Рубриката се води от д-р Веселин Ненков и д-р Живко Желев

Задача 1. Реалните числа \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) и \(a\) са, такива че:

\[ x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=\tfrac{n-1}{2}+a, x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=\tfrac{n-1}{4}+a^{2}, a \gt \tfrac{1}{2} . \]

Намерете най-голямата стойност на \(x_{\mathrm{n}}\).

Лучиан Туцеску, Крайова, Румъния

Задача 2. Даден е изпъкнал четириъгълник \(A B C D\), в който съществува такава точка \(K\), че са изпълнени равенствата \(∢ A K B=∢ C K D=90^{\circ}\) и \(A K . C K=B K . D K\) . Страните \(A D\) и \(B C\) не са успоредни, а \(O\) е пресечната точка на симетралите им. Да се докаже, че ортогоналните проекции на точките \(O\) и \(K\) върху страните на \(A B C D\) лежат на една окръжност.

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. В равнината са разположени два изпъкнали четириъгълника \(P\) и \(P^{\prime}\), така че през една от общите им точки \(O\) всяка права \(l\) пресича \(P\) по отсечка, която е по-дълга от отсечката, по която \(l\) пресича \(P^{\prime}\). Възможно ли е лицето на \(P^{\prime}\) да е 1, 9 пъти по-голямо от лицето на \(P\) ?

Николай Белухов, Стара Загора

Краен срок за изпращане на решения: 30 септември 2013 г.

В края на годината ще бъдат определени читателите, изпратили най-интересни решения на задачите. Първите трима ще получат безплатен годишен абонамент за списанието за 2014 г.

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg.