Рубриката се води от д-р Веселин Ненков и д-р Живко Желев

Задача 1. Да се докаже, че при обичайните означения за всеки триъгълник са изпълнени неравенствата

\[ 3-\tfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2 a b c} \leq \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma \lt 3\left[\tfrac{(a+b+c)^{3}}{16 a b c}-1\right] . \]

Йон Недялку, Плоещ, Румъния Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

Задача 2. Да се намерят всички реалнозначни функции \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\), които са непрекъснати в точката \(x=0\) и \(2 f(2 x)=f(x)+x\) за всички реални стойности на \(x\).

Живко Желев, Стара Загора

Задача 3. Даден е изпъкнал четириъгълник \(A B C D\), в който \(∢ A D C=2 . ∢ A B C\) и \(A D=C D\). Да се докаже, че ортогоналните проекции на ортоцентъра \(H\) на \(\triangle A B C\) върху страните на \(A B C D\) са върхове на равнобедрен трапец или успоредник.

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 юли 2013 г.

В края на годината ще бъдат определени читателите, изпратили най-интересни решения на задачите. Първите трима ще получат безплатен годишен абонамент за списанието за 2014 г.

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg \(u\) vnenkov@mail.bg