Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се реши уравнението \[ |x-|2 x+|3 x-|4 x+\cdots+|2017 x-|2018 x|| \cdots|=2018 . \]

Росен Николаев, Дико Суружон, Варна

Задача 2. Даден е триъгълник \(A B C\), за който \(∢ C A B=\alpha, ∢ C B A=\beta\) и \(1 \lt \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \lt 2\). През ортоцентъра \(H\) на \(\triangle A B C\) да се построи права, която пресича страните \(A C\) и \(B C\) съответно в точки \(M\) и \(N\), така че стойността на израза \(\operatorname{tg} \alpha . S_{A M N}+\operatorname{tg} \beta . S_{B M N}\) да бъде най-малка.

Христо Лесов, Казанлък

Задача 3. В изпъкналия четириъгьлник \(A B C D\) диагоналите \(A C\) и \(B D\) се пресичат в точка \(T\), продълженията на страните \(A B\) и \(C D\) се пресичат в точка \(V\), а точките \(M, N, P, Q, E\) и \(F\) са среди съответно на отсечките \(A B, B C, C D, D A, A C\) и \(B D\). Вторите пресечни точки на описаните окръжности за двойките триъгълници ( \(A B T, C D T\) ), ( \(A D T, B C T\) ) и \((A D V, B C V)\) са съответно \(K_{1}, K_{2}\) и \(K_{3}\). Да се докаже, че ако точките \(K_{1}\), \(K_{2}\) и \(B\) са колинеарни, то тройките точки \(\left(K_{1}, E, M\right),\left(E, K_{2}, N\right),\left(K_{1}, C, K_{3}\right)\) и \(\left(A, K_{2}, K_{3}\right)\) също са колинеарни.

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2018 г.

В края на 2018 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2019 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg