Задача 1. Целочислените редици \(\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) и \(\left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}\) са дефинирани чрез равенствата \(x_{1}=a-1, y_{1}=a+1, x_{n}=a . x_{n-1}+a-1, y_{n}=a . y_{n-1}-a+1\), при \(n \geq 2\).

а) Да се докаже, че за всяко цяло число \(a\) точно едно от числата \(x_{n}, y_{n}\) и \(\tfrac{1}{2}\left(x_{n}+y_{n}\right)\) се дели на три.

б) Да се определят целите числа \(a\), за които \(x_{n}\) и \(y_{n}\) са взаимно прости числа за всяко естествено число \(n\).

Христо Лесов, Казанлък

Задача 2. Един изпъкнал четириъгълник се нарича хармоничен, ако е вписан в окръжност и произведенията на срещуположните му страни са равни помежду си. Нека \(A B C D E F\) е изпъкнал шестоъгълник, в който четириъгълниците \(A B D F\) и \(A C D E\) са хармонични. Да се докаже, че средите \(M, N\), \(P\) съответно на диагоналите \(A D, B E, C F\) и пресечната точка \(Q\) на \(B E\) и \(C F\) лежат на една окръжност.

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Да се намери множеството от всички точки \(M\), двете допирателни през които към дадена елипса са перпендикулярни.

Милен Найденов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 31 юли 2016 г.

Първенец за 2015 г. в решаването на конкурсни задачи е Анна Савова Златева, учителка от Варна, ул. „Ген. Киселов“, № 7, ет.7, ап. 4. За оригинално решение на една от задачите тя се награждава с годишен абонамент на сп. „Математика и информатика“ за 2016 г. С годишни абонаменти за 2016 г. се награждават още: Христо Лесов – учител от Казанлък, както и Хаим Хаимов и Милен Найденов – преподаватели от Варна, за активното им участие в предлагането на нови авторски задачи за рубриката. Наградата за оригинална статия (също абонамент) получава Емил Делинов от София, ул. „ Кораб планина“, № 46, за статията „Applying Cloud Computing for a more ef fi cient evaluation of practical projects“ от бр. 2, 2015 г. Значението на тази статия е за разгледаните в нея възможности на облачните технологии (Cloud Computing) за повишаване на ефективността при оценяване на проекти с теми от реалната икономика.

Конкурсът продължава и през настоящата година. В края на 2016 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2017 г.

Решенията трябва да бъдат представяни ясно, като всяка задача е задължително да бъде на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид наmathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg