Въпроси на преподаването
МОДЕЛ НА ЛЕОНТИЕВ С MS EXCEL
https://doi.org/10.53656/math2023-6-6-leo
Резюме. В настоящата разработка е представено приложно решаване на балансов модел на Леонтиев с помощта на софтуер MS Excel. Едно от предимствата на алгоритмичното решаване на подобни задачи чрез подходящ софтуер е значителното разширяване на практическото им приложение, свързано с обработката на данни и изпълнение многобройни изчислителни операции. От друга страна, това позволява подълбок анализ на взаимовръзките между отделните групи при зададени различни изходни данни или промяна на самите фактори в структурата на модела.
Ключови думи: балансов модел на Леонтиев; модел приходи – разходи; MS Excel; алгоритмичното решаване; анализ на данни
1. Въведение
През 30-те години на ХХ век руският икономист Василий Леонтиев (1905 – 1999), работещ в САЩ, започва изследване на междуотрасловата структура на американската икономика. Той създава математически модел за междуотраслов баланс, като разглежда и описва взаимните връзки между 500 отрасъла. Решаването на модела дава възможност да се прогнозира обемът на производството, който да задоволява междуотрасловите и пазарните потребности. За теорията си и създадения и решен математически модел през 1973 г. Леонтиев получава Нобелова награда за икономика.
Моделът на Леонтиев се използва за моделиране на регионалните и националните икономики, както и за моделиране на световната икономика. Моделът на Леонтиев се разглежда в два варианта:
– затворен – когато разглежданата икономика произвежда продукция само за задоволяване на производствените нужди;
– отворен – когато освен за собствени нужди произвежда и продукция за крайни потребители.
Освен това моделът може да бъде статичен или динамичен в зависимост от това дали се разглежда за даден конкретен момент, или във времето. Ще разгледаме статичния отворен модел на Леонтиев (Leontief 1986), (Dietzenbacher et al. 2011). От друга страна, ако се приеме, че преките разходи имат случаен характер, то е необходимо да се разгледа отворен стохастичен модел на Леонтиев (Kozicka 2021).
В глава 2 е постулиран математически статичен отворен модел на Леонтиев (табл. 1) и за демонстрация е решена практическа задача от такъв вид само с два отрасъла (табл. 2). В глава 3 чрез MS Excel се решава практическа задача в рамките на отворена регионална икономика с три отрасъла и чрез определяне на числените стойности на обемите на произвеждана продукция се дава практически извод за балансирана икономика. В заключението са направени практически изводи за сложността и предимствата на представеното приложно решение на задачи от модела на Леонтиев и се дават насоки за бъдеща работа за развитието на алгоритмичното решаване на подобни практически задачи.
2. Статичен отворен модел на Леонтиев
Нека за по-голяма прегледност приемем, че в даден регион са развити три отрасъла. Да считаме, че те произвеждат продукция в обеми (в млн. лв.), която ще наричаме обща продукция. Част от продукцията на всеки отрасъл се използва за задоволяване на собствените нужди, друга част е предназначена за потребление от другите отрасли, а трета – за задоволяване нуждите на пазара. Продукцията за нуждите на пазара на всеки отрасъл се нарича краен продукт (крайна продукция) на отрасъла.
Разпределението на продукцията може да се опише с помощта на т. нар. „Таблица на междуотрасловите връзки“ (табл. 1).
Таблица 1
Въз основа на тази таблица можем да напишем следните линейни уравнения, наречени балансови уравнения на производствата:
(1)\[ \begin{aligned} & x_{1}=x_{11}+x_{12}+x_{13}+d_{1} \\ & x_{2}=x_{21}+x_{22}+x_{23}+d_{2} \\ & x_{3}=x_{31}+x_{32}+x_{33}+d_{3} \end{aligned} \]
където \(x_{i j}\) е продукцията, която \(i\)-тият отрасъл дава на \(j\)-тия.
В практиката обикновено се счита, че количествата, отделени за всеки отрасъл, са пропорционални на количествата обща продукция, т.е. всеки отрасъл потребява продукция от друг отрасъл, пропорционална на собственото му производство.
Да означим коефициентите на пропорционалност с \(c_{i j}\). Те се наричат коефициенти на преките разходи и изразяват каква част от продукцията на \(i\)-тия отрасъл \((i=1,2,3)\) се използва за производство на единица продукция от \(j\)-тия отрасъл \((j=1,2,3)\). В практиката обикновено се задават тези коефициенти. Като заместим \(x_{i j}\) в (1) с \(c_{i j} x_{j}\), получаваме:
(2)\[ \begin{aligned} & x_{1}=c_{11} x_{1}+c_{12} x_{2}+c_{13} x_{3}+d_{1} \\ & x_{2}=c_{21} x_{1}+c_{22} x_{2}+c_{13} x_{3}+d_{2} \\ & x_{3}=c_{31} x_{1}+c_{32} x_{2}+c_{33} x_{3}+d_{3} \end{aligned} \]
Системата (2) представлява математическо описание на отворения междуотраслов баланс на една регионална икономика и се нарича математически модел на междуотрасловия баланс или балансов модел на Леонтиев. Известен е още и като модел „приходи – разходи“ („input – output“ model) (Leontief 1986).
За системата (2) да въведем следните означения:
\(X=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\)– матрица-стълб на общата продукция; \(D=\left(\begin{array}{l}d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3}\end{array}\right)\)– матрицастълб на крайната продукция и \(C=\left(\begin{array}{lll}c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{array}\right)\)– матрицата на преките разходи;
Тогава можем да запишем (2) в матричен вид: \(X=C X+D\), или \((E-C) X=D\), където \(E\) е единична матрица от трети ред. B ( (Kozicka 2021) е разгледан отворен стохастичен модел на Леонтиев, при който матриците \(C\) и \(D\) са случайни.
Поставяме следната задача: При известна матрица на преките разходи \(C\) и матрица на крайната продукция \(D\), да се намери матрицата \(X\) на общата продукция.
Решението на уравнението е \(X=(E-C)^{-1} D\). Матрицата \((E-C)^{-1}\) се нарича матрица на коефициентите на пълните (вътрешнозаводски) разходи.
С намирането на матрицата \(X=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\) се определя общата продукция за всеки отрасъл.
Задачата може да се реши и по отношение на крайната продукция \(D\), при известни \(C\) и \(X\). Моделът, който разгледахме, е при предположението за три отрасъла. Тогава матрицата \(C\) на преките разходи ще бъде квадратна матрица от трети ред.
Като пример да разгледаме следната:
Задача 1. Да разгледаме отворена регионална икономика с два отрасъла: енергетика и промишленост. В таблица 2 са посочени разходите, които се правят от всеки отрасъл за производство на единица продукция (коефициентите на преките разходи), както и количествата крайна продукция (в млн. лв.).
Таблица 2
Каква трябва да е стойността на общата продукция на всеки отрасъл, за да бъде балансиран моделът?
Решение:
А. От дадената таблица изразяваме матрицата от коефициентите на преките разходи:
\(C=\left(\begin{array}{ll}0,2 & 0,6 \\ 0,1 & 0,4\end{array}\right)\) и намираме \(E-C=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ll}0,2 & 0,6 \\ 0,1 & 0,4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}0,8 & -0,6 \\ -0,1 & 0,6\end{array}\right)\).
Б. Търсим \((E-C)^{-1}\). Ще припомним, че ако \(A=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)\) е неособена квадратна матрица, то \(A^{-1}=\tfrac{1}{D_{A}}\left(\begin{array}{ll}A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22}\end{array}\right)\), където \(A_{i j}\) са адюнгираните количества на елементите \(a_{i j}\) на матрицата \(A\) и \(A_{i j}=(-1)^{i+j} D_{i j}\), където \(D_{i j}\) са съответните поддетерминанти на елементите \(a\).
Намираме най-напред детерминантата \(D\) на матрицата \(E-C\) :
\[ D=\left|\begin{array}{cc} 0,8 & -0,6 \\ -0,1 & 0,6 \end{array}\right|=0,48-0,06=0,42 \] и
\[ (E-C)^{-1}=\tfrac{1}{0,42} \cdot\left(\begin{array}{ll} 0,6 & 0,6 \\ 0,1 & 0,8 \end{array}\right) \]
В. Намираме \(X=(E-C)^{-1} . D: X=\tfrac{1}{0,42} \cdot\left(\begin{array}{ll}0,6 & 0,6 \\ 0,1 & 0,8\end{array}\right) \cdot\binom{100}{200}\),
\(X=\cfrac{100}{42} \cdot\binom{180}{170}\) , т.е. \(X \approx\binom{429}{405}\) .
Отговор. За да бъде балансирана икономиката, отрасъл „Енергетика“ трябва да произведе продукция за 429 млн. лв., а отрасъл „Промишленост“ – за 405 млн. лв.
3. Решаване на балансовия модел на Леонтиев чрез MS Excel
Задача 2. Да разгледаме отворена регионална икономика с три отрасъла– електроника (Е), растениевъдство (Р) и автомобилостроене (А). Данните са разположени в таблица 3. Да се определи обемът на производство на всеки отрасъл така, че моделът да бъде балансиран.
Таблица 3
Решение
Подобно на представения алгоритъм в (Kuneva et al. 2021), ще представим приложно решаване на задача 2 с помощта на приложението MS Excel. Стартираме MS Excel и в работния лист попълваме елементите на единичната матрица и матрицата на преките разходи. Подобен алгоритмичен подход за решаване практически задачи чрез MS Excel позволява по-дълбок анализ при промяна на изходните данни. По този начин може да се направи и анализ на взаимовръзките между отделните групи при промяна на самите фактори в структурата на разглеждания балансов модел. Например в модифициран модел на основата на Власов-Леонтиев е изследвано взаимодействието „почва – стена“ в (Qijian et al. 2014).
След въвеждане на матриците \(E\) и \(C\) избираме областта от таблицата, в случая D7:F9, в която да се пресметне матрицата \(E-C\) (фиг. 1), като за целта в клетката D7 въвеждаме формулата =B1:D3-F1:H3.
Фигура 1. Намиране на \(E-C\)
Фигура 2. Намиране на обратната матрица на E – C
След пресмятането на матрицата \(E-C\) избираме област от таблицата със същите размери, в примера това е D12:F14 (фиг. 2), в която да пресметнем обратната матрица на \(E-C\). За целта в най-горната най-лява клетка въвеждаме формулата \(=\) MINVERSE(D7:F9) и стартираме пресмятането с натискане на бутона Enter.
В клетките \(112: 114\) записваме матрицата \(D\) и пресмятаме матрицата на резултата \(X=(E-C)^{-1} \cdot D\), като в избрана клетка, в примера това е \(\mathrm{E}: 17\), напишем формулата \(=\) MMULT(D12:F14;l12:l14) за умножаване на двете матрици (фиг. 3).
Фигура. 3. Обемът на производство за всеки отрасъл
Отговор: За да бъде балансирана икономиката, отраслите електроника, растениевъдство и автомобилостроене трябва да произведат продукция в обеми 1050, 1071 и 1188 млн. лв., съответно.
4. Заключение
Предложеното описание на класическия балансов модел на Леонтиев и представеното алгоритмично решение на дадена икономическа задача от такъв вид показват лесната компютърна имплементация на съответния математически модел и ефективна приложимост на софтуерни приложения като MS Excel. Чрез тях не само значително се ускоряват изчислителните процедури, но може да се направи по-дълбок анализ на взаимовръзките между отделните фактори при задаване на различни изходни данни или промяна на самите фактори в структурата на модела. От друга страна, се улеснява разбирането и използването на редица математически формули в модели като този на Леонтиев, както и понятия като матрица, вектор,линейно оптимиране, и в същото време, това позволява да се направят реални практически изводи за икономически понятия и фактори като труд, ограничени ресурси, междуотраслов баланс и др.
REFERENCES
DIETZENBACHER, E., LAHR, M., 2004, Wassily Leontief and Input-Output Economics, Cambridge University Press, ISBN-10: 0521832381.
KOZICKA, M., An approach to stochastic input-output modeling, Mathematical Methods in Economics and Finance – \(m^{2} e f\), vol. 9/10, no. 1, 2014/2015
KUNEVA, V., MILEV, M., GOCHEVA, M., 2021. Modeling the transportation assessment with MS Excel Solver, AIP Conference Proceedings, vol. 2333. ISBN 15005-1-1500510.
LEONTIEV, W., 1986, Input-output economics. Second edition. Oxford University Press, New York Oxford, ISBN: 0195035275.
QIJIAN, L., Tian, Y., Deng, F., 2014, Dynamic analysis of flexible cantilever wall retaining elastic soil by a modified Vlasov – Leontiev model, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, vol. 63, August 2014, pp. 217 – 225.