Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Във всяка от клетките на квадрат \(3 \times 3\) е записано числото1. Към всеки три клетки, лежащи в различни редове и различни стълбове, се прибавя едновременно 1. Може ли да се приложи това действие краен брой пъти така, че всички числа в таблицата да станат различни, а сумите по всички редове и всички стълбове да са равни? Може ли сумите на числата по диагоналите да са огледални числа?

Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Задача 2. В окръжност \(k\) с център \(O\) е вписан разностранен триъгълник \(A B C\) с ортоцентър \(H\) така, че точките \(A, B, H\) и \(O\) лежат на една окръжност. Да се докаже, че:

a) \(O H\) е ъглополовяща на ъгъла, съседен на \(∢ A H B\);

б) точките \(O\) и \(H\) са симетрични относно ъглополовящата на \(∢ A C B\);

в) ако правата \(O H\) пресича \(A C\) и \(B C\) съответно в точките \(P\) и \(Q\), то \(O Q=O P\).

Христо Лесов, Казанлък

Задача 3. В изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) мерките на ъглите при върховете \(A, B, C\) и \(D\) са съответно \(\alpha, \beta, \gamma\) и \(\delta\), β, γ и δ , а дължините на отсечките \(C D, D A\) и \(A C\) са съответно \(c, d\) и \(m\). Ако са изпълнени равенствата \(\tfrac{\sin \alpha}{\sin \gamma}=\tfrac{d}{c}\) и \(2 \delta=180^{\circ}+\beta\), да се намери разстоянието между средите на диагоналите \(A C\) и \(B D\).

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 март 2017 г.

Конкурсът продължава и през настоящата година. В края на 2016 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2017 г .

Решенията трябват да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg \(u\) vnenkov@mail.bg