Рубриката се води от д-р Веселин Ненков и д-р Живко Желев

Задача 1. Да се сравнят числата \(2^{233}\) и \(5^{100}\).

Йонуц Иванеску, Крайова, Румъния

Задача 2. Точките \(E\) и \(F\) са среди съответно на диагоналите \(A C\) и \(B D\) на четириъгълника \(A B C D\). Ако \(∢ B A E=∢ A D E\) и \(∢ A B F=∢ B C F\), да се докаже, че симедианите на триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) съответно през върховете \(B, C\), \(D\) и \(A\) се пресичат в една точка. Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Вписаната в \(\triangle A B C\) окръжност \(k\) се допира до \(B C, C A\) и \(A B\) съответно в точките \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\), Pb и Pc , а точката \(P\) е симетрична на центъра на \(k\) спрямо центъра на описаната около \(\triangle A B C\) окръжност.

а) Точките \(N_{b}, N_{c}\) и \(N_{p}\) са петите на височините на \(\triangle B C P\) съответно през върховете \(B, C\) и \(P\). Ако \(N_{b}^{\prime}, N_{c}^{\prime}\) и \(N_{p}^{\prime}\) са симетрични съответно на \(N_{b}, N_{c}\) и \(N_{p}\) спрямо съответните среди на страните, върху които лежат \(N_{b}, N_{c}\) и \(N_{p}\), Nc и Np , да се докаже, че правите \(B N_{b}^{\prime}, C N_{c}^{\prime}\) и \(P N_{p}^{\prime}\) се пресичат в една точка \(S_{a}\).

б) Ако точките \(S_{b}\) и \(S_{c}\) са определени съответно за триъгълниците \(C A P\) и \(A B P\) по същия начин, както \(S_{a}\) за \(\triangle B C P\), да се докаже, че правите \(P_{a} S_{a}, P_{b} S_{b}\) и \(P_{c} S_{c}\) минават през една точка.

Сава Гроздев, София; Деко Деков, Стара Загора

Краен срок за изпращане на решения: 30 ноември 2013 г.

В края на годината ще бъдат определени читателите, изпратили най-интересни решения на задачите. Първите трима ще получат безплатен годишен абонамент за списанието за 2014 г.

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg \(u\) vnenkov@mail.bg.