдето \(\mathrm{x}_{1}{ }^{2}\) \(+\mathrm{x}_{2}{ }^{2}=4+(-1)=17\)

При решаване на подточка 3б) намират \(\mathrm{x}_{1}=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}, \mathrm{x}_{2}=\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}=\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) и замествайки в израза \(\mathrm{x}_{1}{ }^{2}+\mathrm{x}_{2}{ }^{2}\) получават \(\left(\tfrac{1+\sqrt{5} 1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{1-\sqrt{5} 1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}\), което води до по-сложни преобразувания, а оттам и до грешки в крайния резултат. Появява се психическо напрежение и нежелание за пресмятане на по-сложни изрази. Това негодувание нараства при решаването на подточка 3в)., в която се получава \(\mathrm{D} \lt 0\) и отговорът на всички ученици е, че задачата няма решение.

Фаза 2. Поглеждане назад към действието. Реализира се диалогова рефлексия над действието: Коя подточка от задачата ви хареса най-много; а коя не ви хареса? Защо, какво ви затрудни в нея? Имате ли търпението да пресмятате ирационални изрази? А какво да правим в подточка 3в)? Дали няма някакъв по-рационален, „хитър” и по-лек начин за решението на тази задача?

Фаза 3. Осъзнаване на основните аспекти. След рефлексивния анализ над действието, учениците са мотивирани да търсят новия метод. Това е моментът в урока за мотивация на новото знание (показва се портрета на Виет). Учителят шеговито споделя, че надали има човек по света със завършено средно образование, който не познава този френски учен и който да не знае неговите формули за връзката между корените, коефициентите и свободния член на едно квадратно уравнение. Името му е Франсоа Виет, а формулите му днес са известни като формулите на Виет.

Фаза 4. Създаване на алтернативни методи на действие. Извеждат се формулите на Виет, които по същество са алтернативен метод за решаване на квадратни уравнения. След като учениците се запознаят с новия метод отново се решава подточка 3а). Тук отново има проблем, защото реално в (\(\mathrm{x}_{1}{ }^{2}+\mathrm{x}_{2}{ }^{2}\) ) изразите от формулите на Виет липсват. Всичко доказано сякаш се обезсмисля (отново сме във фаза 2. Поглеждане назад към действието). Появява се необходимост от преобразуване на този израз. Учениците се намират във фаза 3.“Осъзнаване на нови аспекти (запознаване с нови теоретични елементи) като чрез подходящи въпроси колективно се достига до представянето:

\[ \mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}=\left(\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{x}_{2}^{2}\right)-2 \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2} \]

Сега вече „Формулите на Виет” удобно се прилагат и с тях леко се решават подточките 3а), 3б) и дори 3в), където реални корени не съществуват.

Фаза 5. Изпробване. Новооткритият алтернативен метод се прилага (изпробва веднага) за решаване на примерната задача 4. „Ако \(\mathrm{x}_{1}\) и \(\mathrm{x}_{2}\) са корените на квадратното уравнение \(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{x}-1=0\), пресметнете стойността на израза \(\mathrm{x}_{1}{ }^{3}+\mathrm{x}_{2}{ }^{3}\) „.

Тема „Решаване на ирационални уравнения”

Ще разгледаме задачи, при които рефлексията помага за правилно усвояване на ново понятие. В урока по тази тема са дадени определенията за ирационално уравнение и уравнение следствие, и са решени поне две уравнения, в които има чужди корени.

Фаза 1. Действие. Преминава се към решаване на примерна задача 5. Решете уравненията: а) \(\mathrm{x}+2 \sqrt{x} \sqrt{x}=3\); б) \(\mathrm{x}+\mathrm{x} \sqrt{2} \sqrt{2}=1\)

Като се използва показаният метод, лесно се получава \(2 \sqrt{x} \sqrt{x}=3-\mathrm{x}\), откъдето чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението и решаване на полученото квадратно уравнение и проверка се намира решението \(x=1\). Решаването на зад.5б) мнозинството ученици провеждат „аналогично”:

\[ \begin{aligned} & x+x \sqrt{2} \sqrt{2}=1 \\ & x \sqrt{2} \sqrt{2}=1-x \\ & 2 \cdot x^{2}=1+x^{2}-2 x \\ & x^{2}+2 \cdot x-1=0 \\ & x_{1,2}=-1 \pm \sqrt{2} \sqrt{2} \end{aligned} \]

При проверката се установява, че \(\mathrm{x}=-1-\sqrt{2} \sqrt{2}\) не е решение на уравнението.

Фаза 2. Поглеждане назад към действието. Реализира се диалогова рефлексия над действието. И в тази задача дейността решаване е свързана с „неприятни” ирационални изрази. Диалогова рефлексия: Трудно ли извършихте пресмятанията? Правилно ли приложихте метода? А дали бе нужно да извършвате тези пресмятания? При уравнения от кой вид се прилага този метод?

Фаза 3. Осъзнаване на основни аспекти. Осмислянето на теоретичните основания е свързано с въпроса: „Какво наричаме ирационално уравнение?” Правилният отговор насочва учениците към фаза 4. Създаване на алтернативниметоди на действие. Оказва се, че уравнението в зад. 5б) не е ирационално, а е линейно уравнение и то се решава с друг метод.

Фаза 5. Изпробване. С метода на еквивалентността се решава линейното уравнение:

\[ \begin{aligned} & x+x \sqrt{2} \sqrt{2}=1 \\ & x(1+\sqrt{2} \sqrt{2})=1 \\ & x=\tfrac{1}{1+\sqrt{2} 1+\sqrt{2}} \end{aligned} \] откъдето след рационализиране получаваме \(\mathrm{x}=-1+\sqrt{2} \sqrt{2}\).

Тема. Свойство на ъглополовящата в триъгълника

Има случаи, при които учениците правилно научават теорема или свойство, но при формалното им прилагане се получават грешни или абсурдни отговори. Илюстрация на това твърдение е решението на следващата примерна задача 6. Тази задача се разглежда в урока, след като е доказана теоремата за вътрешната ъглополовяща на ъгъл в триъгълник и тази теорема е прилагана в решението на поне една задача.

Фаза 1. Действие. Решава се задача 6.: Правата, която разполовява един от острите ъгли на правоъгълен триъгълник, дели срещуположния катет на две отсечки с дължини съответно 4 см и 5 см. Определете дължините на страните на триъгълника.

Фаза 1. Действие. Голяма част от учениците решават задачата по следния начин: Нека \(\triangle \mathrm{ABC}\) е правоъгълен триъгълник, AL е ъглополовяща и \(\mathrm{BL}=4 \mathrm{~cm}\); \(\mathrm{CL}=5 \mathrm{~cm}\). Означаваме \(\mathrm{AC}=\mathrm{x} ; \mathrm{BC}=\mathrm{y}\) (фиг.2). От свойството на ъглополовящата следва пропорцията:

\[ \tfrac{y}{x}=\tfrac{4}{5} \quad y=\tfrac{4}{5} x \]

От Питагоровата теорема се получава \(y^{2}=x^{2}+81\). Учениците решават системата чрез заместване и достигат до уравнението \(9 x^{2}=-25.81\), което няма решение.

Фаза 2. Поглеждане назад към действието: Защо не получаваме решение като правилно прилагаме теореми и определения? Дали сме допуснали някъде грешка? Къде може да е тази грешка? Тъй като при решаване на системата няма допусната грешка, се достига до извода, че нещо в условието на задачата не е правилно анализирано.

Фаза 3. Изясняване на основни аспекти. Чрез рефлексивна беседа се изяснява, че за да бъде спазено съответствието при пропорцията, по-голямата отсечка (5см) трябва да е прилежаща на хипотенузата (у).

Фаза 4: Създаване на алтернатива. Прави се изводът, че първоначално съставената пропорция е невярна. В новата ситуация дължините на BL и CL са съответно: \(\mathrm{BL}=5 \mathrm{~cm}\), а \(\mathrm{CL}=4 \mathrm{~cm}\).

Фаза 5. Изпробване на алтернативата. При новата ситуация системата придобива вида:

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & \tfrac{y}{x}=\tfrac{5 y}{4 x}=\tfrac{5}{4} \\ & y^{2}=x^{2}+81 \text { от където получаваме } y=15 ; x=12 \end{aligned}\right. \]

Следователно \(\mathrm{AB}=15 \mathrm{~cm} ; \mathrm{AC}=12 \mathrm{~cm} ; \mathrm{BC}=9 \mathrm{~cm}\).

Тема. Приложение на тригонометричните функции на остър ъгъл в задачи от планиметрията

Ще разгледаме една задача, „неплашеща” слабите ученици със своята несъмнена сложност и едновременно даваща възможност на по-силните ученици в достатъчна степен да се проявят.

Фаза 1. Действие. Учениците решават примерната задача 7.:

“Медианата, излизаща от единия връх на триъгълника е равна на 1см и е равна на височината, спусната от другия връх; а височината, спусната от третия връх е равна на 3cm. Да се намери лицето на триъгълника”.

Решение: Нека \(\triangle \mathrm{ABC}\) има медиана \(\mathrm{AM}=1 \mathrm{~cm}\), височина \(\mathrm{BH}=1 \mathrm{~cm}\) и височина \(\mathrm{CD}=\sqrt{3} \sqrt{3}\) см. (фиг.3).

Построяваме \(\mathrm{MF} \| \mathrm{BH}\). Тогава в \(\Delta \mathrm{BCH}, \mathrm{MF}=\tfrac{11}{22} \mathrm{BH}=\tfrac{11}{22} \mathrm{~cm}\) като средна отсечка. От \(\Delta \mathrm{AMF}\) : намираме \(\sin \angle \mathrm{MAC}=\tfrac{M F}{\mathrm{AM}} \tfrac{M F}{\mathrm{AM}}=\tfrac{11}{22}\), откъдето \(\angle \mathrm{MAC}=30^{\circ}\). Построяваме МЕ успоредна на CD и чрез аналогични разсъждения намираме от \(\triangle \mathrm{AME} \sin \angle \mathrm{MAB}=\) \(\tfrac{M E}{\mathrm{AM}} \tfrac{M E}{\mathrm{AM}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2} \tfrac{\sqrt{3}}{2}\), откъдето \( \lt \mathrm{MAB}=60^{\circ}\). Следователно \( \lt \mathrm{BAC}=90^{\circ}\) и \(\triangle \mathrm{ABC}\) е правоъгълен с катети \(\mathrm{BC}=1 \mathrm{~cm}\) и \(\mathrm{AC}=3 \mathrm{~cm}\) (фиг. 4). Лицето на този триъгълник е равно на \(\tfrac{\sqrt{3}}{2} \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) см2 .

Фаза 2. Поглеждане назад към действието. Анализира се решението чрез въпросите: В условието на задачата казано ли е какъв е видът на триъгълника? А колко ще е лицето, ако \( \lt \mathrm{BAC}\) е по-голям от \(90^{\circ}\), т. е. тъп? По този начин учениците се насочват към фаза 3 (осъзнаване на основни аспекти) и разбират, че решението на задачата не е пълно. Те са убедени, че е необходимо разглеждането на алтернативата \( \lt \mathrm{BAC}\) да е тъп (фаза 4.), която изисква конструиране на нов чертеж (фиг. 5). и решаване на задачата в този нов случай.

Фаза 5. Изпробване. В този случай решението е на малко по-високо ниво на професионализъм.

Решение: Медианата \(\mathrm{AM}=1 \mathrm{~cm}\); височината \(\mathrm{BH}=1 \mathrm{~cm}\) и височината \(\mathrm{CD}=\sqrt{3} \sqrt{3}\) см. В \(\Delta \mathrm{BHC}\) намираме \(\mathrm{MF}=\tfrac{11}{22} \mathrm{BH}=\tfrac{11}{22}\) см като средна отсечка. Тогава от \(\Delta \mathrm{AMF}\) \(\sin \angle \mathrm{MAF}=\tfrac{M F}{\mathrm{AM}} \tfrac{M F}{\mathrm{AM}}=\tfrac{11}{22}\), откъдето \(\angle \mathrm{MAF}=30^{\circ}\). В \(\triangle \mathrm{BDC}\) отсечката \(\mathrm{ME}=\tfrac{11}{22} \mathrm{CD}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\tfrac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}\), като средна отсечка. Тогава от \(\triangle \mathrm{AEM}\) намираме \(\sin \angle \mathrm{MAE}=\tfrac{\text { MEME }}{\text { MAMA }}=\tfrac{\sqrt{3}}{2} \tfrac{\sqrt{3}}{2}\), откъдето \( \lt \mathrm{MAE}=60^{\circ}\). Следователно \( \lt \mathrm{DAC}=30^{\circ}\), откъдето \( \lt \mathrm{BAH}= \lt \mathrm{DAC}=30^{\circ}\). Определяме АВ от правоъгълния \(\triangle \mathrm{AHB}\) и \(\tfrac{B H B H}{\mathrm{AB} A B}=\sin \angle \mathrm{BAH}=\tfrac{11}{\mathrm{ABAB}}=\tfrac{11}{22}\) и следователно \(\mathrm{AB}=2 \mathrm{~cm}\). Лицето на \(\triangle \mathrm{ABC}=\tfrac{11}{22} \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}=\sqrt{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\). По този начин задачата има два отговора: \(\tfrac{\sqrt{3}}{2} \tfrac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}^{2}\) и \(\sqrt{3} \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}\).

Заключение

Предложените теми и задачи от математическото учебно съдържание за 9 клас са опит да се покаже приложението на рефлексията в дейността решаване на задачи. Рефлексията може успешно да се приложи както в други теми от учебното съдържание за 9 клас (системи уравнения от втора степен с две неизвестни, подобни триъгълници, метод на хомотетията за решаване на задачи за построение и т. н.), така и в други класове. Практиката показва, че рефлексията е един от механизмите за превръщане на обучението в оптимално взаимодействие между учебното съдържание и изявяващият се субектен опит на всеки ученик чрез проблемите на това съдържание.

БЕЛЕЖКИ

1. www.prosolva.org\spip\spip.php?article205. Какво е рефлексия? Ард Зонефелд

ЛИТЕРАТУРА

1. Василев, В. (2006). Рефлексията в познанието, самопознанието и практиката. Пловдив: Маркос.

2. Ганчев, Ив. (1999). Основни учебни дейности в урока по математика. София: Модул-96.

3. Георгиева, М. (2001). Рефлексията в обучението по математика V-VІ клас. Велико Търново: Faber.

4. Георгиева, М. (2006). Ейдетика-рефлексия-синектика-синергетика (в системата „обучаващ-обучаван”), Научно-приложна конференция, 249-255

5. Гълъбова, Д., Бейков. М. (2009). Интерактивни образователни технологии за стимулиране на критическото мислене при изучаване на „Еднаквости” I, Математика и информатика, 4.

6. Гълъбова, Д., Бейков. М. (2009). Интерактивни образователни технологии за стимулиране на критическото мислене при изучаване на „Еднаквости” II, Математика и информатика, 5.

7. Гълъбова, Д., Бейков. М. (2009). Интерактивни образователни технологии за стимулиране на критическото мислене при изучаване на „Еднаквости” III, Математика и информатика, 6.

8. KORTHAGEN, F.A.J.(1992). Reflectie en de profesionle ontwikkeling van leraren. Pedagogische Studieen, 69, 112-123

9. Лозанов, Ч., Витанов, Т., Недевски. П. (2009). Математика за 9 клас. Задължителна подготовка. София: Анубис

10. Лозанов, Ч., Витанов, Т., Недевски. П. (2009). Математика за 9 клас. Профилирана подготовка. София: Анубис

11. Лицман, В. (1975). Къде е грешката? - София: Техника.

12. Шаригин, И. (1988). Търсете вариантите. Обучението по математика, 1, 5-12.