Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Иван, Петър и Мариян събирали орехи с различни по големина кошници. В кошницата на Иван могат да се съберат най-много 70 ореха, в кошницата на Петър – най-много 170 ореха, а в тази на Мариян – най-много 300 ореха. Иван събрал в кошницата си известно количество орехи и ги преброил по три начина: когато ги вземал по два, накрая оставал един орех, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по четири, накрая оставали три ореха. Тъй като на Иван му харесало бройката орехи с тези свойства, той събрал в кошницата си още четири пъти същото количество орехи. Петър също събрал в кошницата си определено количество орехи и като ги преброил, установил, че: когато ги вземал по два, накрая оставал един орех, когато ги вземал по три, накрая оставали два, а когато ги вземал по пет, накрая оставали три ореха. След това той събрал в кошницата си още един път същото количество орехи. За броя на орехите, които Мариян събрал в кошницата, той установил: когато ги вземал по три, накрая оставали два ореха, когато ги вземал по четири, накрая оставали три, когато ги вземал по пет, накрая оставали четири ореха. Колко е общият брой орехи, които са събрали Иван, Петър и Мариян, ако броят на орехите, които всеки от тях е събрал в своята кошница, е възможно най-голямото число със съответните свойства, посочени по-горе.

Сава Гроздев, София

Веселин Ненков, Бели Осъм

Задача 2. Дадени са два неподобни триъгълника \(\Delta_{1}\) и \(\Delta_{2}\). Страните на триъгълника \(\Delta_{k}\) са \(a_{k}, b_{k}\) и \(c_{k}\), , а ъглите му имат мерки \(\alpha_{k}, \beta_{k}\) и \(\gamma_{k}(k=1,2)\). Ако \(\gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma\) и \(\tfrac{b_{2}}{b_{1}}=\tfrac{a_{2}+b_{1}}{a_{1}+b_{2}}=\tfrac{\sqrt{c_{2}}}{\sqrt{c_{1}}}\), да се докаже, че \(\beta_{1}+\beta_{2}=\gamma\).

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Дадени са три пръчки. Две от тези пръчки имат еднакви дължини, а дължината на третата е равна на сумата от дължините на първите две. От всяка пръчка по случаен начин е отчупено по едно парче. Каква е вероятността от трите парчета да може да се построи триъгълник?

Милен Найденов, Варна

Краен срок за изпращане на решения 30 ноември 2017 г.

Конкурсът е традиционен и победителите ще бъдат наградени. В края на 2017 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии в списанието. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2018 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki. bg и vnenkov@mail.bg.