Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се намерят всички рационални стойности на параметъра \(k\), за които уравнението \((k-10) x^{2}-(2 k-21) x-2 k+22=0, k \neq 10\) притежава целочислени корени.

Милен Найденов, Варна

Задача 2. Даден е остроъгълен триъгълник \(A B C\) с ортоцентър \(H\) и радиус на описаната окръжност \(R\), за който \(∢ B A C=\alpha\) и \(∢ A B C=\beta\). Ако \(D\) е точка от полуравнината относно правата \(A B\), несъдържаща триъгълника, за която \(∢ A D C=180^{\circ}-2 \beta\) и \(∢ B D C=180^{\circ}-2 \alpha\), да се докаже, че \(H D=R\).

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Нека \(A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, \ldots, A_{n} B_{n} C_{n}\) са произволни еднакво ориентирани равностранни триъгълници от една равнина. Да се докаже, че центровете на тежестта \(G_{a}, G_{b}\) и \(G_{c}\) съответно на многоъгълниците \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}, B_{1} B_{2} \ldots B_{n}\) и \(C_{1} C_{2} \ldots C_{n}\) са върхове на равностранен триъгълник.

Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм

Краен срок за изпращане на решения 31 май 2015 г.

Напомняме, че в края на 2014 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2015 г.

Решенията трябва да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg.