Научно-методически статии
ПОДГОТОВКА ЗА XXV МЛАДЕЖКА БАЛКАНИАДА ПО МАТЕМАТИКА 2021
https://doi.org/10.53656/math2021-5-2-pod
Резюме. Статията съдържа състезателните теми за селекция на отбора на България за Младежката балканска олимпиада по математика 2021, както и преглед на представянето на отбора. Включените тук материали могат да са от полза за школите за подготовка за математически състезания VII – IX клас.
Ключови думи: математически състезания; Младежка балканиада по математика; селекционни контролни
Разширеният отбор на България за XXV младежка балканска олимпиада по математика (МлБОМ) беше избран съгласно наредбата на МОН въз основа на резултатите от Зимните математически състезания (за VIII и IX клас), Пролетните математически състезания (за VII, VIII и IX клас) и Националния кръг на олимпиадата по математика (за VII и VIII клас). Шестимата участници в разширения отбор, постигнали най-висок сбор на двете проведени контролни работи (\(29-30.5 .2021\) ), съставиха отбора на България за МлБОМ. Ето задачите от тези контролни и решенията им.
Задача 1. а) За реалните числа \(x, y, z, t\) докажете \[ (x(y+z)+y(z+t)+z(t+x)+t(x+y))^{2} \geq 8(x+z)(y+t)(x z+y t) . \] б) Краен или безкраен е броят четворки (\(x, y, z, t\) ) от различни цели числа, при които се достига равенство?
Решение. а) Да положим \(A=x y+y z+z t+t x\) и \(B=x z+y t\). Лявата страна е равна на \((A+2 B)^{2}\), а дясната е \(8 A B\) и исканото е еквивалентно на очевидното \((A-2 B)^{2} \geq 0\).
б) Изборът \(t=0\) свежда \(A=2 B\) до \(x y+y z=2 x z\) и значи при \(x+z=1\) имаме \(y=2 x z\). Следователно безкрайното семейството от четворки \((a, 2 a(1-a), 1-a, 0)\) за цяло \(a \neq 0,1\) изпълнява исканото.
Оценяване. а) 6 т., от които по 2 т. за забелязване на всяко от \(A\) и \(B\) и 2 т. за завършване (при незавършени идеи с груби разкривания на скоби – най-много 1 т.); 4 т. за б) от които 0 т. за верен отговор, 1 т. за опростяване от вида “\(t=0\)”, 2 т. за деклариране на работещо безкрайно семейство и 1 т. за проверка, че е такова: най-вече отбелязване на изключения, каквито например са в указаното решение, или явно избягване на такива (например с условието \(a \geq 2\) ).
Задача 2. На страните \(B C\) и \(C A\) на остроъгълен \(\triangle A B C\) навън от триъгълника са построени квадрати \(C B A_{1} M\) и \(A C N B_{1}\). Да се докаже, че правите \(A A_{1}\) и \(B B_{1}\) се пресичат върху височината \(C C_{1}\) на \(\triangle A B C\).
Решение. Построяваме квадрат \(A B E F\) навън от \(\triangle A B C\). Ротацията на \(\triangle A F E\) около \(A\) на \(90^{\circ}\) дава \(C F \perp B B_{1}\), т.е. \(B B_{1}\) е успоредна на височината \(E E_{1}\) в \(\triangle F E C\). По същите причинипресича \(A A_{1}\) т ве успоредна точка \(H\). Транслацията с на височината вект \(F F_{1}\)ор. Нека \(\overrightarrow{F A}\) изпраща висо височините \(C C_{1}, E E_{1}\) чините ви правите \(F F_{1}\) се \(B B_{1}, A A_{1}\); търсената пресечна точка е образът на \(H\).
Оценяване. 1т. за построяване на \(H, 3\) т. за \(C F \perp B B_{1}\) и \(C E \perp A A_{1} ; 1\) т. \(B B_{1} \| E E_{1}\) и \(A A_{1} \| F F_{1}, 5\) т. за завършване.
Задача 3. Ще наричаме „г-тримино“ квадрат \(2 \times 2\) с отстранено едно поле \(1 \times 1\).
a) От квадрат \(5 \times 5\) изрязали 8 г-тримина и едно поле останало; кое може да е то?
б) Намерете всички двойки естествени ( \(m ; n\) ), \(m \leq n\), за които е възможно да покрием правоъгълник \(m \times n\) с няколко слоя от г-тримина, така че никое да не стърчи извън правоъгълника и всяко поле на правоъгълника да е покрито с еднакъв брой г-тримина.
Решение. а) Да оцветим следните 9 полèта: централното, ъгловите 4 и 4-те до средите на страните. Всяко от 8-те г-тримина може да има най-много едно оцветено поле, така че деветото оцветено поле трябва да е останало. Всяко от тези 9 полèта е възможно, както личи от чертежите:
б) Явно трябва \(m \gt 1\). Квадрат \(2 \times 2\) се покрива с 3 слоя г-тримина, а правоъгълник \(2 \times 3\)– с 1 слой; това гарантира успех във всички случаи, когато поне едно от числата \(m, n\) е четно. Ако \(m=3\) и \(n=2 k-1\), да запишем в нечетните полета от нечетните редове числото −2, а в останалите да запишем 1; сборът от числата в таблицата е \(3(2 k-1)-3.2 k=-3\), а всяко г-тримино покрива полета с неотрицателен сбор, така че желаното е непостижимо. Ако \(m=5\) и \(n=2 k-1\), да запишем в нечетните полета от нечетните редове числото −2, а в останалите да запишем 1; сборът от числата в таблицата е \(5(2 k-1)-3.3 k=k-5\) и понеже всяко г-тримино покрива полета с неотрицателен сбор, трябва \(k \geq 5\). Това наистина е възможно: таблица \(5 \times 9\) се запълва лесно, като се следва изискването всяко тримино да съдържа някое от полетата с −2 (има много начини; от участниците се изисква един), а за по-големи \(k\) е достатъчно да се добавят подходящ брой \(2 \times 2\) и \(2 \times 3\). По същите причини са възможни случаите, ако единият размер на таблицата е поне 9. А таблица \(7 \times 7\) може да се покрие с \(2 \times 2,2 \times 3\) и едно г-тримино, така че и този случай е възможен. Окончателно, възможни са единствено случаите, когато размерите са по-големи от 1, поне един е четен или ако са два нечетни, то са по-големи от 3 и сборът им е поне 14.
Оценяване. а) 1 т.за оценката и 1 т. при наличие на трите типа примери; б) 1т. общо за пълен анализ на случаите с наличие на размер 1 и на четен размер; 2т. общо за случаите \(3 \times(2 k-1) ; 2\) т. общо за случаите \(5 \times(2 k-1) ; 1\) т. за случая \(7 \times 7 ; 2\) т. за завършване.
Задача 4. Да се намери най-малкото естествено число \(d\) със свойството: за всяко естествено число \(m\) съществуват естествени числа \(a \gt b \gt c\) в интервала \(\left[m^{4}+2 ; m^{4}+m^{2}+d m\right]\), такива че \(c\) дели произведението \(a b\).
Решение. При \(m=1\) и \(d \leq 3\) няма подходящи числа. Ще покажем, че \(d=4\) изпълнява исканото. За \(m=1\) избираме \(c=3, b=4, a=6\). Ако \(m \geq 2\), избираме \(c=\left(m^{2}-2 m+2\right)\left(m^{2}+2 m+2\right)=m^{4}+4, \quad b=\left(m^{2}-2 m+2\right)\left(m^{2}+2 m+3\right)=m^{4}+m^{2}-2 m+6\), \(a=\left(m^{2}-2 m+3\right)\left(m^{2}+2 m+2\right)=m^{4}+m^{2}+2 m+6\), които отговарят на условието за \(d \geq 4, m \geq 2\).
Оценяване. Общо 1 т. за отхвърляне на \(d \leq 3\) и ясно твърдение, че \(d=4\) работи (0т. при едно от двете); 1 т. за справяне с \(m=1 ; 4\) т. за ясна формулировка на работеща конструкция; 4т. за пълна проверка на конструкцията.
Коментар. Няколко от решилите задачата се досетиха за ефикасния избор \(c=m^{4}+m\), придружен от \(b=m^{2}-m+1\) и \(a=m^{2}+m\).
Задача 5. Успоредните прави \(a, b\) са на разстояние 1 една от друга. Квадрат \(A B C D\) има страна 1. Прaвата \(a\) пресича страните \(A B, B C\) съответно в точки \(M, P\). Прaвата \(b\) пресича страните \(C D, D A\) съответно в точки \(N, Q\). Да се намери ъгълът между пресичащите се вътре в квадрата прави \(M N\) и \(P Q\).
Решение. Точката \(Q\) е на разстояние 1 от \(P C\) и \(P M\), така че лежи на външната ъглополовяща при върха \(P\) на правоъгълния \(\triangle M B P\). По същите причини \(M N\) е външна ъглополовяща при \(M\) на \(\triangle M B P\). Формулата за ъгъл между външни ъглополовящи дава отговор \(90^{\circ}-\tfrac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ}\).
Оценяване. 6т. за доказване, че \(M N\) и \(P Q\) са външни ъглополовящи;4 т. за завършване.
Задача 6. Ако \(a, b, c\) са положителни реални числа, за които \(a b c(a+b+c)=3\), то намерете (ако съществува) най-малката стойност на израза \((a+b)(a+c)\).
Решение. Имаме \((a+b)(a+c)=a(a+b+c)+b c=3: b c+b c \geq 2 \sqrt{3}\) от неравенството между средно аритметично и средно геометрично с равенство при \(b c=\sqrt{3}\). Ако фиксираме \(b=1, c=\sqrt{3}\), то \(a(a+1+\sqrt{3})=\sqrt{3}\) води до квадратно уравнение, в което старшият коефициент и свободният член са с противоположни знаци, така че дискриминантата е положителна и един от корените на уравнението е положителен, т.е. наистина стойността \(2 \sqrt{3}\) се достига за числа с дадените ограничения.
Оценяване. 2 т. за свеждане до условие за \(b c ; 3\) т. за доказване, че изразът е не по-малък от \(2 \sqrt{3} ; 5\) т. за доказване, че стойността се достига за числа с дадените ограничения.
Задача 7. Да се намерят всички прости числа \(p\), такива, че за всеки две (не непременно различни) естествени числа \(x\) и \(y\) числото \((x+y)^{19}-x^{19}-y^{19}\) се дели на \(p\).
Решение. При \(x=y=1\) имаме, че \(p\) дели \(2^{19}-2=2 \cdot\left(2^{9}-1\right) \cdot\left(2^{9}+1\right)=2 \cdot 3^{3} \cdot 7 \cdot 19 \cdot 73\), а при \(x=2, y=1\) имаме, че \(p\) дели \(3^{19}-2^{19}-1\), като директно се проверява, че 73 не дели последното, например чрез \(3^{19} \equiv\left(3^{3}\right) \cdot\left(3^{4}\right)^{4} \equiv 27 \cdot 8^{4} \equiv 27 \cdot(-9)^{2} \equiv 27 \cdot 8 \equiv 70\) и \(2^{19} \equiv 2.64^{3} \equiv 2 .(-9)^{3} \equiv-18.81 \equiv-18.8 \equiv 2\), всичките по модул 73 (принципно \(3^{19}-2^{19}-1=2.3 .7^{2} .19 .207973\), като \(207973\) е просто – в тази ситуация това не ни е необходимо). Така непременно \(p=2,3,7,19\) и ще проверим, че тези работят.
От теоремата на Ферма по модул \(19(x+y)^{19} \equiv x+y, x^{19} \equiv x, y^{19} \equiv y\) и исканото следва за \(p=19\).
За \(p=7\) по модул 7 за цяло \(a\) от Ферма \(a^{19} \equiv a^{7} \cdot a^{6} \cdot a^{6} \equiv a \cdot a^{6} \cdot a^{6} \equiv a^{7} \cdot a^{6} \equiv a \cdot a^{6} \equiv a\) и сме готови.
За \(p=2,3\) можем да постъпим както по-горе или чрез бързи директни проверки, както следва. При \(p=2\), ако \(x\) (аналогично и за \(y\) ) е нечетно, числата \(x+y\) и \(x\) са с еднаква четност и сме готови; иначе \(x\) и \(y\) са нечетни, \(x+y\) е четно и исканото пак е изпълнено. При \(p=3\) случаят, когато \(x\) или \(y\) се дели на 3, е директен; ако \(x \equiv y \equiv 1\),то \(2^{19}-2\) се дели на 3, понеже нечетните степени на 2 дават остатък 2 по модул 3; ако \(x \equiv y \equiv 2\), то \(4^{19}-2.2^{19} \equiv 1-2^{20}\) се дели на 3, понеже четните степени на 2 дават остатък 1; ако \(x \equiv 2, y \equiv 1\) (или обратното), то искаме \(-2^{19}-1\) да се дели на 3, и довършваме както във втория случай.
Оценяване. 2 т. за извод от полагане, което ясно показва, че \(p=2,3,7,19\) (и най-много две други \(p\) ) са евентуални кандидати; 4 т. за отхвърляне на излишните \(p ; 1\) т. за проверката на \(p=19,2\) т. при изцяло коректна проверка за \(p=7\), общо 1 т. за проверката на \(p=2\) и \(p=3\) (0 т., ако само едното е разгледано).
Задача 8. Числата \(k, m, n\) са естествени и по-големи от 2. Във всеки връх на \(n\)-ъгълник е записано цяло число от интервала \([0 ; m]\). За един ход се избират две съседни числа и се увеличават с по 1. С дадена двойка върхове може да се извършва ход не повече от \(k\) пъти. При кои стойности на \(m, n, k\) е сигурно, че всички числа могат да се изравнят независимо от началните им стойности?
Решение. Номерираме върховете на \(n\)-ъгълника поред \(1,2,3, \ldots ;\) нека \(A\) е сборът от числата на четни позиции, а \(B\)– този на нечетни. Ако \(n\) е четно, ходовете не променят \(A-B\), така че няма как да го направим 0, ако не е било 0 отначало, т.е. не може да се гарантира успех. Нека сега \(n\) е нечетно, \(n=2 j+1\); номерацията на върховете е по модул \(n\). Нека от \(B\) изключим последното събираемо. Ако първоначално числата на четни позиции са равни на \(m\), а останалите на 0, то \(A-B=m j\). С всеки ход тази величина не се променя или се намалява с 1 (ако добавим 1 към \(n\)-тото и първото число), или се увеличава с 1 (ако добавим 1 към \(n-1\)-вото и \(n\)-тото число). При желаната цел \(A-B=0\), така че са нужни поне \(m j\) хода с двойката, съдържаща \(n\)-тия и първия връх. И така, необходимо е \(k \geq m j\). Ако \(k \geq m j\), нека за всяко \(i\) извършим ход с двойката числа на позиции \(i\) и \(i+1\) толкова пъти, колкото е сборът на числата на позиции \(i+2, i+4, \ldots, i+2 j\) (този сбор е най-много \(m j\) ); по този начин числото във всеки връх ще стане равно на сбора на числата в първоначалната ситуация (понеже то ще участва в ходове и с левия, и с десния си съсед). Отговор: точно когато \(n=2 j+1\) за цяло \(j\) и \(k \geq m j\).
Оценяване. 1 т. за случая с четно \(n\); 4 т. за доказване, че \(k \geq m j\) е необходимо; 5 т. за доказване, че \(k \geq m j\) е достатъчно.
След определяне на отбора на България беше проведена 25-дневна подготовка с целия Разширен отбор, която в дистанционните си фази включваше и други участници в тази възрастова група, постигнали високи резултати в състезанията. В подготовката освен авторите на настоящата статия се включиха и бивши ръководители на националните отбори и участници в тях; тя се състоеше от дистанционно обучение (\(5.6-25.6 .2021\) ) и присъствено по 6 учебни чàса лекции плюс мат бой, както и контролна работа при правилата на МлБОМ в Центъра за подготовка на ученици за олимпиади на МОН (25 – 29.6.2021). Самата МлБОМ, организирана от Математическото общество на Югоизточна Европа (MASSEE), през 2021 имаше за формален домакин Молдова. В олимпиадата взеха участие ученици от 22 отбора от 21 държави. Резултатите на българския национален отбор са следните:
В отборното класиране сред официалните участници България зае второ място след отбора на Румъния, а сред неофициалните по-добри от нашия са резултатите на Саудитска Арабия и Казахстан, две държави със силна държавна подкрепа в подготовката на отборите си.