Рубриката се води от д-р Веселин Ненков и д-р Живко Желев

Задача 1. а) Покажете, че ако \(x \geq-1\), то \(9 x^{3}+3 x^{2}+1 \geq 5 x\).

б) Намерете реалните стойности на \(k\), при които за всички \(a, b, c \in[-1,+\infty)\) е изпълнено неравенството \(3\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)+a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq k(a+b+c)\).

Лучиан Туцеску, Крайова, Димитру Савулеску, Букурещ, Румъния

Задача 2. Трапец се разделя чрез един от диагоналите си на триъгълници с лица \(a\) и \(a+1\). Да се намери лицето на триъгълника, образуван от голямата основа на трапеца и правите, върху които лежат бедрата му. При кои стойности на \(a\) лицето на този триъгълник е целочислено?

Милен Найденов, Варна

Задача 3. Вписаната в \(\triangle A B C\) окръжност се допира до страните \(B C, C A\) и \(A B\) съответно в точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\). Нека \(C_{2}\) е втората пресечна точка на описаните около \(\Delta A_{1} B_{1} C\) и \(\triangle A B C\) окръжности, а точките \(A_{2}\) и \(B_{2}\) се получават аналогично по отношение съответно на върховете \(A\) и \(B\). Да се докаже, че правите \(A_{1} A_{2}\), \(B_{1} B_{2}\) и \(C_{1} C_{2}\) се пресичат в една точка.

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 януари 2014 г.

В края на годината ще бъдат определени читателите, изпратили най-интересни решения на задачите. Първите трима ще получат безплатен годишен абонамент за списанието за 2014 г.

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg.