Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се определи дали съществуват естествени числа \(n\) и \(k\), при които стойността на израза \(2017^{\mathrm{n}-1}+3^{\mathrm{k}}+4 \mathrm{e}\) :

а) куб на естествено число;

б) сбор от кубовете на две естествени числа;

в) сбор от кубовете на три естествени числа.

Христо Лесов, Казанлък

Задача 2. Даден е \(\triangle A B C_{1}\). Точките \(\mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{3}, \ldots, \mathrm{C}_{\mathrm{n}}\) лежат върху лъча \(B C_{1}^{\rightarrow}\) и са такива, че \(C_{1} C_{2}=C_{2} C_{3}=\cdots=C_{n-1} C_{n}=B C_{1}\). Правата \(l\) през върха \(B\) и средата \(K\) на медианата \(A M\) на \(\triangle A B C_{1}\) пресича \(A C_{1}, A C_{2}\), \(\ldots, A C_{n}\) съответно в точките \(K_{1}, K_{2}, \ldots, K_{n}\). Да се пресметне сумата \(\tfrac{C_{1} K_{1}}{K_{1} A}+\tfrac{C_{2} K_{2}}{K_{2} A}+\cdots+\tfrac{C_{n} K_{n}}{K_{n} A}\).

Милен Найденов, Варна

Задача 3. В изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) точките \(M, N\) и \(P\) са средите съответно на страните \(A D, B C\) и \(C D\), BC и CD , а \(T\) е пресечната точка на диагоналите му \(A C\) и \(B D\). Ако втората обща точка \(K\) на описаните около триъгълниците \(A B T\) и \(C D T\) окръжности лежи в \(\triangle B D C\) и са изпълнени равенствата \(∢ M N P=∢ B A D=\tfrac{1}{2} ∢ A D C\), да се докаже, че точката \(K\) лежи върху Ойлеровата права на \(\triangle A B D\).

Хаим Хаимов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 30 септември 2017 г.

Конкурсът е традиционен и победителите ще бъдат наградени. В края на 2017 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии в списанието. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2018 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg \(u\) vnenkov@mail.bg.