© AI
Science in Education
DISTANCES BETWEEN REMARKABLE POINTS AND INEQUALITIES IN A CONVEX QUADRILATERAL
https://doi.org/10.53656/math2024-3-2-int
Abstract. In this article, using the formulas derived in (Nenkov 2019) and (Nenkov 2022) for the distances from some remarkable points in the quadrilateral to its vertices and to the midpoints of its sides and diagonals, formulas for the distances from these remarkable points to the intersection of the diagonals and to the intersections of the pairs of opposite sides were obtained. Formulas are also derived for the distances from another remarkable point to the vertices of the quadrilateral, as well as to the remarkable points discussed in (Nenkov 2019). Using the obtained formulas for these distances, a number of interesting inequalities in the quadrilateral are proved.
Keywords: quadrilateral; remarkable points; distances; inequalities
1. Увод
Един от най-бързо водещите до целта методи за доказване на неравенства в триъгълника се базира на използването на формули за разстояния между негови забележителни точки. Така например с помощта на формулата за разстоянието между центровете на вписаната и описаната му окръжност се доказва неравенството на Ойлер \(R \geq 2 r\). С по-мощта на формулата за разстоянието между центъра на описаната му окръжност и точката му на Лемоан се доказва неравенството на Нойберг \(a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 9 R^{2}\) и т.н.
Както е показано в статията, този метод за получаване на геометрични неравенства може да бъде пренесен и в четириъгълника. Той се състои в следното: първо извеждаме формули за разстоянията между различни забележителни точки в четириъгълника, както и за разстоянията между тях и други, да ги наречем обикновени точки (например: върховете на четириъгълника, пресечната точка на диагоналите му, пресечните точки на продълженията на срещуположните му страни и т.н.). След това съставяме различни триъгълници с върхове три от въпросните точки, за разстоянията между всеки две от които имаме вече изведени формули и към изразените разстояния, явяващи се дължини на страните на тези триъгълници, прилагаме неравенството на триъгълника или някакво друго неравенство. По този начин се получават неравенства в четириъгълника, свързващи мерките на различни негови елементи.
Така в (Nenkov et al. 2019) изведохме интересни неравенства, свързващи дължините на страните и диагоналите на четириъгълника. В настоящата статия извеждаме неравенства, в които освен мерките на страните и диагоналите на четириъгълника участват и мерките на други негови елементи: лицето му, ъгълът между диагоналите му, ъглите между продълженията на срещуположните му страни и др. Получените неравенства, както и изведените в статията формули за разстояния между забележителни точки в четириъгълника, обогатяват познанията ни за него и са важно звено от класическата му геометрия.
2. Забележителни точки. Дефиниции и свойства
В статията разглеждаме изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) без успоредни страни, в който продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точката \(U\), а продълженията на \(A B\) и \(D C\) се пресичат в точката \(V\), като при това \(C\) лежи между \(U\) и \(B\) и между \(D\) и \(V\) (фиг. 1).
Фигура 1
Фигура 2
Дължините на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) означаваме съответно с \(a, b, c\) и \(d\), b, c и d, дължините на диагоналите \(A C\) и \(B D\)– съответно с \(m\) и \(n\), а мерките на ъглите при върховете \(A, B, C\) и \(D\)– съответно с \(\alpha, \beta, \gamma\) и \(\delta\). Средите на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) бележим съответно с \(E_{1}\), \(E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\), E3 и E4, а средите на диагоналите \(A C\) и \(B D\)– съответно с \(E\) и \(F\). Въвеждаме и означенията: \(A C \cap D B=T, ∢ A U B=\varphi, ∢ A V D=\psi\), \(∢ A T D=\varphi_{0},\left|E_{2} E_{4}\right|=l_{1},\left|E_{1} E_{3}\right|=l_{2},|E F|=l_{3}\). Отсечките \(E_{2} E_{4}, E_{1} E_{3}\) и \(E F\) наричаме средни отсечки на четириъгълника. Да отбележим, че техните дължини се определят по следните формули на Ойлер:
\[ \begin{aligned} & l_{1}=\tfrac{1}{2} \sqrt{m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}} \\ & l_{2}=\tfrac{1}{2} \sqrt{m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}} \\ & l_{3}=\tfrac{1}{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}} \end{aligned} \]
2.1. Брокариани \(K_{1} u K_{2}\)
Определение 1. Втората обща точка \(K_{1}\) на описаните около триъгълниците \(A B T\) и \(C D T\) окръжности се нарича брокариана, съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (фиг. 2). Аналогично се дефинира брокарианата \(K_{2}\), съответна на страните \(A D\) и \(B C\).
Определение 2. Окръжността (c), определена от средите \(E\) и \(F\) на диагоналите \(A C\) и \(B D\) и тяхната пресечна точка \(T\), се нарича брокарова окръжност на четириъгълника (фиг. 2). (В случай, че \(F \equiv T\), това е окръжността, минаваща през точките \(T\) и \(E\), която се допира до диагонала \(B D\) в точка \(T\) ).
Свойство 1 (Haimov 2005). Брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) лежат на брокаровата окръжност (c).
Определение 3. Окръжността (\(c_{1}\) ), определена от средите \(E_{1}\) и \(E_{3}\) на страните \(A B\) и \(C D\) и пресечната точка \(V\) на продълженията им, се нарича брокарова окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (фиг. 2).
Свойство 2 (Stefanov 2017). брокарианата \(K_{1}\) лежи на брокаровата окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(D C\) (фиг. 2).
Свойство 3 (Haimov 2001). Изпълнени са равенствата (фиг. 2):
\[ ∢ A K_{1} D=∢ A C D+∢ A B D ; \quad ∢ B K_{1} C=∢ B A C+∢ B D C . \] (Предполагаме, че \(K_{1}\) е вътрешна за четириъгълника \(A B C D\).)
Свойство 4 (Nenkov 2019). Разстоянията между брокарианите \(K_{1}\) \(u K_{2} u\) върховете на четириъгълника и средите на страните \(u\) диагоналите му се определят по формулите:
\[ K_{1} A=\tfrac{m a}{2 l_{1}}, \quad K_{1} B=\tfrac{n a}{2 l_{1}}, \quad K_{1} C=\tfrac{m c}{2 l_{1}}, \quad K_{1} D=\tfrac{n c}{2 l_{1}}, \quad K_{2} A=\tfrac{d m}{2 l_{2}} \]
\[ \begin{gathered} K_{2} B=\tfrac{b n}{2 l_{2}}, \quad K_{2} C=\tfrac{b m}{2 l_{2}}, \quad K_{2} D=\tfrac{d n}{2 l_{2}}, \quad K_{1} E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}, \quad K_{1} E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}}, \\ K_{1} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{1}}, \quad K_{1} F=\tfrac{n l_{3}}{2 l_{1}}, \quad K_{2} E_{4}=\tfrac{d l_{1}}{2 l_{2}}, \quad K_{2} E_{2}=\tfrac{b l_{1}}{2 l_{2}}, \quad K_{2} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{2}}, \\ K_{2} F=\tfrac{n l_{3}}{2 l_{2}}, \quad K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}} . \end{gathered} \]
2.2. Псевдоиентър \(O\)
Нека \(R_{A B C}, R_{B C D}, R_{C D A}\) и \(R_{D A B}\) са радиусите на описаните окръжности, съответно около триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) (виж фиг. 3). Псевдоцентър на четириъгълника се нарича точката \(O\) в равнината му, за която са изпълнени равенствата:
\[ A O \cdot R_{B C D}=B O \cdot R_{C D A}=C O \cdot R_{D A B}=D O \cdot R_{A B C}=\tfrac{m n}{2 \sqrt{\triangle}}, \]
където \(\triangle\) е величина, която предстои да определим.
Свойство 5 (Nenkov 2016). В сила са равенствата (фиг. 3):
\[ \begin{gathered} ∢ A O B=∢ A D B+∢ A C B, \quad ∢ B O C=∢ B A C+∢ B D C, \\ ∢ C O D=∢ C A D+∢ C B D, ∢ D O A=∢ D B A+∢ D C A, \\ ∢ B O D=180^{\circ}-|\gamma-\alpha|, \quad ∢ C O A=180^{\circ}-|\beta-\delta| . \end{gathered} \] (Предполагаме, че \(O\) е вътрешна за четириъгълника \(A B C D\).)
Фигура 3
Фигура 4
2.3. Точка на Микел \(M\)
Точка на Микел на четириъгълника се нарича общата точка на описаните окръжности около триъгълниците \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\).
Свойство 6 (Nenkov 2017). Точките \(B, O, D\) и \(M\) лежат на една окръжност (фиг. 4).
Свойство 7 (Stefanov 2017). Точката на Микел \(M\) лежи на брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (фиг. 4).
Свойство 8 (Nenkov 2019). В сила са равенствата:
\[ \begin{aligned} & M A=\tfrac{a d}{2 l_{3}}, M B=\tfrac{a b}{2 l_{3}}, M C=\tfrac{c d}{2 l_{3}}, M D=\tfrac{c d}{2 l_{3}}, M E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{3}} \\ & M E_{2}=\tfrac{b l_{1}}{2 l_{3}}, M E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{3}}, M E_{4}=\tfrac{d l_{1}}{2 l_{3}}, M K_{1}=\tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}, M K_{2}=\tfrac{b d l_{1}}{2 l_{2} l_{3}} . \end{aligned} \]
2.4. Пресечни точки \(P_{1}\) и \(P_{2}\) на симетралите на срещуположните страни и пресечна точка \(P_{3}\) на симетралите на диагоналите
Пресечната точка на симетралите на страните \(A B\) и \(C D\) означаваме с \(P_{1}\), пресечната точка на симетралите на страните \(A D\) и \(B C-\) с \(P_{2}\), а тази на симетралите на диагоналите \(A C\) и \(B D-\) с \(P_{3}\).
Свойство 9 (Nenkov 2022). Точката \(P_{3}\) лежи на брокаровата окръжност (c).
Свойство 10 (Nenkov 2022). Точката \(P_{1}\) лежи на брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ), съответна на страните \(A B\) и \(C D\).
Свойство 11 (Nenkov 2022). В сила са равенствата:
\[ \begin{aligned} & P_{1} M=\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{3} \sin \psi}, P_{2} M=\tfrac{\left|a^{2}-c^{2}\right|}{4 l_{3} \sin \varphi}, P_{3} K_{1}=\tfrac{\left|a^{2}-c^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \varphi_{0}} \\ & P_{3} K_{2}=\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{2} \sin \varphi_{0}}, P_{1} K_{1}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi}, P_{2} K_{2}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{2} \sin \varphi} . \end{aligned} \]
Преди да пристъпим към извежданото на формули за разстоянията между така разгледаните забележителни точки в четириъгълника, да докажем две помощни равенства в него, които използваме нееднократно по-нататък:
Лема 1. В сила е равенството:
(∗)\[ a \cdot C V-c \cdot B V=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi} \]
Доказателство. По теоремата на Менелай за \(\triangle A V D\) и правата \(U C B\) имаме (фиг. 5):
(1)\[ \tfrac{A B}{B V} \cdot \tfrac{C V}{C D} \cdot \tfrac{U D}{A U}=1 \]
Фигура 5
Фигура 6
Понеже \(A B=a, C D=c, A U=d+U D\), CD = c , AU = d + UD , оттук получаваме:
\[ a \cdot C V \cdot U D=B V \cdot c \cdot(d+U D) \] От последното равенство определяме:
(2)\[ a \cdot C V-c \cdot B V=\tfrac{B V \cdot d \cdot c}{U D} \]
От друга страна, от \(\triangle B C V\) и \(\triangle D C U\) по синусовата теорема имаме: \[ \tfrac{\sin \psi}{b}=\tfrac{\sin ∢ B C V}{B V} ; \quad \tfrac{\sin \varphi}{c}=\tfrac{\sin ∢ U C D}{U D} . \] Понеже \(∢ B C V=∢ U C D\), получаваме \(\tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi}=\tfrac{c}{b} \cdot \tfrac{B V}{U D}\), откъдето следва \(\tfrac{B V \cdot d \cdot c}{U D}=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi}\). От (2) и последното равенство непосредствено получаваме доказваното равенство (∗).
За изложението по-нататък въвеждаме означенията:
\[ A T=\bar{m}, \quad B T=\bar{n}, \quad C T=\bar{p}, \quad D T=\bar{q} . \]
Лема 2. В сила е равенството:
(3)\[ m \bar{n}-n \bar{p}=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}} \]
Доказателство. Като използваме равенството \(a \cdot C V-c \cdot B V=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi}\) (по Лема 1), получаваме последователно (фиг. 5):
\[ m \bar{n}-n \bar{p}=(\bar{m}+\bar{p}) \bar{n}-(\bar{n}+\bar{q}) \bar{p}=\bar{m} \cdot \bar{n}-\bar{p} \cdot \bar{q}= \]
\[ \begin{gathered} =\tfrac{2}{\sin \varphi_{0}}\left(S_{A B T}-S_{C D T}\right)=\tfrac{2}{\sin \varphi_{0}}\left(S_{A V C}-S_{B V D}\right)= \\ =\tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}}[C V \cdot(a+B V)-B V \cdot(c+C V)]= \\ =\tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}}(a \cdot C V-c \cdot B V)=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}} \end{gathered} \]
С това равенство (3) е доказано.
3. Формули за разстоянията от псевдоцентъра \(O\) до върховете на четириъгълника, до брокарианите му \(K_{1}\) и \(K_{2}\) и до точката \(M\) на Микел
От определението на псевдоцентъра \(O\) непосредствено следват равенствата (фиг. 6):
(4)\[ \begin{aligned} & A O=\tfrac{m n}{2 \sqrt{\triangle} \cdot R_{B C D}}, B O=\tfrac{m n}{2 \sqrt{\triangle} \cdot R_{C D A}} \\ & C O=\tfrac{m n}{2 \sqrt{\triangle} \cdot R_{D A B}}, D O=\tfrac{m n}{2 \sqrt{\triangle} \cdot R_{A B C}} \end{aligned} \]
Понеже \(R_{B C D}=\tfrac{n}{2 \sin \gamma}, R_{C D A}=\tfrac{m}{2 \sin \delta}, R_{D A B}=\tfrac{n}{2 \sin \alpha} R_{A B C}=\) \(\tfrac{m}{2 \sin \beta}\) (по синусовата теорема), получаваме равенствата:
(5)\[ \begin{aligned} & A O=\tfrac{m \sin \gamma}{\sqrt{\triangle}}, B O=\tfrac{n \sin \delta}{\sqrt{\triangle}} \\ & C O=\tfrac{m \sin \alpha}{\sqrt{\triangle}}, D O=\tfrac{n \sin \beta}{\sqrt{\triangle}} \end{aligned} \]
Да определим величината \(\triangle\). От \(\triangle A O C\) по косинусовата теорема, предвид равенството \(∢ A O C=180^{\circ}-|\beta-\delta|\) (от Свойство 5), имаме:
\[ m^{2}=A O^{2}+C O^{2}+2 \cdot A O \cdot C O \cdot \cos (\beta-\delta) \]
Заместваме в това равенство с помощта на (5) и получаваме:
\[ m^{2}=\tfrac{m^{2} \cdot \sin ^{2} \gamma}{\Delta}+\tfrac{m^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha}{\Delta}+2 \tfrac{m^{2} \cdot \sin \alpha \cdot \sin \gamma}{\Delta} \cdot \cos (\beta-\delta) \]
Оттук следва, че \(\Delta=\sin ^{2} \gamma+\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cdot \sin \gamma \cdot \cos (\beta-\delta)\).
Забележка. Лесно се извежда следният еквивалентен вид на получената формула за величината \(\triangle\) :
(∗∗)\[ \Delta=\cos ^{2} \varphi+\cos ^{2} \psi-2|\cos \varphi| \cdot|\cos \psi| \cdot \cos (\beta+\delta) . \]
Да докажем сега, че получените формули (5) за разстоянията \(A O, B O\), \(C O\) и \(D O\) са еквивалентни на следните:
(6)\[ A O=\tfrac{2 \bar{p} S}{b c \sqrt{\triangle}}, B O=\tfrac{2 \bar{q} S}{c d \sqrt{\triangle}}, C O=\tfrac{2 \bar{m} S}{d a \sqrt{\triangle}}, D O=\tfrac{2 \bar{n} S}{a b \sqrt{\triangle}}, \]
където \(S\) е лицето на четириъгълника, а величината △ се определя с равенство (∗∗).
Действително имаме:
\[ \begin{aligned} A O=\tfrac{m \sin \gamma}{\sqrt{\triangle}}= & \tfrac{m \bar{p} \sin \gamma}{\bar{p} \sqrt{\triangle}}=\tfrac{A C}{C T} \cdot \tfrac{\bar{p} \sin \gamma}{\sqrt{\triangle}}=\tfrac{S}{S_{B C D}} \cdot \tfrac{\bar{p} \sin \gamma}{\sqrt{\triangle}}= \\ & =\tfrac{2 S}{b c \sin \gamma} \cdot \tfrac{\bar{p} \sin \gamma}{\sqrt{\triangle}}=\tfrac{2 \bar{p} S}{b c \sqrt{\triangle}} \end{aligned} \]
Получихме първото от равенства (6). Аналогично се получават и останалите равенства.
С помощта на изведените равенства (6) сега доказваме следната формула за разстоянието от псевдоцентъра \(O\) до точката \(M\) на Микел:
(7)\[ M O=\tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\triangle}} \]
Фигура 7
Фигура 8
Според Свойство 6 точките \(O, D, M\) и \(B\) лежат на една окръжност (фиг. 7). По теоремата на Птоломей за вписания четириъгълник \(O B M D\) имаме:
\[ M O \cdot B D=B O \cdot M D+D O \cdot M B \] Но \(B O=\tfrac{2 \bar{q} S}{c d \sqrt{\triangle}}, \quad D O=\tfrac{2 \bar{n} S}{a b \sqrt{\triangle}}\) (от (6)) , \(M D=\tfrac{c d}{2 l_{3}}, \quad M B=\tfrac{a b}{2 l_{3}}\) (от Свойство 8) и \(B D=n\). Като заместим в последното равенство, получаваме:
\[ M O \cdot n=\tfrac{2 \bar{q} S}{c d \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{c d}{2 l_{3}}+\tfrac{2 \bar{n} S}{a b \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{a b}{2 l_{3}} . \]
Оттук определяме:
\[ M O=\tfrac{\bar{q}+\bar{n}}{n l_{3} \sqrt{\triangle}} S=\tfrac{D T+B T}{n l_{3} \sqrt{\triangle}} S=\tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\triangle}} \]
С това равенство (7) е доказано.
Сега да докажем следните формули за разстоянията от псевдоцентъра \(O\) до брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) :
(8)\[ K_{1} O=\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\Delta}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}} ; \quad K_{2} O=\tfrac{S}{l_{2} \sqrt{\Delta}} \cdot \tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}} \]
Понеже \(∢ A O D=∢ A B D+∢ A C D\) (от Свойство 5, фиг. 8) и \(∢ A K_{1} D=\) \(∢ A B D+∢ A C D\) (от Свойство 3), то \(∢ A O D=∢ A K_{1} D\) и четириъгълникът \(A O K_{1} D\) е вписан в окръжност. От теоремата на Птоломей тогава имаме:
\[ K_{1} O \cdot A D=\left|A K_{1} \cdot D O-A O \cdot D K_{1}\right| \] Но \(A K_{1}=\tfrac{m a}{2 l_{1}}, D K_{1}=\tfrac{n c}{2 l_{1}}\) (от Свойство 4), \(D O=\tfrac{2 \bar{n} S}{a b \sqrt{\triangle}}, A O=\tfrac{2 \bar{p} S}{b c \sqrt{\triangle}}\) (от (6)), \(A D=d\) и като заместим в последното равенство, получаваме:
\[ K_{1} O \cdot d=\left|\tfrac{m a}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2 \bar{n} S}{a b \sqrt{\triangle}}-\tfrac{n c}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2 \bar{p} S}{b c \sqrt{\triangle}}\right| \]
т.е.: \[ K_{1} O=S \tfrac{|m \bar{n}-n \bar{p}|}{l_{1} b d \sqrt{\triangle}} \]
Остава да вземем предвид, че \(m \bar{n}-n \bar{p}=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\) (от Лема 2 ) и непосредствено получаваме първото от доказваните равенства (8). Аналогично се получава и второто равенство.
С помощта на изведените формули (3) – (8) за разстоянията между разглежданите забележителни точки доказваме следните интересни неравенства в четириъгълника:
(9) \(l_{2} \sin \varphi-l_{3} \sqrt{\Delta} \leqslant l_{1} \sin \psi \leqslant l_{2} \sin \varphi+l_{3} \sqrt{\triangle} ;\)
(10) \(\left|c d \sqrt{\triangle}-2 n l_{3} \sin \beta\right| \leqslant 2 S \leqslant c d \sqrt{\triangle}+2 n l_{3} \sin \beta ;\)
(11) \(\left|c \sqrt{\triangle}-2 l_{1} \sin \alpha\right| \leqslant 2 n \sin \varphi \leqslant c \sqrt{\triangle}+2 l_{1} \sin \alpha;\)
(12)\[ 2 S\left|l_{1} \sin \varphi_{0}-l_{3} \sin \varphi\right| \leqslant a c l_{2} \sqrt{\triangle} \sin \varphi_{0} \leqslant 2 S\left(l_{1} \sin \varphi_{0}+l_{3} \sin \varphi\right) . \]
За да докажем неравенства (9), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle K_{1} K_{2} O\). Имаме (фиг. 9):
\[ \left|K_{1} O-K_{2} O\right| \leqslant K_{1} K_{2} \leqslant K_{1} O+K_{2} O . \]
Фигура 9
Фигура 10
Понеже \(K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}\left(\right.\) според Свойство 4), \(K_{1} O=\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\), \(K_{2} O=\tfrac{S}{l_{2} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}}\) (от Свойство 8), след заместване в това равенство получаваме:
\[ \left|\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}-\tfrac{S}{l_{2} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}}\right| \leqslant \tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}} \leqslant \tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}+\tfrac{S}{l_{2} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}} . \] Като вземем предвид, че \(S=\tfrac{1}{2} m n \sin \varphi_{0}\), оттук след преобразуване стигаме до доказваните неравенства (9).
За да докажем неравенство (10), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle O D M\). Имаме (фиг. 10):
\[ |D M-D O| \leqslant O M \leqslant D M+D O . \]
Понеже \(D M=\tfrac{c d}{2 l_{3}}\) (от Свойство 8), \(D O=\tfrac{n \sin \beta}{\sqrt{\triangle}}\) (от (4)), както и \(O M=\tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\Delta}}(\) от \((7))\), след заместване в това неравенство получаваме:
\[ \left|\tfrac{c d}{2 l_{3}}-\tfrac{n \sin \beta}{\sqrt{\triangle}}\right| \leqslant \tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\triangle}} \leqslant \tfrac{c d}{2 l_{3}}+\tfrac{n \sin \beta}{\sqrt{\triangle}} . \] Оттук след преобразуване стигаме до доказваните неравенства (10).
За да докажем неравенства (11), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle O K_{1} C\). Имаме (фиг. 11):
\[ \left|K_{1} C-O C\right| \leqslant K_{1} O \leqslant K_{1} C+O C . \]
Понеже \(K_{1} O=\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\) (от (8)), \(O C=\tfrac{m \sin \alpha}{\sqrt{\triangle}}\) (от (4)), както и \(K_{1} C=\tfrac{m c}{2 l_{1}}\) (от Свойство 4), след заместване в това неравенство получаваме:
\[ \left|\tfrac{m c}{2 l_{1}}-\tfrac{m \sin \alpha}{\sqrt{\triangle}}\right| \leqslant \tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}} \leqslant \tfrac{m c}{2 l_{1}}+\tfrac{m \sin \alpha}{\sqrt{\triangle}} . \]
Като вземем предвид, че \(S=\tfrac{1}{2} m n \sin \varphi_{0}\), оттук след преобразуване стигаме до доказваните неравенства (11) .
За да докажем неравенство (12), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle O K_{1} M\). Имаме (фиг. 12):
\[ \left|K_{1} M-K_{1} O\right| \leqslant O M \leqslant K_{1} M+K_{1} O . \] Понеже \(K_{1} M=\tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}\) (от Свойство 8), \(K_{1} O=\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\) (от (8)) и \(O M=\tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\triangle}}(\) от \((7))\), след заместване в това неравенство получаваме:
\[ \left|\tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}-\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\right| \leqslant \tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\triangle}} \leqslant \tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}+\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}} . \] Оттук след преобразуване стигаме до доказваните неравенства (12).
Фигура 11
Фигура 12
Сега да докажем следните формули за разстоянията от пресечните точки \(U\) и \(V\) на продълженията на двойките срещуположни страни до средите на страните:
(13)\[ V E_{1}=\tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 c \sin \psi} ; V E_{3}=\tfrac{2 S+b d \sin \varphi}{2 a \sin \psi} ; \]
\[ U E_{4}=\tfrac{2 S-a c \sin \psi}{2 b \sin \varphi} ; U E_{2}=\tfrac{2 S+a c \sin \psi}{2 d \sin \varphi} . \]
Действително, от \(a=V A-V B, \quad c=V D-V C, \quad V E_{3}=\tfrac{1}{2}(V C+V D)\), \(V E_{1}=\tfrac{1}{2}(V A+V B)\), имаме последователно (фиг. 13):
\[ \begin{gathered} a \cdot V E_{3}+c \cdot V E_{1} \\ =\tfrac{1}{2}(V A-V B)(V D+V C)+\tfrac{1}{2}(V A+V B)(V D-V C) \\ =\tfrac{1}{\sin \psi}(V A \cdot V D \cdot \sin \psi-V B \cdot V C \cdot \sin \psi) \\ =\tfrac{2}{\sin \psi}\left(S_{A V D}-S_{B C V}\right)=\tfrac{2 S}{\sin \psi}, \end{gathered} \]
т.е.:
(14)\[ a \cdot V E_{3}+c \cdot V E_{1}=\tfrac{2 S}{\sin \psi} \]
Фигура 13
Фигура 14
От друга страна, понеже \(a \cdot C V-c \cdot B V=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi}\) (от Лема 1) , получаваме:
\[ \begin{aligned} & a \cdot V E_{3}-c \cdot V E_{1}= \\ & =\tfrac{1}{2}(V A-V B)(V D+V C)-\tfrac{1}{2}(V A+V B)(V D-V C)= \\ & =V A \cdot V C-V B \cdot V D=(a+B V) \cdot V C-(c+C V) \cdot B V= \\ & =a \cdot C V-c \cdot B V=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi} \end{aligned} \] т. е.:
(15)\[ a \cdot V E_{3}-c \cdot V E_{1}=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi} . \]
Събираме и изваждаме почленно равенства (14) и (15) и получаваме:
\[ V E_{3}=\tfrac{1}{2 a}\left(\tfrac{2 S}{\sin \psi}+b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi}\right)=\tfrac{2 S+b d \sin \varphi}{2 a \sin \psi} \text { и } V E_{1}=\tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 c \sin \psi} \] С това доказахме първите две равенства в (13). Аналогично се доказват и другите две.
Да изведем формули за разстоянията от брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) на четириъгълника до пресечната точка \(T\) на диагоналите и пресечните точки \(U\) и \(V\) на продълженията на двойките срещуположни страни. Доказваме първо следните формули:
(16)\[ K_{1} T=\tfrac{a c m n \sin \varphi}{4 l_{1} S} ; \quad K_{2} T=\tfrac{b d m n \sin \varphi}{4 l_{2} S} \]
Брокарианата \(K_{2}\) лежи на описаната окръжност около \(\triangle B T C\) (по Определение 1). Затова четириъгълникът \(B C T K_{2}\) е вписан в окръжност и по теоремата на Птоломей имаме (фиг. 14):
\[ K_{2} T \cdot B C=\left|C K_{2} \cdot B T-B K_{2} \cdot C T\right| . \] Но \(B C=b, C K_{2}=\tfrac{m b}{2 l_{2}}, B K_{2}=\tfrac{n b}{2 l_{2}}\) (от Свойство 4), \(B T=\bar{n}, C T=\bar{p}\) и след заместване в последното равенство получаваме:
\[ K_{2} T \cdot b=\left|\tfrac{m b}{2 l_{2}} \bar{n}-\tfrac{n b}{2 l_{2}} \bar{p}\right| \] Като вземем предвид, че \(m \bar{n}-n \bar{p}=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\) (от Лема 2) и \(S=\tfrac{1}{2} m n \sin \varphi_{0}\), оттук определяме: \(K_{2} T=\tfrac{1}{2 l_{2}}|m \bar{n}-n \bar{p}|=\tfrac{b d m n \sin \varphi}{4 l_{2} S}\). Получихме второто от равенствата (16). Аналогично се получава и първото равенство.
Да докажем следните равенства:
(17)\[ V K_{1}=\tfrac{S}{l_{1} \sin \psi} ; \quad U K_{2}=\tfrac{S}{l_{2} \sin \varphi} \]
Брокарианата \(K_{1}\) лежи на брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (от Свойство 2, фиг. 15). Последната е определена от точките \(E_{1}, E_{3}\) и \(V\). По теоремата на Птолoмей за вписания четириъгълник \(E_{1} V E_{3} K_{1}\) имаме:
\[ V K_{1} \cdot E_{1} E_{3}=K_{1} E_{1} \cdot V E_{3}+K_{1} E_{3} \cdot V E_{1} \]
Но
\[ \begin{gathered} E_{1} E_{3}=l_{2}, \quad K_{1} E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}, K_{1} E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}}(4) \\ V E_{3}=\tfrac{1}{2}(V C+V D), V E_{1}=\tfrac{1}{2}(V A+V B) \end{gathered} \]
и след заместване в последното равенство получаваме:
\[ V K_{1} \cdot l_{2}=\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}} \cdot(V C+V D)+\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}} \cdot(V A+V B) \] Като вземем предвид \(a=V A-V B\) и \(c=V D-V C\), определяме:
\[ \begin{aligned} & V K_{1}=\tfrac{1}{4 l_{1}}(V A-V B)(V C+V D)+\tfrac{1}{4 l_{1}}(V D-V C)(V A+V B)= \\ & =\tfrac{1}{2 l_{1}}(V A \cdot V D-V B \cdot V C)=\tfrac{1}{2 l_{1}}\left(\tfrac{2 S_{V A D}}{\sin \psi}-\tfrac{2 S_{V B C}}{\sin \psi}\right)=\tfrac{S}{l_{1} \sin \psi} \end{aligned} \]
С това доказахме първото от равенствата (17). Аналогично се доказва и второто равенство.
Фигура 15
Фигура 16
Да определим разстоянията от точката на Микел \(M\) до пресечните точки \(U\) и \(V\) на продълженията на двойките срещуположни страни. Ще докажем следните формули (фиг. 16):
(18)\[ M U=\tfrac{a c \sin \psi}{2 l_{3} \sin \varphi} ; \quad M V=\tfrac{b d \sin \varphi}{2 l_{3} \sin \psi} \]
Точката на Микел \(M\) лежи на брокаровата окръжност \(\left(c_{1}\right)\), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (от Свойство 7) (фиг. 16). Последната е определена от точките \(E_{1}, E_{3}\) и \(V\). По теоремата на Птоломей, от вписания четириъгълник \(E_{1} V M E_{3}\) имаме:
\[ E_{1} M \cdot E_{3} V=E_{1} E_{3} \cdot M V+E_{1} V \cdot E_{3} M \] Но \(E_{1} M=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{3}}, \quad E_{3} M=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{3}}(\) от Свойство 8\(), E_{3} V=\tfrac{2 S+b d \sin \varphi}{2 a \sin \psi}\), \(E_{1} V=\tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 c \sin \psi}(\) от \((13)), E_{1} E_{3}=l_{2}\) и след заместване в последното равенство получаваме:
\[ \tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2 S+b d \sin \varphi}{2 a \sin \psi}=l_{2} \cdot M V+\tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 c \sin \psi} \cdot \tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}} . \] Оттук след опростяване получаваме второто от равенствата (18). Аналогично се получава и първото равенство.
Да определим разстоянията от пресечните точки \(P_{1}\) и \(P_{2}\) на симетралите на двойките срещуположни страни до средите на съответните страни. Доказваме следните формули:
(19)\[ \begin{array}{ll} P_{1} E_{3}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 a \sin \psi} ; & P_{1} E_{1}=\tfrac{\left|\left|b^{2}-d^{2}\right|-\left|m^{2}-n^{2}\right|\right|}{4 c \sin \psi} ; \\ P_{2} E_{4}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|+\left|a^{2}-c^{2}\right|}{4 b \sin \varphi} ; & P_{2} E_{2}=\tfrac{\left|\left|a^{2}-c^{2}\right|-\left|m^{2}-n^{2}\right|\right|}{4 d \sin \varphi} \end{array} \]
Точките \(K_{1}, P_{1}\) и \(M\) лежат на брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (от Свойства 2, 7 и 10) (фиг. 17). Точката \(E_{3}\) също лежи на тази окръжност (по Определение 3). По теоремата на Птоломей, за вписания четириъгълник \(P_{1} M E_{3} K_{1}\) имаме:
\[ P_{1} E_{3} \cdot K_{1} M=P_{1} K_{1} \cdot M E_{3}+P_{1} M \cdot K_{1} E_{3} \] Но \(K_{1} M=\tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}\) и \(M E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{3}}\) (от (8)), \(P_{1} K_{1}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi}\) (от (11)), \(P_{1} M=\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{3} \sin \psi}(\) от \((11)), K_{1} E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}}(\) от \((3))\) и след заместване в последното равенство получаваме:
\[ P_{1} E_{3} \cdot \tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi} \cdot \tfrac{c l_{2}}{2 l_{3}}+\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{3} \sin \psi} \cdot \tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}} . \] Оттук след преобразуване стигаме до първото от равенствата (19). Аналогично се доказват и останалите равенства.
Да изведем формули и за разстоянията от пресечната точка \(P_{3}\) на симетралите на диагоналите до средите \(E\) и \(F\) на диагоналите и до пресечната им точка \(T\). Доказваме следните формули:
(20)\[ \begin{gathered} P_{3} E=\tfrac{m}{8 S}| | a^{2}-c^{2}\left|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\right| \\ P_{3} F=\tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right) ; \quad P_{3} T=\tfrac{l_{3}}{\sin \varphi_{0}} \end{gathered} \]
Фигура 17
Фигура 18
Пресечната точка \(P_{3}\) на симетралите на диагоналите лежи на брокаровата окръжност (\(c\) ) на четириъгълника (от Свойство 9) (фиг. 18). Последната е определена от средите \(E\) и \(F\) на диагоналите и пресечната им точка \(T\) (по Определение 1). Брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) също лежат на тази окръжност (от Свойство 1). По теоремата на Птоломей, от вписания четириъгълник \(P_{3} E K_{1} K_{2}\) тогава имаме:
\[ P_{3} E \cdot K_{1} K_{2}=\left|P_{3} K_{1} \cdot K_{2} E-P_{3} K_{2} \cdot K_{1} E\right| . \] Понеже \(K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}\) (от Свойство 4), \(P_{3} K_{1}=\tfrac{\left|a^{2}-c^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \varphi_{0}}, P_{3} K_{2}=\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{2} \sin \varphi_{0}}\) (от Свойство 11), \(K_{1} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{1}}, K_{2} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{2}}\) (от Свойство 4), след заместване в това равенство получаваме:
\[ P_{3} E \cdot \tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}=\tfrac{\left|a^{2}-c^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \varphi_{0}} \cdot \tfrac{m l_{3}}{2 l_{2}}-\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{2} \sin \varphi_{0}} \cdot \tfrac{m l_{3}}{2 l_{1}} . \]
Предвид равенството \(S=\tfrac{1}{2} m n \sin \varphi_{0}\), оттук след преобразуване стигаме до първото от равенствата (20). Аналогично се получава и второто равенство.
Отсечката \(P_{3} T\) е диаметър на брокаровата окръжност (\(c\) ) на четириъгълника (Nenkov 2022) (фиг. 18), затова \(P_{3} T=\tfrac{E F}{\sin \varphi_{0}}\), с което е доказано и третото от равенствата (20).
С помощта на изведените формули за разстоянията между разгледаните забележителни точки да докажем още няколко интересни неравенства в четириъгълника:
(21) \(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right| \leqslant l_{3} m ;\)
(22) \( S \leqslant c l_{2}+\cfrac{1}{2} b d \sin \varphi ;\)
(23) \(\left|4 l_{1} l_{2}-\left|m^{2}-n^{2}\right|\right| \leqslant 4 S \leqslant 4 l_{1} l_{2}+\left|m^{2}-n^{2}\right| ;\)
(24) \( \left|a c l_{2} \sin \psi-b d l_{1} \sin \varphi\right| \leqslant 2 l_{3} S \leqslant a c l_{2} \sin \psi+b d l_{1} \sin \varphi ;\)
(25) \(\begin{aligned} & |m|\left|a^{2}-c^{2}\right|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\left|-n\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right)\right| \leqslant 8 l_{3} S \leqslant \\ & \leqslant m| | a^{2}-c^{2}\left|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\right|+n\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right) \end{aligned}\)
За да докажем първото неравенство, използваме, че отсечката \(P_{3} T\), както видяхме по-горе, е диаметър на брокаровата окръжност (\(c\) ). Точката F лежи на тази окръжност (от Определение 2). Следователно \(\triangle P_{3} F T\) е правоъгълен, откъдето имаме (фиг. 19):
\[ P_{3} F \leqslant P_{3} T \] Но \(P_{3} F=\tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right), P_{3} T=\tfrac{l_{3}}{\sin \varphi_{0}}\) (от (20)) , затова е изпълнено неравенството:
Фигура 19
Фигура 20
\[ \tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right) \leqslant \tfrac{l_{3}}{\sin \varphi_{0}} \]
Понеже \(S=\tfrac{1}{2} m n \sin \varphi_{0}\), оттук непосредствено получаваме доказваното неравенство (21).
За да докажем неравенство (22), използваме, че точката \(P_{1}\) лежи на брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (от Свойство 10) и \(P_{1} V\) е неин диаметър (фиг. 20) (Nenkov 2022). Точката \(E_{1}\) също лежи на окръжността (\(c_{1}\) ) (по Определение 3). Тогава от правоъгълния \(\triangle E_{1} P_{1} V\) имаме (фиг. 20):
\[ V E_{1} \leqslant P_{1} V \] Но \(V E_{1}=\tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 l \sin \psi}\) (от (13)) , \(P_{1} V=\tfrac{E_{1} E_{3}}{\sin \psi}=\tfrac{l_{2}}{\sin \psi}\) (по синусовата теорема от \(\triangle E_{1} E_{3} V\) ) и след заместване в последното неравенство получаваме:
\[ \tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 l \sin \psi} \leqslant \tfrac{l_{3}}{\sin \psi} \]
Оттук непосредствено следва доказваното неравенство (22).
За да докажем неравенства (23), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle K_{1} P_{1} V\) (фиг. 21). Имаме:
\[ \left|P_{1} V-K_{1} P_{1}\right| \leqslant K_{1} V \leqslant P_{1} V+K_{1} P_{1} \]
Понеже \(P_{1} V=\tfrac{l_{2}}{\sin \psi}\) (както видяхме в доказателството на неравенство (22)), \(K_{1} P_{1}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi}\) (от Свойство 11) и \(K_{1} V=\tfrac{S}{l_{1} \sin \psi}\) (от (17)), като заместим в последните неравенства, получаваме:
\[ \left|\tfrac{l_{2}}{\sin \psi}-\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi}\right| \leqslant \tfrac{S}{l_{1} \sin \psi} \leqslant \tfrac{l_{2}}{\sin \psi}+\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi} . \] Оттук след опростяване стигаме до доказваните неравенства (23).
За да докажем неравенствата (24), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle K_{1} K_{2} T\) (фиг. 22):
\[ \left|K_{1} T-K_{2} T\right| \leqslant K_{1} K_{2} \leqslant K_{1} T+K_{2} T . \] Понеже \(K_{1} T=\tfrac{a c m n}{4 l_{1} S} \sin \psi, K_{2} T=\tfrac{b d m n}{4 l_{2} S} \sin \varphi\) (от (16)) както и \(K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}\) (от (4)), като заместим в последните неравенства, получаваме
\[ \left|\tfrac{a c m n}{4 l_{1} S} \sin \psi-\tfrac{b d m n}{4 l_{2} S} \sin \varphi\right| \leqslant \tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}} \leqslant \tfrac{a c m n}{4 l_{1} S} \sin \psi+\tfrac{b d m n}{4 l_{2} S} \sin \varphi \] Оттук непосредствено следват доказваните неравенства (24).
Фигура 21
Фигура 22
За да докажем неравенствата (25), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle E F P_{3}\) (фиг. 23):
\[ \left|P_{3} E-P_{3} F\right| \leqslant E F \leqslant P_{3} E+P_{3} F \]
Фигура 23
Понеже
\[ P_{3} E=\tfrac{m}{8 S}| | a^{2}-c^{2}\left|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\right|, P_{3} F=\tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right) \]
(от (20) и \(E F=l_{3}\) след заместване, получаваме:
\[ \begin{aligned} & \left|\tfrac{m}{8 S}\right|\left|a^{2}-c^{2}\right|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\left|-\tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right)\right| \leqslant l_{3} \leqslant \\ & \leqslant \tfrac{m}{8 S}| | a^{2}-c^{2}\left|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\right|+\tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right) . \end{aligned} \] Оттук непосредствено следват доказваните неравенства (25).
В заключение предлагаме на читателите, като приложат неравенството на триъгълника съответно към \(\triangle E_{1} M V, \triangle K_{1} P_{3} E_{1}, \triangle K_{1} E_{3} V\), \(\triangle E_{1} E_{3} V\) и \(\triangle K_{1} O M\), да докажат следните неравенства:
\[ \begin{aligned} & a c l_{2} \sin \psi-b d\left(c-l_{3}\right) \sin \varphi \leqslant 2 l_{3} S \leqslant a c l_{2} \sin \psi+b d\left(c+l_{3}\right) \sin \varphi ; \\ & 8 S \geqslant \tfrac{4 l_{1} n_{1} \sin \varphi| | a^{2}-c^{2}\left|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\right|}{\left|a^{2}-c^{2}\right|+2 m l_{3} \sin \varphi} ; \\ & l_{2} a c \sin \psi-l_{1} b d \sin \varphi \geqslant 2\left(l_{1}-a\right) S ; \\ & S \geqslant \tfrac{a c l_{2} \sin \psi-b d l_{1} \sin \varphi}{2\left(a+l_{1}\right)} ; \\ & S \geqslant \tfrac{2 a c l_{2} \sin \psi+(c-a) b d \sin \varphi}{2(a+c)} ; \\ & 2(a-c) S \leqslant 2 a c l_{2} \sin \psi+(a+c) b d \sin \varphi ; \\ & S\left(\tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}+\tfrac{l_{1}}{l_{3}}\right) \geqslant \tfrac{a c l_{2}}{l_{3}} \sqrt{\Delta} . \end{aligned} \]
ЛИТЕРАТУРА
ХАИМОВ, Х., 2001. Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника. Математика и информатика, Т. 44, № 6, с. 17 – 23.
ХАИМОВ, Х., 2005. Брокариани в четириъгълника. Математика, № 5, с. 15 – 21.
НЕНКОВ, В., СТЕФАНОВ, С., ХАИМОВ, Х., 2016. Псевдоцентър и ортоцентър – забележителни точки в четириъгълника. Математика и информатика, Т. 59, № 6, с. 614 – 625.
НЕНКОВ, В., СТЕФАНОВ, С., ХАИМОВ, Х., 2017. Геометрия на четириъгълника. Точка на Микел. Инверсна изогоналност. Математика и информатика, Т. 60, № 1, с. 81 – 93.
НЕНКОВ, В., СТЕФАНОВ, С., ХАИМОВ, Х., 2019. Формули за разстоянията от брокарианите и точката на Микел в четириъгълник до върховете му и середите на страните и диагоналите му. Математика и информатика, Т. 62, № 3, с. 305 – 324.
СТЕФАНОВ, С., 2017. Втори псевдоцентър на четириъгълника. Математика и информатика, Т. 60, № 3, с. 252 – 261.
REFERENCES
HAIMOV, H., 2001. The Brocardians – notable points in the quadrilateral. Mathematics and Informatics, vol. 44, no. 6, pp. 17 – 23. (in Bulgarian).
HAIMOV, H., 2005. Brocardians of a quadrilateral. Mathematics, no. 5, pp. 15 – 21. (in Bulgarian).
NENKOV, V., GROZDEV, S., VELCHEV, A., ALASHKA, R., STEFANOV, S., HAIMOV, H., 2022. New formulas for distances between new and traditional remarkable points in a quadrilateral. AIP Conference Proceedings, vol. 2939, no. 1, 060003. ISBN 978-0-7354-4396-9, DOI: 10.1063/5.0188027.
NENKOV, V., STEFANOV, S., HAIMOV, H., 2016. Pseudocenter and orthocenter – notable points in the quadrilateral. Mathematics and Informatics, vol. 59, no. 6, pp. 614 – 625. (in Bulgarian).
NENKOV, V., STEFANOV, S., HAIMOV, H., 2017. Geometry of the quadrilateral. Miquel point. Inverse isogonality. Mathematics and Informatics, vol. 60, no. 1, pp. 81 – 93. (in Bulgarian).
NENKOV, V., STEFANOV, S., HAIMOV, H., 2019. Formulas for the distances from the Brocardians and the Miquel point in a quadrilateral to its vertices and the midpoints of its sides and diagonals. Mathematics and Informatics, vol. 62, no. 3, pp. 305 – 324. (in Bulgarian).
STEFANOV, S., 2017. Second pseudocenter of the quadrilateral. Mathematics and Informatics, vol. 60, no. 3, pp. 252 – 261. (in Bulgarian).