Veselin Nenkov

“Nikola Vaptsarov” Naval Academy
73 Vasil Drumev St.
Varna Bulgaria
E-mail: vnenkov@mail.bg

Stanislav Stefanov

Technical University – Sofia
1000 Sofia Bulgaria
E-mail: stanislav.toshkov@abv.bg

Haim Haimov

16 Bratya Shkorpil St.
9000 Varna Bulgaria

Abstract. Formulae are derived and presented for the distances to the vertices and the midpoints of the sides and diagonals of a quadrilateral from three of its notable points. They are used to prove some inequalities in the quadrilateral, connecting the lengths of its sides and diagonals. An interesting property of the centroid of a quadrilateral inscribed in a circle has been found too.

Keywords: quadrilateral; notable points; inequalities; centroid; Euler circle

Брокарианите на четириъгълника и точката му на Микел са сходни по-между си забележителни точки, които се характеризират с много и разнообразни свойства (Haimov, 2001), (Haimov, 2005). Сходството помежду им, както ще видим, се потвърждава и от съществуването на идентични формули за разстоянията от тях до върховете на четириъгълника и до средите на страните и диагоналите му. При това тези формули се извеждат по един и същи начин както за брокарианите, така и за точката на Микел. Той се основава на подобието на триъгълници, свързани с тези точки със определени триъгълници с върхове измежду средите на страните и диагоналите на четиръгълника. Изведените формули ще използваме за получаването на редица неравенства, свързващи дължините на страните и диагоналите на произволен четириъгълник, за установяването колинеарността на брокарианите и точката на Микел с други точки в някои видове четириъгълници и за доказателството на едно свойство на центъра на тежестта на вписан в окръжност четириъгълник.

1. Разстояния, свързани с брокарианите на четириъгълник. Най-напред ще припомним определението на брокарианите в четириъгълник, дадено в (Haimov, 2001).

Определение. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и пресечната точка на диагоналите му е \(T\). Втората обща точка \(K_{1}\) на описаните около триъгълниците \(A B T\) и \(C D T\) окръжности се нарича брокариана, съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (фиг. 1).

Аналогично се дефинира и брокарианата \(K_{2}\), съответна на страните \(A D\) и \(B C\) (фиг. 2). От (Haimov, 2001) е известно следното

Свойство 1. Изпълнени са следните подобия на триъгълници: \(\Delta A K_{1} B \sim \Delta C K_{1} D\) и \(\Delta A K_{1} C \sim \Delta B K_{1} D\) (фиг. 1).

Както ще видим, триъгълниците, участващи в свойство 1, са подобни още и с определени триъгълници, върховете на които са измежду средите на страните и диагоналите на четириъгълника. Да се условим средите на страните \(A B\), \(B C, C D\) и \(D A\) на четириъгълника \(A B C D\) да бележим съответно с \(E_{1}\), \(E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\), , а средите на диагоналите му \(A C\) и \(B D\)– съответно с \(E\) и \(F\) (фиг. 1, 2). Добре известно е, а и лесно се доказва, че трите отсечки \(E_{1} E_{3}\), \(E_{4} E_{2}\) и \(E F\), които ще наричаме средни отсечки на четириъгълника, се пресичат в една точка \(G\), която ги разполовява (фиг. 1, 2). Тя се нарича център на тежестта (медицентър) на четириъгълника. Да се условим още дължините на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) на разглеждания четириъгълник да бележим съответно с \(a, b, c\) и \(d\), b , c и d , дължините на диагоналите \(A C\) и \(B D\) – съответно с \(m\) и \(n\), и дължините на отсечките \(E_{4} E_{2}, E_{1} E_{3}\) и \(E F\)– съответно с \(l_{1}, l_{2}\) и \(l_{3}\) (фиг. 1, 2). Освен това ще предполагаме, че разглежданият четириъгълник \(A B C D\) няма двойка успоредни страни.

В началото ще докажем следното

Свойство 2. Изпълнено е следното подобие на триъгълници: \(\Delta A B K_{1} \sim \Delta E_{4} E_{2} E_{3}\) (фиг. 1).

Доказателство. Брокарианата \(K_{1}\) лежи на описаната около \(\triangle A B T\) окръжност (по определение). Затова \(∢ A K_{1} B=∢ A T B\) (вписани ъгли). От друга страна, понеже \(E_{4} E_{3} \| A C\) и \(E_{2} E_{3} B D\) (средни отсечки), имаме \(∢ E_{4} E_{3} E_{2}=∢ A T B\). Сравнявайки последните две равенства, получаваме \(∢ A K_{1} B=∢ E_{4} E_{3} E_{2}\). Същевременно от свойство 1 имаме \(\triangle A K_{1} C \sim \Delta B K_{1} D\), откъдето \(\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}=\tfrac{A C}{B D}\). Тъйкато \(E_{4} E_{3}=\tfrac{1}{2} A C\) и \(E_{2} E_{3}=\tfrac{1}{2} B D\), то \(\tfrac{E_{4} E_{3}}{E_{2} E_{3}}=\tfrac{A C}{B D}\). Като сравним последните две равенства, получаваме \(\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}=\tfrac{E_{4} E_{3}}{E_{2} E_{3}}\). От това равенство и установеното по-рано \(∢ A K_{1} B=∢ E_{4} E_{3} E_{2}\) заключаваме, че \(\Delta A B K_{1} \sim \Delta E_{4} E_{2} E_{3}\). Така доказахме желаното подобие.

С помощта на свойство 2 се получават прости формули за разстоянията от брокарианите до върховете на четириъгълника.

