Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се намерят всички реални стойности на \(a, b\) и \(c\), b и c, при които корените на уравнението \(x^{2}+\left(1+a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) x+a b+b c+c a=0\) са цели числа.

Милен Найденов, Варна

Задача 2. В остроъгълния триъгълник \(A B C\) точката \(C_{x}\) се движи по най-малката страна \(A B\), а точките \(A_{x}\) и \(B_{x}\) се движат съответно по страните \(B C\) и \(A C\) , така че във всеки момент са изпълнени равенствата \(C_{x} A_{x}=C_{x} B\) и \(C_{x} B_{x}=C_{x} A\) . Да се докаже, че окръжността \(k_{x}\), определена от точките \(A_{x}, B_{x}\) и \(C\) има втора неподвижна точка. Коя е тази точка?

Хаим Химов, Варна

Задача 3. Правоъгълният триъгълник \(A_{0} B_{0} C_{0}\) е вписан в окръжност \(k_{0}(O, R)\) и е описан около окръжност \(k_{i}(I, r)\).

а) Да се намерят страните на триъгълник \(A B C\), вписан в \(k_{0}(O, R)\) и описан около \(k_{i}(I, r)\), , така че триъгълникът да има ъгъл \(60^{\circ}\).

б) Да се докаже, че ако \(S_{0}\) и \(S\) са лицата съответно на \(\triangle A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(\triangle A B C\), то е изпълнено равенството \(S=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\left(S_{0}+r^{2}\right)\).

Сава Гроздев (София) и Веселин Ненков (Бели Осъм)

Краен срок за изпращане на решения 31 март 2015 г.

Напомняме, че в края на 2014 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2015 г.

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg.