Рубриката се води от доц. д-р Веселин Ненков

Задача 1. Дадени са системите линейни уравнения

A: \( \left\lvert\, \begin{aligned} x_{1}&+&ax_{2}&&&=&1\\ x_{1}& -&ax_2&-&x_3&=&-4 \\ -2 x_{1}&&&+&x_{3} &=&b\end{aligned}\right.\) и B: \( \left\lvert\, \begin{aligned} 3 x_{1} &+& x_{2} &-& a x_{3} &=&-2\\ &&2 x_{2} &+ & a x_{3} &=&5 \\ 3 x_{1}&-&x_2&+&(1-b)x_{3} & =&-7\end{aligned}\right.\)

За кои реални стойности на \(a\) и \(b\) двете системи са еквивалентни?

Росен Николаев, Варна

Задача 2. Точката \(M\) от \(∢ A C B\) на \(\triangle A B C\) е такава, че \(∢ M A C=∢ M C B\) и \(∢ M B C=∢ M C A\). Точката \(N\) лежи върху описаната за \(\triangle A M C\) окръжност \(k\), така че да лежи в \(∢ A C B\). Окрьжност \(c\), минаваща през точките \(A\) и \(N\), пресича описаната около \(\Delta B N C\) окръжност \(\pi\) в точка \(P\), а описаната около \(\triangle B M N\) окръжност \(\varepsilon\)– в точка \(Q\). Да се докаже, че \(∢ Q P B=∢ Q A C\) и \(∢ Q P A=∢ Q B C\).

Хаим Хаимов, Варна

Задача 3. Четириъгълникът \(A B C D\) е вписан в окръжност \(\Gamma\) с център \(O\). Ако \(I_{A}, I_{B}, I_{C}\) и \(I_{D}\) са центровете на вписаните окръжности съответно за триъгълниците \(B C D, C D A, D A B\) и \(A B C\), да се докаже, че \(O I_{A}^{2}+O I_{C}^{2}=O I_{B}^{2}+O I_{D}^{2}\).

Сава Гроздев, София и Веселин Ненков, Бели Осъм

Краен срок за изпращане на решения 31 юли 2020 г.

С годишни абонаменти за 2020 г. се награждават: преподавателите Хаим Хаимов (ул. „Братя Шкорпил“ № 16, 9000 Варна) и Милен Найденов (ул. „Сан Стефано“ № 2, вход В, 9000 Варна) за активното им участие в предлагането на нови авторски задачи за рубриката „Конкурсни задачи на броя“, както и проф. Павел Азълов (Пенсилвански държавен университет, САЩ) за статиите „Архивите говорят – национални състезания по информатика“ от брой 1/2019 и „Архивите говорят – международни състезания по информатика“ от брой 2/2019.

Конкурсът продължава и през настоящата година. В края на 2020 г. ще бъдат определени читателите с най-интересни решения на конкурсните задачи, а така също най-активните композитори на нови задачи, както и авторите на най-интересните статии. Първенците ще получат безплатни годишни абонаменти за 2021 г.

Решенията трябва да бъдат представени ясно, като е задължително всяка задача да е на отделен лист. Моля, изпращайте решенията на адреса на редакцията или в електронен вид на mathinfo@azbuki.bg и vnenkov@mail. bg