Свойство 3. За разстоянията от върховете на \(A B C D\) до брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) са изпълнени следните равенства:

(1)\[ \begin{aligned} & A K_{1}=\tfrac{a m}{2 l_{1}}, B K_{1}=\tfrac{a n}{2 l_{1}}, C K_{1}=\tfrac{c m}{2 l_{1}}, D K_{1}=\tfrac{c n}{2 l_{1}} \\ & A K_{2}=\tfrac{d m}{2 l_{2}}, B K_{2}=\tfrac{b n}{2 l_{2}}, C K_{2}=\tfrac{b m}{2 l_{2}}, D K_{2}=\tfrac{d n}{2 l_{2}} \end{aligned} \]

Доказателство. От свойство 2 имаме \(\triangle A B K_{1} \sim \Delta E_{4} E_{2} E_{3}\) (фиг. 1 1). Затова \(\tfrac{A K_{1}}{E_{4} E_{3}}=\tfrac{A B}{E_{4} E_{2}}\), т.е. \(A K_{1}=\tfrac{A B \cdot E_{4} E_{3}}{E_{4} E_{2}}\). Като вземем предвид, че \(A B=a\), \(E_{4} E_{3}=\tfrac{m}{2}\) и \(E_{4} E_{2}=l_{1}\), получаваме \(A K_{1}=\tfrac{a m}{2 l_{1}}\), което е първото от равенствата ( 1) . Останалите равенства се доказват аналогично.

С помощта на свойство 2 се получават и формули за разстоянията от брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) до средите на страните на четириъгълника \(A B C D\).

Свойство 4. За разстоянията от брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) до средите на страните на \(A B C D\) са изпълнени следните равенства:

(2) \(K_{1} E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}, K_{1} E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}}, K_{2} E_{4}=\tfrac{d l_{1}}{2 l_{2}}, K_{2} E_{2}=\tfrac{b l_{1}}{2 l_{2}}\).

Доказателство. От свойство 2 следва, че триъгълниците \(A B K_{1}\) и \(E_{4} E_{2} E_{3}\) са подобни (фиг. 1). В тях \(K_{1} E_{1}\) и \(E_{3} G\) са медиани към съответните страни \(A B\) и \(E_{4} E_{2}\). Затова \(\tfrac{K_{1} E_{1}}{A B}=\tfrac{E_{3} G}{E_{4} E_{2}}\), т.е. \(K_{1} E_{1}=\tfrac{A B \cdot E_{3} G}{E_{4} E_{2}}\). Като вземем предвид, че \(A B=a, E_{3} G=\tfrac{1}{2} E_{1} E_{3}=\tfrac{l_{2}}{2}\) и \(E_{4} E_{2}=l_{1}\), получаваме \(K_{1} E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}\), което е първото от равенствата \((2)\) . Останалите равенства се доказват аналогично.

Ще използваме още едно подобие на триъгълници, свързани с брокарианите. За доказателството му ще ни послужи следното свойство, доказано в (Haimov, 2005).

Свойство 5. Брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) лежат на една окръжност (\(c\) ) \(c\) ъс средите \(E\) и \(F\) и пресечната точка \(T\) на ди агоналите \(A C\) и \(B D\), като са изпълнени равенствата

\[ \tfrac{K_{1} E}{K_{1} F}=\tfrac{K_{2} E}{K_{2} F}=\tfrac{A C}{B D} . \]

Окръжността (\(c\) ) наричаме Брокарова окръжност на четириъгълника (фиг. 3). Изпълнено е следното:

Свойство 6. Изпълнено е следното подобие на триъгълници: \(\Delta E F K_{1} \sim \triangle A B K_{1}\) (фиг. 3).

Доказателство. От свойство 5 имаме имаме \(\tfrac{K_{1} E}{K_{1} F}=\tfrac{A C}{B D}\). Като използваме формулите \((1)\) , получаваме \(\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}=\tfrac{a m}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2 l_{1}}{a n}=\tfrac{m}{n}=\tfrac{A C}{B D}\). Сравнявайки последните две равенства, получаваме \(\tfrac{K_{1} E}{K_{1} F}=\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}\). От друга страна, \(∢ A K_{1} B=∢ A T B\) (понеже брокарианата \(K_{1}\) лежи на описаната около \(\triangle A T B\) окръжност), т.е. \(∢ A K_{1} B=∢ A T B=∢ E T F\). Същевременно \(∢ E K_{1} F\) \(=∢ E T F\) (вписани ъгли). Сравнявайки последните две равенства, получаваме \(∢ A K_{1} B=∢ E K_{1} F\). Като вземем предвид и доказаната пропорция, се убеждаваме, че \(\triangle E F K_{1} \sim \triangle A B K_{1}\).

С помощта на доказаното свойство се получават прости формули за разстоянията от брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) до центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\).

Свойство 7. Изпълнени са равенствата:

(3) \(K_{1} G=\tfrac{l_{2} l_{3}}{2 l_{1}}, K_{2} G=\tfrac{l_{1} l_{3}}{2 l_{2}}\).

Доказателство. Според свойство 6 триъгълниците \(E F K_{1}\) и \(A B K_{1}\) са подобни (фиг. 3). В тях \(K_{1} G\) и \(K_{1} E_{1}\) са медиани към съответните страни \(E F\) и \(A B\), затова \(\tfrac{K_{1} G}{K_{1} E_{1}}=\tfrac{E F}{A B}\), т.е. \(K_{1} G=\tfrac{K_{1} E_{1} \cdot E F}{A B}\). Като вземем предвид, че \(K_{1} E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}, E F=l_{3}\) и \(A B=a\), EF = l3 и AB = a, получаваме \(K_{1} G=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{l_{3}}{a}=\tfrac{l_{2} l_{3}}{2 l_{1}}\) \(K_{1} G=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{l_{3}}{a}=\tfrac{l_{2} l_{3}}{2 l_{1}}\). С това е доказано първото от равенствата ( 3) . Аналогично се доказва и другото равенство.

Сега ще докажем подобия на триъгълници, свързани с брокарианите, с определени триъгълници с върхове измежду средите на страните и диагоналите на четиръгълника, от които следват формули за разстоянията на брокарианите до средите на дигоналите.

Свойство 8. Изпълнено е следното подобие на триъгълници: \(\Delta A C K_{1} \sim \Delta E_{2} E_{4} E\) (фиг. 4).

Доказателство. Означаваме пресечната точка на продълженията на страните \(B A\) и \(C D\) с \(V\) (фиг. 4). От свойство 1 имаме \(\triangle A B K_{1} \sim \Delta C D K_{1}\). Оттук \(∢ K_{1} A B=∢ K_{1} C D\), т.е. \(∢ K_{1} A B=∢ K_{1} C V\). Тогава четириъгълникът \(A V C K_{1}\) е вписан в окръжност, затова \(∢ A K_{1} C=180^{\circ}-∢ A V C\). От друга страна, \(E_{4} E \| D C\) и \(E E_{2} \| A B\) (средни отсечки), откъдето следва, че \(∢ E_{4} E E_{2}=180^{\circ}-∢ A V C\). Сравнявайки последните две равенства, получаваме \(∢ A K_{1} C=∢ E_{4} E E_{2}\). Същевременно от подобието \(\triangle A B K_{1} \sim \Delta C D K_{1}\) (по свойство 1) имаме още \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{A B}{C D}\). Като вземем предвид, че \(E E_{2}=\tfrac{1}{2} A B\)

и \(E_{4} E=\tfrac{1}{2} C D\), получаваме \(\tfrac{E E_{2}}{E_{4} E}=\tfrac{A B}{C D}\). Сравнявайки последните две равенства, получаваме \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{E E_{2}}{E_{4} E}\). Сега от полученото по-горе равенство \(∢ A K_{1} C=∢ E_{4} E E_{2}\) следва, че \(\triangle A C K_{1} \sim \Delta E_{2} E_{4} E\).

Свойство 9. Разстоянията от брокарианите до средите \(E\) и \(F\) на диагоналите \(A C\) и \(B D\) се определят по формулите:

(4)\(K_{1} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{1}}, K_{1} F=\tfrac{n l_{3}}{2 l_{1}}, K_{2} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{2}}, K_{2} F=\tfrac{n l_{3}}{2 l_{2}}\).

Доказателство. Според свойство 8 триъгълниците \(A C K_{1}\) и \(E_{2} E_{4} E\) са по-добни (фиг. 4). В тях \(K_{1} E\) е \(E G\) са медиани към съответните страни \(A C\) и \(E_{4} E_{2}\). Затова \(\tfrac{K_{1} E}{A C}=\tfrac{E G}{E_{4} E_{2}}\). Като вземем предвид, че \(A C=m, E G=\tfrac{l_{3}}{2}\) и \(E_{4} E_{2}=l_{1}\), получаваме \(K_{1} E=\tfrac{A C \cdot E G}{E_{4} E_{2}}=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{1}}\), което съвпада с първото от равенствата \((4)\) . Останалите равенства \((4)\) се доказват аналогично.

С помощта на доказаните равенства \((4)\) се получава формула за разстоянието между самите брокариани \(K_{1}\) и \(K_{2}\).

Свойство 10. Разстоянието между брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) се пресмята по формулата:

(5) \(K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}\).

Доказателство. Точките \(K_{1}\) и \(K_{2}\) според свойство 5 лежат на една окръжност ( \(c\) ) с точките \(E\) и \(F\) (фиг. 3). От теоремата на Птоломей за вписания четириъгълник \(E K_{2} F K_{1}\) имаме \(K_{1} K_{2} \cdot E F=K_{1} E \cdot K_{2} F+K_{1} F \cdot K_{2} E\). Като заместим с равенствата (4), получаваме формулата (5).

2. Разстояния, свързани с точката на Микел на четириъгълник. Сега ще разгледаме формули, аналогични на горните, но за разстоянията от точката на Микел до върховете на четириъгълника и до средите на страните му.

Нека \(A B C D\) е четириъгълник, в който продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а продълженията на страните \(A B\) и \(D C\)– в точка \(V\). Доказва се, че описаните окръжности около триъгълниците \(A B U, C D U, A D V\) и \(B V C\) се пресичат в една точка \(M\) (фиг. 5). Тя се нарича точка на Микел на четириъгълника \(A B C D\). В (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2017) е доказано следното свойство на точката на Микел.

Свойство 11. Изпълнени са следните подобия на триъгълници: \(\triangle A B M \sim \triangle C D M\) и \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) (фиг. 6).

Както ще видим, триъгълниците, участващи в тези подобия, са подобни още с определени триъгълници с върхове измежду средите на страните и диагоналите на четириъгълника.

Свойство 12. Изпълнени са следните подобия на триъгълници: \(\triangle A B M \sim \triangle E F E_{3}\) и \(\triangle A D M \sim \triangle E F E_{2}\) (фиг. 5).

Доказателство. От свойство 11 имаме \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\). Оттук следва,(средни че \(\tfrac{A M}{B M}=\tfrac{A D}{B C}\) отсечки),(фиг. 5). Същевременно \(E E_{3}=\tfrac{1}{2} A D\) и \(F E_{3}=\tfrac{1}{2} B C\) ваме \(\tfrac{A M}{B M}=\tfrac{E E_{3}}{F E_{3}}\). зат Отова друга \(\tfrac{E E_{3}}{F E_{3}}=\tfrac{A D}{B C}\) страна,. то Отчка потаследните на Микел две \(M\) равенстваза четириъгълни получака \(A B C D\) лежи върху описаната около \(\triangle A B U\) окръжност (по определение), откъдето имаме \(∢ A M B=∢ A U B\). Същевременно \(E E_{3} \| A D\) и \(F E_{3} \| B C\), затова \(∢ E E_{3} F=∢ A U B\). От последните две равенства получаваме \(∢ A M B=∢ E E_{3} F\). Оттук и от полученото по-горе равенство \(\tfrac{A M}{B M}=\tfrac{E E_{3}}{F E_{3}}\) следва, че \(\triangle A B M \sim \triangle E F E_{3}\). Така доказахме първото от желаните подобия. Аналогично се доказва \(\triangle A D M \sim \triangle E F E_{2}\).

С помощта на доказаните подобия се получават формули за разстоянията от точката на Микел \(M\) до върховете на четириъгълника.

Свойство 13. За разстоянията от точката на Микел M до върховете на \(A B C D\) са изпълнени следните равенства:

(6)\(M A=\tfrac{a d}{2 l_{3}}, M B=\tfrac{a b}{2 l_{3}}, M C=\tfrac{b c}{2 l_{3}}, M D=\tfrac{c d}{2 l_{3}}\).

Доказателство. От свойство 12 следва, че триъгълниците \(A D M\) и \(E F E_{2}\) \(M A=\tfrac{A D \cdot E E_{2}}{E F}=\tfrac{d a}{2 l_{3}}\), с което е доказано първото от равенствата (6). Оста- са подобни (фиг. 5). Следователно \(\tfrac{M A}{A D}=\tfrac{E E_{2}}{E F}\). Оттук получаваме налите се доказват аналогично.

С помощта на свойство 12 се получават формули и за разстоянията от точката на Микел \(M\) до средите на страните на четириъгълника.

Свойство 14. За разстоянията от точката на Микел до средите на страните на \(A B C D\) са изпълнени следните равенства:

(7)\(M E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{3}}, M E_{2}=\tfrac{b l_{1}}{2 l_{3}}, M E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{3}}, M E_{4}=\tfrac{d l_{1}}{2 l_{3}}\).

Доказателство. От свойство 12 следва, че триъгълницитеABM и ьгълниците \(A B M\) и \(E F E_{3}\) са по-добни (фиг. 6). В тях \(M E\) и \(E_{3} G\) са медиани към съответните страни \(A B\) и \(E F\). Следователно \(\tfrac{M E_{1}}{A B}=\tfrac{E_{3} G}{E F}\). Оттук получаваме \(M E_{1}=\tfrac{A B \cdot E_{3} G}{E F}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{3}}\), с което е доказано първото от равенствата (7). Останалите равенства (7) се доказват аналогично.

Сега ще изведем формули за разстоянията от точката на Микел \(M\) до центъра на тежестта \(G\) и до брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) на четириъгълника \(A B C D\). Ще ни бъде нужно следващото твърдение, доказано в (Stefanov, 2017).

Свойство 15. Ако продълженията на страните \(A B\) и \(D C\) на четириъгълника \(A B C D\) се пресичат в точка \(V\), то брокарианата \(K_{1}\) и точката на Микел \(M\) лежат на една окръжност със средите \(E_{1} u E_{3}\) на страните \(A B\) и \(D C\) и точката \(V\) (фиг. 7).

Тази окръжност се нарича Брокарова окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\). С помощта на това твърдение се получава следната формула за разстоянието от точката на Микел \(M\) до брокарианата \(K_{1}\).

Свойство 16. За разстоянието между точката на Микел M и брокари

аната \(K_{1}\) е изпълнена формулата:

(8) \(M K_{1}=\tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}\).

Доказателство. Тъй като според свойство 15 точките \(E_{1}, K_{1}, E_{3}\) и \(M\) лежат на една окръжност (Брокаровата окръжност), съответна на страните \(A B\) и \(C D\), то от теорема на Птоломей за четириъгълника \(E_{1} K_{1} E_{3} M\) имаме \(M K_{1} \cdot E_{1} E_{3}=K_{1} E_{1} \cdot M E_{3}+K_{1} E_{3} \cdot M E_{1}\) (фиг. 7). Сега след заместване с равенствата ( 2) и ( 7) получаваме ( 8) .

Забележка 1. Аналогично сe доказва равенството:

(9)\(M K_{2}=\tfrac{b d l_{1}}{2 l_{2} l_{3}}\)

Свойство 17. За разстоянието между точката на Микел \(M\) и центъра на тежестта на четириъгълника \(A B C D\) е изпълнена формулата:

(10)\[ M G=\tfrac{l_{1} l_{2}}{2 l_{3}} \]

Доказателство. Ще докажем, че \(\Delta E_{1} E_{3} M \sim \Delta B C M\) (фиг. 8). От свойство 11 имаме \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\). В тези триъгълници \(M E_{1}\) и \(M E_{3}\) са съответни медиани \(M B\) и \(M C\)– съответни страни. Следователно \(\tfrac{M E_{1}}{M E_{3}}=\tfrac{B M}{C M}\). От друга страна, точката \(M\) лежи на описаната около \(\Delta B C V\) окръжност (по определение), затова \(∢ B M C=∢ B V C\). Същевременно точките \(E_{1}, E_{3}, M\) и \(V\) лежат на Брокаровата окръжност на \(A B C D\), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (по свойство 15). Следователно \(∢ E_{1} M E_{3}=∢ E_{1} V E_{3}=∢ B V C\). От последните две равенства получаваме \(∢ E_{1} M E_{3}=∢ B M C\). Оттук и получената по-рано пропорция \(\tfrac{M E_{1}}{M E_{3}}=\tfrac{B M}{C M}\) следва, че \(\Delta E_{1} E_{3} M \sim \Delta B C M\). В тези триъгълници \(M G\) и \(M E_{2}\) са медиани към съответните страни \(E_{1} E_{3}\) и \(B C\). Затова \(\tfrac{M G}{E_{1} E_{3}}=\tfrac{M E_{2}}{B C}\). Като използваме (7), получаваме \(M G=\tfrac{M E_{2} \cdot E_{1} E_{3}}{B C}=\tfrac{l_{1} l_{2}}{2 l_{3}}\). С това равенството (10) e доказано.

3. Някои неравенства в четириъгълника. С помощта на изведените формули (1) – (10) ще получим редица неравенства в произволен четириъгълник \(A B C D\), свързващи дължините на страните и диагоналите му.

Свойство 18. Страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\) са свързани с неравенството:

(11)\[ m^{2}+n^{2} \leq b^{2}+d^{2}+2 a c . \]

Доказателство. Към тройката точки \(M, K_{1}\) и \(G\) прилагаме неравенството на триъгълника и получаваме \(M G \leq M K_{1}+K_{1} G\) (фиг. 9). От равенствата(10) и

(8)следва \(\tfrac{l_{1} l_{2}}{2 l_{3}} \leq \tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}+\tfrac{l_{2} l_{3}}{2 l_{1}}\) или \(l_{1}^{2} \leq a c+l_{3}^{2}\). Като вземем предвид формулата

на Ойлер за разстоянието между средите на диагоналите на четириъгълник имаме \(l_{3}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right)\) и \(l_{1}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(a^{2}+c^{2}+m^{2}+n^{2}-b^{2}-d^{2}\right)\). След заместване на тези равенства в последното неравенство получаваме (11).

Забележка 2. Лесно се доказва, че в (11) равенство имаме само за четириъгълник, в който \(A B \| C D\).

Свойство 19. Страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\) са свързани с неравенствата:

(12)\(m^{2}+n^{2}+\tfrac{(a d-b c)^{2}}{m^{2}} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \lt m^{2}+n^{2}+\tfrac{(a d+b c)^{2}}{m^{2}}\).

Доказателство. Към тройката точки \(A, C\) и \(M\) прилагаме неравенството на триъгълника и вземаме предвид факта, че \(M\) не може да лежи на диагонала \(A C\) (следва от определението на точката \(M\) ). Така получаваме \(|A M-C M| \leq A C \lt A M+C M\) (фиг. 10). След заместване на равенствата (6) имаме \(\left|\tfrac{a d}{2 l_{3}}-\tfrac{b c}{2 l_{3}}\right| \leq m \lt \tfrac{a d}{2 l_{3}}+\tfrac{b c}{2 l_{3}}\) или \(\tfrac{|a d-b c|}{m} \leq 2 l_{3} \lt \tfrac{a d+b c}{m}\). Сега от равенството \(l_{3}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right)\), което беше отбелязано по-горе, получаваме неравенството (12).

Забележка 3. Лявото от неравенства (12) представлява усилване на известното неравенство в четириъгълника \(m^{2}+n^{2} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\).

Забележка 4. Равенството в (12) се достига при условие, че \(∢ A B C=∢ A D C\) (виж Haimov, 2007).

Забележка 5. Неравенства (12) остават в сила и ако в тях се извърши коя да е от замените: \(m \leftrightarrow n\) и \(a \leftrightarrow c ; a \leftrightarrow m\) и \(c \leftrightarrow n ; d \leftrightarrow n\) и \(b \leftrightarrow m\). Доказателствата на получените при тези замени неравенства се получават, като приложим неравенството на триъгълника съответно към тройките точки \(B, D\) и \(M ; A, B\) и \(K_{2}\); \(B, C\) и \(K_{1}\).

Свойство 20. Страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\) са свързани с неравенствата:

Доказателство. Към тройката точки \(K_{1}, E_{1}\) и \(F\) прилагаме неравенството на триъгълника и получаваме \(\left|K_{1} E_{1}-F E_{1}\right| \leq K_{1} F \leq K_{1} E_{1}+F E_{1}\) (фиг. 11). От равенствата (2) и (4) следва \(\left|\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}-\tfrac{d}{2}\right| \leq \tfrac{n l_{3}}{2 l_{1}} \leq \tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}+\tfrac{d}{2}\) или \(\left|a l_{2}-d l_{1}\right| \leq n l_{3} \leq a l_{2}+d l_{1}\). Като заместим с равенствата \(l_{1}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right), \quad l_{2}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right) \quad\) и \(l_{3}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right)\), получаваме неравенствата (13).

Забележка 6. Неравенства (13) остават в сила и ако в тях се извърши една от замените: \(m \leftrightarrow n\) и \(b \leftrightarrow d ; c \leftrightarrow a\) и \(b \leftrightarrow d ; m \leftrightarrow n\) и \(a \leftrightarrow c ; a \leftrightarrow b\) и \(c \leftrightarrow d\). Доказателствата на получените по този начин неравенства се извършват, като неравенството на триъгълника се приложи съответно към т точки \(K_{1}, E_{1}\) и \(D ; K_{1}, A\) и \(E_{3} ; K_{1}, B\) и \(E_{3} ; A, K_{2}\) и \(E_{2}\).

По подобен начин се доказват и неравенствата:

\[ \begin{gathered} \left|a c\left(m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)-b d\left(m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)\right| \leq \\ \leq m n\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right) \leq \\ \leq a c\left(m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)+b d\left(m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right) \\ \left|b \sqrt{m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}-\sqrt{\left(2 a^{2}+2 m^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right)}\right| \leq \\ \leq 2 a d \leq \\ \leq b \sqrt{m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}+\sqrt{\left(2 a^{2}+2 m^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right)} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \left\lvert\, \begin{array}{c} a^{2}+\left.\tfrac{\left(2 c m-a \sqrt{b^{2}+d^{2}+m^{2}+n^{2}-a^{2}-c^{2}}\right)^{2}}{a^{2}+c^{2}+m^{2}+n^{2}-b^{2}-d^{2}}\right|^{2} \leq \\ \leq 2 m^{2}+2 b^{2} \leq \\ \leq a^{2}+\tfrac{\left(2 c m+\sqrt{b^{2}+d^{2}+m^{2}+n^{2}-a^{2}-c^{2}}\right)^{2}}{a^{2}+c^{2}+m^{2}+n^{2}-b^{2}-d^{2}} \end{array} .\right. \end{gathered} \] Ще докажем още две неравенства в произволен четириъгълник, които се получават с помощта на неравенството на инерционния момент.

Свойство 21. Страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\) са свързани с неравенството:

(14)\[ a^{2}+c^{2}+m^{2}+n^{2} \leq b^{2}+d^{2}+\tfrac{3\left(a^{2} m^{2}+a^{2} n^{2}+n^{2} c^{2}\right)}{a^{2}+d^{2}+n^{2}} \]

Доказателство. Прилагаме неравенството на инерционния момент към точката \(K_{1}\) в \(\triangle A B D\) и получаваме \(A K_{1}^{2}+B K_{1}^{2}+D K_{1}^{2} \geq \tfrac{1}{3}\left(A B^{2}+A D^{2}+B D^{2}\right)\) (фиг. 12). След заместване с помощта на равенствата (1) получаваме: \(\tfrac{a^{2} m^{2}}{4 l_{1}^{2}}+\tfrac{a^{2} n^{2}}{4 l_{1}^{2}}+\tfrac{c^{2} n^{2}}{4 l_{1}^{2}} \geq \tfrac{1}{3}\left(a^{2}+d^{2}+n^{2}\right)\). Оттук, като вземем предвид равенството, което свързва \(l_{1}\) със страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\), получаваме \((14)\) .

Свойство 22. Страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\) са свързани с неравенството:

(15) \(m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2} \leq a^{2}+c^{2}+\cfrac{15 d^{2} m^{2}+12 b^{2} n^{2}+3 m^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-m^{2}-n^{2}\right)}{6 a^{2}+2 b^{2}}\)

Доказателство. Прилагаме неравенството на инерционния момент към точката \(K_{2}\) в \(\triangle A E B\) и получаваме \(A K_{2}^{2}+B K_{2}^{2}+E K_{2}^{2} \geq \tfrac{1}{3}\left(A B^{2}+A E^{2}+B E^{2}\right)\) (фиг. 13). От равенствата (1) , ( 4) и \(B E=-\sqrt{2 a^{2}+2 b^{2}-m^{2}}\) (като медиана в \(\triangle A B C\) ) следва \(3\left(\tfrac{d^{2} m^{2}}{4 l_{2}^{2}}+\tfrac{b^{2} n^{2}}{4 l_{2}^{2}}+\tfrac{m^{2} l_{3}^{2}}{4 l_{2}^{2}}\right) \geq a^{2}+\tfrac{m^{2}}{4}+\tfrac{1}{4}\left(2 a^{2}+2 b^{2}-m^{2}\right)\). Оттук, като вземем предвид равенствата, които свързват \(l_{2}\) и \(l_{3}\) със страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\), получаваме \((15)\) .

По аналогичен начин се доказват и неравенствата:

\[ \begin{gathered} 3\left(d^{2} m^{2}+b^{2} n^{2}\right)\left(m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)+3 m^{2} n^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right) \geq \\ \geq a^{2}\left(m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)\left(2 m^{2}+2 n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right), \\ 12\left(l_{1}^{4}+l_{1}^{2} l_{2}^{2}+l_{2}^{4}\right) \geq m^{2}\left(6 n^{2}+2 m^{2}\right), \\ 3\left(l_{2}^{4} l_{3}^{4}+l_{3}^{4} l_{1}^{4}+l_{1}^{4} l_{2}^{4}\right) \geq m^{2} n^{2} l_{3}^{4}+a^{2} c^{2} l_{2}^{4}+b^{2} d^{2} l_{1}^{4} \\ 3\left(a^{2} l_{2}^{2}+c^{2} l_{2}^{2}+n^{2} l_{3}^{2}\right) \geq l_{1}^{2}\left(4 l_{2}^{2}+b^{2}+d^{2}\right) . \end{gathered} \]

4. Колинеарни точки в някои специални четириъгълници. С помощта на формулите (1) – (10) се установява лесно и колинеарността на точки в четириъгълници с определени свойства.

Свойство 23. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, центърът на тежестта \(G\) на който лежи върху Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\). Следните шест тройки точки са колинеарни: \(\left(K_{1}, K_{2}, B\right),\left(K_{1}, E, E_{1}\right),\left(E, K_{2}, E_{2}\right)\), \(\left(K_{1}, C, M\right),\left(A, K_{2} M\right),\left(E_{1}, E_{2}, M\right)\) ( (фиг. 14).

Доказателство. Първо ще докажем, че в разглеждания четириъгълник \(A B C D\) е изпълнена зависимостта:

(16)\[ a l_{2}=m l_{3}+b l_{1} . \]

Центърът на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\) по условие лежи на Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\) (фиг. 14). Последната е определена от точките \(E_{1}, E_{2}\) и \(E\). От теоремата на Птоломей за четириъгълника \(E G E_{2} E_{1}\) имаме: \(E_{1} G \cdot E E_{2}=E_{1} E_{2} \cdot E G+E E_{1} \cdot G E_{2}\).EE2 = E1E2.EG + EE1.GE2 . Тъй като \(E_{1} G=\tfrac{l_{2}}{2}, E E_{2}=\tfrac{a}{2}, E_{1} E_{2}=\tfrac{m}{2}\), \(E G=\tfrac{l_{3}}{2}, E E_{1}=\tfrac{b}{2}\) и \(G E_{2}=\tfrac{l_{1}}{2}\), , последното равенство преминава в (16) .

За да докажем, че точките \(K_{1}, K_{2}\) и \(B\) лежат на една права, е достатъчно\(K_{2} B=\tfrac{b n}{2 l_{2}}\) да докажем,и \(K_{1} B=\tfrac{a n}{2 l_{1}}\) че \(K_{1} K_{2}+K_{2} B=K_{1} B\). Затова после. Отднот ( 5о) и равенство (1) имаме е \(K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}\) равносилно с , \(\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}+\tfrac{b n}{2 l_{2}}=\tfrac{a n}{2 l_{1}}\). Оттук получаваме (16) . Така доказахме колинеарността на точките \(K_{1}, K_{2}\) и \(B\).

Аналогично колинеарността на точките \(K_{1}, E\) и \(E_{1}\) се свежда до равенството \(K_{1} E+E E_{1}=K_{1} E_{1}\), което отново води до равенство (16) .

Аналогично се доказва колинеарността и на останалите тройки точки.

Свойство 24. Ако в четириъгълника \(A B C D\) диагоналът \(B D\) разполовява диагонала \(A C\) и \(l_{1}^{2}=n l_{3}\), точките \(E_{3}, K_{1}\) и \(E_{2}\) са колинеарни.

Доказателство. От свойства 1 и 8 имаме съответно \(\Delta A K_{1} C \sim \Delta B K_{1} D\) и \(\Delta A C K_{1} \sim \Delta E_{2} E_{4} E\) (фиг. 15). Следователно \(\Delta B K_{1} D \sim \Delta E_{2} E E_{4}\). Понеже \(K_{1} F\) и \(E G\) са съответни медиани в тези триъгълници, а \(K_{1} D\) и \(E E_{4}\)– съответни

страни, то \(\triangle D F K_{1} \sim \Delta E_{4} G E\), откъдето

(*)\(∢ D F K_{1}=∢ E_{4} G E\).

Средата \(E\) на диагонала \(A C\) лежи на диагонала \(B D\) (по условие) и \(G\) е средата на отсечката \(E F\). Тъй като \(F\) е средата на диагонала \(B D\), то и \(G\) лежи на \(B D\). От друга страна, \(E_{1} E_{4} \| B D\) (средна отсечка) и затова \(E_{1} E_{4} \| G E\). Оттук \(∢ E_{4} G E=∢ G E_{4} E_{1}\). От последното равенство и \((*)\) следва \(∢ D F K_{1}=∢ E_{4} G E=∢ G E_{4} E_{1}\), т.е.

\((* *) \quad ∢ D F K_{1}=∢ G E_{4} E_{1}\).

От свойства 1 и 2 от друга страна имаме \(\Delta D K_{1} C \sim \Delta B K_{1} A \sim \Delta E_{2} E_{3} E_{4} \cong \Delta E_{4} E_{1} E_{2}, \quad\) T.e. \(\quad \Delta D K_{1} C \sim \Delta E_{4} E_{1} E_{2}\). Oт тук \(∢ K_{1} D C=∢ E_{1} E_{4} E_{2}\), т.е. \(∢ K_{1} D E_{3}=∢ G E_{4} E_{1}\). От (**) и последното равенство получаваме \(∢ D F K_{1}=∢ G E_{4} E_{1}=∢ K_{1} D E_{3}\). Сега ще докажем, че \(\Delta D F K_{1} \sim \Delta K_{1} D E_{3}\). От току-що полученото равенство следва, че за това е достатъчно да докажем пропорцията \(\tfrac{F K_{1}}{F D}=\tfrac{D E_{3}}{D K_{1}}\). Понежепропорция \(F K_{1}=\tfrac{n l_{3}}{2 l_{1}}\) е еквивалентна(от (4)), \(D K_{1}=\tfrac{n c}{2 l_{1}}\) (от (1) ), \(F D=\tfrac{n}{2}\) и \(D E_{3}=\tfrac{c}{2}\)то \(l_{1}^{2}=n l_{3}\), което е изпълнено с равенствот условие.о \(\tfrac{n l_{3}}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2}{n}=\tfrac{c}{2} \cdot \tfrac{2 l_{1}}{n c}\) Следователно \(\triangle D F K_{1} \sim \Delta K_{1} D E_{3}\), т.е. с равенство, то тази , откъдето получаваме \(∢ F D K_{1}=∢ D K_{1} E_{3}\). Затова \(E_{3} K_{1} \| D B\). Освен това \(E_{3} E_{2} \| D B\) (средна отсечка). Оттук можем да заключим, че точките \(E_{3}, K_{1}\) и \(E_{2}\) са колинеарни.

Свойство 25. Ако в четириъгълник \(A B C D\) с пресечна точка на диагоналите \(T\) и са изпълнени равенствата \(\tfrac{m}{n}=\sqrt{\tfrac{c}{a}} u \quad ∢ A B D+∢ D C A=∢ A T B\), точките \(K_{1}, T\) и \(E_{4}\) са колинеарни.

Доказателство. Означаваме пресечната точка на правите \(T K_{1}\) и \(A D\) с \(P\) (фиг. 16). За да докажем, че точките \(K_{1}, T\) и \(E_{4}\) са колинеарни, е достатъчно да докажем, че \(P \equiv E_{4}\). Първо ще докажем, че \(\Delta A K_{1} D \sim \Delta B K_{1} A\). С помощта на формули (1) получаваме \(\tfrac{D K_{1}}{A K_{1}}=\tfrac{n c}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2 l_{1}}{m a}=\tfrac{n c}{m a}\). Но по условие \(\tfrac{c}{a}=\tfrac{m^{2}}{n^{2}}\), затова \(\tfrac{D K_{1}}{A K_{1}}=\tfrac{m}{n}\). Същевременно с помощта на (1) по-лучаваме \(\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}=\tfrac{m a}{l_{1}} \cdot \tfrac{2 l_{1}}{n a}=\tfrac{m}{n}\). Като сравним десните части на получените равенства, установяваме пропорцията \(\tfrac{D K_{1}}{A K_{1}}=\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}\). От друга страна, \(K_{1}\) е втората обща точка на описаните окръжности \(c_{1}\) и \(c_{2}\) съответно за \(\triangle A B T\) и \(\triangle C D T\) (по дефиниция), затова четириъгълниците \(A K_{1} T B\) и \(D K_{1} T C\) са вписани. Оттук имаме \(∢ A K_{1} P=∢ A B T\) и \(∢ D K_{1} P=∢ D C T\). Тогава \(\quad ∢ A K_{1} D=∢ A K_{1} P+∢ D K_{1} P=∢ A B T+∢ D C T\). Но по условие \(\quad ∢ A B T+∢ D C T=∢ A B D+∢ D C A=∢ A T B, \quad\) следователно \(\quad ∢ A K_{1} D=∢ A B T+∢ D C T=∢ A T B\). Като вземем предвид, че \(∢ A T B=∢ B K_{1} A\) (вписани ъгли), получаваме \(∢ A K_{1} D=∢ B K_{1} A\). Оттук и доказаната пропорция \(\tfrac{D K_{1}}{A K_{1}}=\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}\) следва \(\Delta A K_{1} D \sim \Delta B K_{1} A\). От това подобие имаме \(∢ D A K_{1}=∢ A B K_{1}\). По теоремата за вписан и периферен ъгъл от последното равенство следва, че правата \(A D\) се допира до описаната около \(\triangle A B K_{1}\) окръжност \(c_{1}\). Тогава \(P A^{2}=P K_{1} \cdot P T\) (от свойството на секущите и допирателната). От \(\triangle A K_{1} D \sim \Delta B K_{1} A\) имаме още, че \(∢ A D K_{1}=∢ B A K_{1}\). Освен това \(∢ B A K_{1}=∢ D T K_{1}\) (от вписания четириъгълник \(A B T K_{1}\) ). Следователно \(∢ A D K_{1}=∢ D T K_{1}\). Оттук можем да заключим, че правата \(A D\) се допира и до описаната около \(\Delta D K_{1} T\) окръжност \(c_{2}\). Така получаваме \(P D^{2}=P K_{1} P T\). Като сравним това равенство с полученото по-горе \(P A^{2}=P K_{1} \cdot P T\), получаваме \(P A=P D\). Следователно \(P\) е средата на \(A D\), т.е. \(P \equiv E_{4}\). С това е доказано, че точките \(K_{1}, T\) и \(E_{4}\) са колинеарни.

Накрая ще докажем едно интересно свойство на центъра на тежестта на вписания в окръжност четириъгълник. Ще използуваме следащото свойство на брокарианите и точката на Микел, доказано в (Haimov, 2001).

Свойство 26. Ако четириъгълникът \(A B C D\) е вписан в окръжност с център \(O\) и продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а продълженията на страните \(A B\) и \(D C\)– в точка \(V\), то \(\Delta K_{1} K_{2} M\) е ортоцентричният триъгълник за \(\Delta U O V\) (фиг. 17).

От това свойство, в частност, следва, че описаната около \(\Delta K_{1} K_{2} M\) окръжност е Ойлеровата окръжност за \(\Delta U O V\).

Свойство 27. Ако четириъгълникът \(A B C D\) е вписан в окръжност с център \(O\) и продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а продълженията на страните \(A B\) и \(D C\)– в точка \(V\), то центърът на тежестта \(G\) за \(A B C D\) лежи върху Ойлеровата окръжност на \(\Delta U O V\) (фиг. 17).

Доказателство. За да докажем, че точката \(G\) лежи върху Ойлеровата окръжност на \(\Delta U O V\), т.е. на описаната около \(\Delta K_{1} K_{2} M\) окръжност, то според обобщената теорема на Птоломей е достатъчно да докажем равенството:

(17) \(\quad G M \cdot K_{1} K_{2}=G K_{1} \cdot M K_{2}+G K_{2} \cdot M K_{1}\).

От свойства (3), (5), (8) и (10) следва, че (17) е еквивалентно с \(\tfrac{l_{1} l_{2}}{2 l_{3}} \cdot \tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}=\tfrac{l_{2} l_{3}}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{b d l_{1}}{2 l_{2} l_{3}}+\tfrac{l_{1} l_{3}}{2 l_{2}} \cdot \tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}\). Последното е равносилно с равенството \(m n=b d+a c\). Но това равенство е изпълнено, защото четириъгълникът \(A B C D\) е вписан в окръжност. Следователно е изпълнено и равенство (17). Така доказахме, че центърът на тежестта \(G\) на \(A B C D\) лежи върху Ойлеровата окръжност на \(\triangle U O V\).

ЛИТЕРАТУРА

Хаимов, Х. (2001). Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6, 17 – 23.

Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълник, Математика, 5, 15 – 21.

Ненков, В., Ст. Стефанов & Х. Хаимов (2017). Геометрия на четириъгълника, точка на Микел, инверсна изогоналност, Математика \(u\) информатика, \(1,81-93\).

Хаимов, Х (2007). Едно неравенство в четириъгълника, Математика, 6, 10 – 11.

Стефанов, С. (2017). Втори псевдоцентър на четириъгълник, Математика и информатика, 3, 252 – 261.

Ненков, В. & С. Стефанов. (2018). Екстремални свойства на две забележителни точки в изпъкнал четириъгълник, Годишник на Шуменския университет „Епископ Константин Преславски“, Шумен, \(27-36\), ISSN 1311-834X.

Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE.

Karaibryamov, S., B. Tsareva & B. Zlatanov (2013). Optimization of the Courses in Geometry by the Usage of Dynamic Geometry Software Sam, The Electronic Journal of Mathematics and Technology, Volume 7, Number 1, 22 – 51, ISSN 1933-2823.

Zlatanov, B. (2013). Some Properties of Reflection of Quadrangle about Point, Annals. Computer Science Series, 11, (1), 79 – 91.

Zlatanov, B. (2014). An Etude on one Sharygin’s Problem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 3, (2), 50 – 61.

Георгиева, М., С. Гроздев (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.). София: Изток-Запад. ISBN 987-619-152-869-1

REFERENCES

Haimov, H. (2001). Brocardians – notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 6, 17 – 23.

Haimov, H. (2005). Brocardians of the quadrilateral, Mathematics, 5, 15 – 21.

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2017). Geometry of quadrilateral, Miquel point, Inverse isogonality, Mathematics and Informatics, 1, 81 – 93.

Stefanov, S. (2017). Second pseudo center of quadrilateral, Mathematics and Informatics, 3, 261 – 270.

Nenkov, V. & S. Stefanov. (2018). Extremal properties of two notable points in a convex quadrilateral, Year Book of Shumen University, Shumen, 27 – 36, ISSN 1311-834X.

Sergeeva, T., M. Shabanova & S. Grozdev (2014). Foundation of dynamic geometry. Moscow: ASOU.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE.

Karaibryamov, S., B. Tsareva & B. Zlatanov (2013). Optimization of the Courses in Geometry by the Usage of Dynamic Geometry Software Sam, The Electronic Journal of Mathematics and Technology, Volume 7, Number 1, 22 – 51, ISSN 1933-2823.

Zlatanov, B. (2013). Some Properties of Reflection of Quadrangle about Point, Annals. Computer Science Series, 11, (1), 79 – 91.

Zlatanov, B. (2014). An Etude on one Sharygin’s Problem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 3, (2), 50 – 61.

Georgieva, M. & S. Grozdev. (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (4 \({ }^{\text {th }}\) ed.), Sofia: Iztok-Zapad, ISBN 987-619-152-869-1, 327 pages.