Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. За всяко естествено число \(n\) да се намери растяща редица от естествени числа \(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots, x_{n}\), за които е изпълнено равенството \(x_{1}^{2}+2 \cdot x_{2}^{2}+3 \cdot x_{3}^{2}+\cdots+n \cdot x_{n}^{2}=\tfrac{1}{4} n^{2}(n+1)^{2}\).

Христо Лесов, Казанлък

Задача 2. Нека в неравностранния триъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3}\) петите на височините към страните \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\) са съответно \(H_{1}, H_{2}\) и \(H_{3}\), а вторите пресечни точки на медианите към тези страни с Фойербаховата окръжност са съответно \(F_{1}, F_{2}\) и \(F_{3}\). Да се докаже, че правите \(F_{1} H_{1}, F_{2} H_{2}\) и \(F_{3} H_{3}\) се пресичат в една точка от Ойлеровата права на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) или са успоредни на нея.

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Пръчката \(l_{1}\) е \(k\) пъти по-дълга от пръчката \(l_{2}\). Двете пръчки са счупени по случаен начин по на две парчета. Ако \(p\) е вероятността от получените четири парчета да може да се построи четириъгълник, да се намерят стойностите на \(k\), при които \(\tfrac{1}{p}\) е куб на естествено число.

Милен Найденов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 30 септември 2016 г.

Конкурсът продължава и през настоящата година. В края на 2016 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2017 г.

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg