Рубриката се води от д-р Светлозар Дойчев и д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се намерят всички естествени числа \(\overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n} b_{1} b_{2} \ldots b_{m}}\), за които е изпълнено равенството

\[ \sqrt{\overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n} b_{1} b_{2} \ldots b_{m}}}=\overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}} \sqrt{\overline{b_{1} b_{2} \ldots b_{m}}} . \]

Николай Белухов, Стара Загора

Задача 2. Нека \(A B C\) е произволен триъгълник, а \(I\) центърът на вписаната му окръжност. Ако \(B C=a, C A=b, A B=c\) и \(n\) е проиволно естествено число, да се докаже, че

\[ a^{n} . A I+b^{n} . B I+c^{n} . C I \leq \sqrt{a b c\left(a^{2 n-1}+b^{2 n-1}+c^{2 n-1}\right)} \] Каталин Кристеа, Крайова, Румъния

Задача 3. Даден е изпъкнал четириъгълник \(A B C D\), в който \(∢ B A D=∢ B C D=90^{\circ}\). Нека \(L\) е точка, за която \(L A=L C\) и \(∢ L A D=∢ L C B\) . Да се докаже, че

\[ \operatorname{cotg} ∢ L D A+\operatorname{cotg} ∢ L B A=\operatorname{cotg} ∢ L D C+\operatorname{cotg} ∢ L B C \]

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 декември 2012 г.