Резюме. В данной статье представлены результаты исследования эпициклоиды, полученные учащимися из Казахстана в рамках международного сетевого проекта „Энциклопедия замечательных плоских кривых: пишем сами“. В исследованиях использовались методы аналитической геометрии и компьютерные эксперименты, которые проводились с использованием программ динамической геометрии GeoGebra или The Geometer’s Sketchpad. Для организации сетевого взаимодействия участников использовались облачные сервисы Google.

Ключови думи: circle; curve; trajectory; еріcycloid

Результаты, которые будут представлены в данной статье, получены в рамках международного сетевого проекта „Энциклопедия замечательных плоских кривых: пишем сами“. Данный проект стартовал в конце сентябре 2017 года. Модераторами проекта являются ученые из трех российских вузов: Г. А. Клековкин (к.ф.м.н., доцент Самарского филиала ГАОУ ВО „Московский государственный педагогический университет“), А. В. Ястребов (к.ф.м.н, д.п.н., профессор ФГБОУ ВО „Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского“) и В. Р. Майер (к.ф.-м.н, д.п.н., ФГБОУ ВО „Красноярский государственный педагогический университет имени В. П. Астафьева“. Ими были предложены для решения серии исследовательских задач, отнесенных к нескольким кривым. Мы решили выбрать для работы серию исследовательских задач, посвященную эпициклоиде.

1. Определение и некоторые исторические данные. Эпициклоида – (от греч. Epi – на, над, при, после, и kukloz – окружность, круг) – плоская кривая, которая представляет собой траекторию движения точки окружности, катящейся по другой окружности и имеющей с ней внешнее касание.

Начало систематического изучения эпициклоид и гипоциклоид было по-ложено в 1525 г. знаменитым немецким художником Альбрехтом Дюрером (1471 – 1528) широко применявшим геометрические методы в изобразительном искусстве. В середине XVII века Ж. Дезарг (1593 – 1662), у которого глубина математических идей сочеталась с талантом конструктора, изучал свойства эпициклоид в связи с задачей создания зубчатых колес с наименьшим трением. Ла Гир, продолживший исследования Дезарга, опубликовал в 1675 г. „Трактат об эпициклоидах и их применении в механике“. В этом трактате установлен ряд важных свойств эпициклоиды (в частности свойства, приведенные в пунктах \(7,8,10,11,14,15\) ).

В своем бессмертном труде „Математическое начало натуральной философии“ Ньютон обобщил исследования Гюйгенса о циклоидальном маятнике (§ 514, п. 17). Он установил что в сферическом поле тяготения линией изохронного колебания маятника является эпициклоида.

2. Параметрическое уравнение эпициклоиды. Выведем уравнения эпициклоиды. Поместим начало координат в центр неподвижного круга; ось \(O X\) направим по прямой, соединяющей этот центр \(O\) с точкой \(K\), которая является начальным положением точки \(M\), когда обе окружности касались друг друга в этой точке. Обозначим буквой \(r\) радиус катящейся окружности, через \(R\)– радиус неподвижной окружности и примем за параметр \(t\) угол, образуемый с осью \(O X\) радиусом \(O N\) неподвижной окружности, проведенным в точку касания окружностей, когда подвижная окружность повернулась на угол \(\varphi=∢ N C M\).

Ввиду того, что качение окружности происходит без скольжения, можем написать \(\overparen{K N}=\overparen{N M}\), т.е. \(R t=r \varphi, \varphi=\tfrac{R t}{r}\). Из чертежа непосредственно находим

\[ \begin{aligned} & x=\overline{O Q}=\overline{O L}+\overline{L Q}=\overline{O C} \cos ∢ K O C-\overline{C M} \cos ∢ S M C= \\ & =(r+R) \cos t-r \cos (t+\varphi)=(r+R) \cos t-r \cos \tfrac{r+R}{r} t, \\ & y=\overline{Q M}=\overline{L C}+\overline{R C}=\overline{O C} \sin ∢ K O C-\overline{C M} \sin ∢ S M C= \\ & =(r+R) \sin t-r \sin (t+\varphi)=(r+R) \sin t-r \sin \tfrac{r+R}{r} t . \end{aligned} \] Так получили следующие параметрические уравнения:

\(x=(r+R) \cos t-r \cos \left[(r+R) \tfrac{t}{r}\right], y=(r+R) \sin t-r \sin \left[(r+R) \tfrac{t}{r}\right]\).

3. Вид эпициклоиды при различных отношениях радиусов \(\bar{m}=\tfrac{R}{r}\).

Форма эпициклоид определяется величиной \(\bar{m}=\tfrac{R}{r}\). Если \(\bar{m}=p / g\) ( \(p\) и \(g\)– взаимно простые числа), точка \(M\) после \(g\) полных оборотов производящей окружности возвращается в исходное положение и эпициклоида – замкнутая кривая, состоящая из \(p\) ветвей с \(p\) точками возврата.

Эпициклоида при \(\bar{m}=1\) называется кардиоида, а при \(\bar{m}=2\)– нефроида.

При \(\bar{m}\) дробном ветви перекрещиваются. Если \(\bar{m}\) иррациональное число, то ветвей бесконечно много, точка \(M\) в исходное положение не возвращается.

Так получаем следующий результат:

Теорема. Эпициклоида представляет собой замкнутую кривую тогда и только тогда, когда радиусы подвижной и неподвижной окружностей соизмеримы.

4. Эпитрохоиды. Можно поставит следующую задачу: Какова траектория точки, которая лежит внутри круга, катящегося по окружности и касающегося ее внешним образом и какова траектория точки, лежащей на продолжении радиуса окружности, которая катится по неподвижной окружности и касается ее внешним образом?

Траектория точки, описанной в задаче, называется эпитрохоидой. На форму эпитрохоиды влияют три параметра: \(R\)– радиус неподвижной окружности, \(r\)– радиус катящейся окружности и \(h\)– расстояние от центра катящейся окружности до исследуемой точки. Если \(h \lt r\), то трохоида называется укороченной, а если \(h \gt r\), то удлиненной.

Пусть вычерчивающая точка на катящемся круге находится от его центра на расстоянии \(h\). Параметрическое уравнение эпитрохоиды имеет вид

\[ x=(R+m R) \cos m t-h \cos (t+m t), y=(R+m R) \sin m t-h \sin (t+m t) \text {, } \]

Где \(r\)– радиус катящейся окружности, \(R\)– радиус неподвижной окружности, \(m=\tfrac{r}{R}\)– модуль, \(h\)– расстояние от вычерчивающей окружности до центра катящейся окружности.

В соответствии с рисунком имеем

\[ \begin{gathered} x=O P=O D+M E=(R+r) \cos m t+h \sin ∢ M O_{1} E, \\ y=M P=O_{1} D-O_{1} E=(R+r) \sin m t-h \cos ∢ M O_{1} E . \end{gathered} \]

Кроме того,

\[ \sin ∢ M O_{1} E=\sin \left(t-∢ O O_{1} D\right)=\sin \left[t-\left(\tfrac{\pi}{2}-m t\right)\right]=-\cos (t+m t), \] \(\cos ∢ M O_{1} E=\sin (t+m t)\). Следовательно, параметрические уравнения имеют вид

\[ x=(R+m R) \cos m t-h \cos (t+m t), y=(R+m R) \sin m t-h \sin (t+m t) \text {. } \]

5. Другие параметрические уравнения эпитрохоидой. Умножим второе из уравнений эпитрохоидой на мнимую единицу \(i\). Складывая и вычитая эти уравнения, использую известные формулы Эйлера, получим

\[ x \pm y i=(R+m R) e^{ \pm m t i}-h e^{ \pm(m+1) t i} \] Если положить \(e^{t i}=\theta, x+y i=\xi, x-y i=\eta\), то

\[ \xi=(R+m R) \theta^{m}-h \theta^{m+1}, \eta=(R+m R) \theta^{-m}-h \theta^{-m-1} \] Так мы получили новые параметрические уравнения эпитрохоиды.

БЕЛЕЖКИ/NOTES

1. Сайт для организации сетевых исследовательских проектов по математике „Пишем сами“ (URL: https://sites.google.com/site/pisemsami/home).

2. Математическая энциклопедия. Т. 5. Москва: „Советская Энциклопедия“, 1984.

ЛИТЕРАТУРА/REFERENCES

Alexandrova, N. (2008). Istoria matematicheskih terminov, ponyatii, oboznachenii. Slovar-spravochnik. Moscow: LKI (in Russian) [Александрова, Н. (2008). История математических терминов, понятий, обозначений. Словарь-справочник. Москва: ЛКИ.]

Alexandrova, N. (1984). Matematicheski termini. Sofia: Nauka i izkustvo (in Bulgarian). [Александрова, Н. (1984). Математически термини. София: Наука и изкуство.]

Berman, G. (1980). Cycloid. Moscow: Nauka. (in Russian) [Берман, Г. (1980). Циклоида. Москва: Наука.]

Gellert, W., H. Kastner & S. Nueber (1983). Matematicheski enciklopedichen rechnik. Sofia: Nauka i izkustvo (in Bulgarian). [Гелерт, В., Х. Кестнер & З. Нойбер (1983). Математически енциклопедичен речник. София: Наука и изкуство.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). Around the orthocenter in the plane and the space. Sofia: Archimedes (in Bulgarian). [Гроздев, С. & В. Ненков (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). Three notable points on the medians of the triangle. Sofia: Archimedes 2000 (in Bulgarian). [Гроздев, С. & В., Ненков (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника. София: Архимед 2000.]

Markushevich, A. (1952). Notable curves. Moscow: Gos. iz-vo teoretikotehnicheskoy literatury (in Russian). [Маркушевич, А. (1952). Замечательные кривы. Москва: Гос. изд-во теоретико-технической литературы.]

Savelov, A. (1960). Ploskie krivy. Moscow: Gos. iz-vo fizikomatematicheskoy literatury (in Russian). [Савелов, А. Плоские кривые. (1960). Москва: Гос. изд-во физико-математической литературы.]

Sergeeva, T., M. Shabanova & S. Grozdev (2014). Foundations of Dynamic Geometry. Moscow: ASOU (in Russian). [Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2017). Gaining new knowledge by computer experiments. Journal of Educational Sciences & Psychology, vol. VІІ (LXIX), No 1B. Special Issue – International Conference Education and Psychology Challenges – Teachers for the knowledge society – \(4{ }^{\text {th }}\) edition, May, 122 – 125, ISSN 2247-6377. (ISSN online version 2247 – 8558).

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics: The Bulgaria Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE (ISBN 978-954-921391-1).

Shabanova, M., R. Atamuratova. M. Belorykova, V. Nenkov & M. Pavlova (2016). The game “Geometry scrabble in cloud” an organizational form of the international student research groups. Mathematics and education in mathematics, 45, 223 – 228. (ISSN 1313-3330).

Shabanova, M., M. Belorykova, R. Atamuratova & V. Nenkov (2016). The First international set research project of secondary students in the frames of MITE, Mathematics and Informatics, 6, 567 – 571 (in Russian). [Шабанова, M., М. Белорукова, Р. Атамуратова & В. Ненков (2016). Первый международный сетевой исследовательский проект учащихся в рамках MITE, Математика и информатика, 6, 567 – 571.] (ISSN 1310-2230).

Vygotskii, M. Y. (1972). Spravochnik po vyshei matematike. Moscow: FIZMATLIT (in Russian). [Выгодский, М. Я. (1972). Справочник по высшей математике. Москва: ФИЗМАТЛИТ.]

Viletner, G. (1966). Istoria matematiki ot Decarta do serediny XIX stoletia. Moscow: Nauka (inRussian). [Вилетнер, Г. (1966). История математики от Декарта до середины XIX столетия. Москва: Наука.]

Shabanova, M., M. Belorykova, R. Atamuratova & V. Nenkov (2017). Second international set research student ptoject in the frames of MITE, Mathematics and Informatics, 5, 457 – 465. (in Russian). [Шабанова, М., М. Белорукова, Р. Атамуратова & В. Ненков (2017). Второй международный сетевой исследовательский проект учащихся в рамках MITE, Математика и информатика, 5, 457 – 465.] (ISSN 13102230).