Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Да се намерят всички полиноми, които за всяка реална стойност на \(x\) удовлетворяват равенството \(p(p(p(x)))-4 p(x)+9=0\).

Татяна Маджарова, Варна

Задача 2. Правоъгълният триъгълник \(A B C\) има остри ъгли \(∢ B A C=\alpha\) и \(∢ A B C=\beta\), а центърът на вписаната му окръжност е \(I\). Точката \(D\), лежаща в \(∢ A C B\), е такава, че \(∢ A D C=90^{\circ}-\tfrac{\beta}{2}\) и \(∢ B D C=90^{\circ}-\tfrac{\alpha}{2}\). Симетралите \(l_{1}\) и \(l_{2}\) съответно на катетите \(B C\) и \(A C\) пресичат правите \(A D\) и \(B D\) съответно в точките \(P\) и \(Q\). Да се докаже, че точките \(P, D, Q\) и \(I\) лежат на една окръжност.

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Равностранен триъгълник \(A B C\) съдъжа три еднакви окръжности \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) с радиус \(3 c m\), , всяка от които се допира до останалите две и до две от страните на \(A B C\). Окръжностите \(k_{a}^{\prime}, k_{b}^{\prime}\) и \(k_{c}^{\prime}\) се допират външно съответно до \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) и до две от страните на \(A B C\). Ако \(k\) е окръжността, допираща се външно до \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\), да се определи лицето на частта от триъгълника, която се съдържа в седемте окръжности.

Сава Гроздев, София, и Веселин Ненков, Бели Осъм

Краен срок за изпращане на решения: 31 май 2020 г.

Конкурсът продължава. В края на 2019 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2020 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail.bg