Abstract. New geometric connections between different notable points in the quadrilateral are considered in the paper. It is proved that the lines, determined by three pairs of notable points are concurrent. Also, connections between notable points in the quadrilateral, generated by the transformations isogonal conjugate and complement are discussed.

Keywords: quadrilateral; notable point; line; isogonal conjugate; complement

В статията (Nenkov & Stefanov, 2018) бяха разгледани редица геометрични връзки между различни забележителни точки в произволен изпъкнал четириъгълник. Към тях тук ще добавим нови. Една от тези връзки се заключава в това, че три прави, определени от три двойки забележителни точки, са конкурентни. Други са свързани с изображенията изогонална спрегнатост и допълнение в триъгълника. Преди да изложим въпросните връзки, ще припомним дефинициите на забележителните точки, които те касаят, и ще приведем тези от свойствата им, които ще използваме при доказателствата на тези връзки.

I. Дефиниции и свойства на забележителни точки в четириъгълника 1. Брокариани \(K_{1}\) и \(K_{2}\) на четириъгълник. Нека \(T\) е пресечната точка на диагоналите \(A C\) и \(B D\) на четириъгълника \(A B C D\). Брокариана \(K_{1}\), съответна на страните \(A B\) и \(C D\), се нарича втората обща точка на описаните окръжности около \(\triangle A B T\) и \(\triangle C D T\) (фиг. 1). Аналогично се дефинира и брокарианата \(K_{2}\), съответна на страните \(A D\) и \(B C\) (фиг. 1).

Да отбележим, че брокарианите на четириъгълника са аналози на точките на Брокар в триъгълника.

2. Псевдоцентър \(\boldsymbol{O}\) и ортоцентър \(\boldsymbol{H}\) на четириъгълник. Н Нека в изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) радиусите на описаните около триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) окръжности са съответно \(R_{A B C}, R_{B C D}, R_{C D A}\) и \(R_{D A B}\) (фиг. 2). Доказва се, че в равнината на \(A B C D\) съществува единствена точка \(O\), за разстоянията от която до върховете му са изпълнени равенствата \(A O \cdot R_{B C D}=B O \cdot R_{C D A}=C O \cdot R_{D A B}=D O \cdot R_{A B C}\).RBCD = BO.RCDA = CO.R DAB = DO.R ABC . Тя се нарича псевдоцентър, или още първи псевдоцентър на четириъгълника \(A B C D\).

Едно основно свойство на псевдоцентъра на четириъгълника се състои в това, че ортогоналните му проекции върху правите, определени от страните, са върхове на успоредник (фиг. 2). Доказва се, че правите през върховете на този успоредник, перпендикулярни на срещуположните страни, се пресичат в една точка \(H\). Тя се нарича ортоцентър на четириъгълника.

Да отбележим, че псевдоцентърът и ортоцентърът на изпъкналия четириъгълник са обобщения съответно на центъра на описаната окръжност и ортоцентъра на вписания четириъгълник.

3. Втори псевдоцентър \(\boldsymbol{O}_{1}\) на четириъгълник. Освен псевдоцентъра друго обобщение на центъра на описаната окръжност на вписания четириъгълник за произволен изпъкнал четириъгълник е вторият му псевдоцентър \(O_{1}\). Ако \(E_{1}\) и \(E_{4}\) са средите съответно на страните \(A B\) и \(A D\) на четириъгълника \(A B C D\), а \(E\) е средата на диагонала му \(A C\), окръжността (\(c 1\) ), определена от точките \(E_{1}, E\) и \(E_{4}\), , се нарича окръжност на Хапач, съответна на върха \(A\). Аналогично се дефинират окръжностите на Хапач, съответни на другите му върхове. Доказва се, че четирите окръжности на Хапач в произволен изпъкнал четириъгълник се пресичат в една точка. Тя се нарича втори псевдоцентър на \(A B C D\) (фиг. 3).

4. Точка на Лемоан на четириъгълник. Нека \(h_{1}, h_{2}, h_{3}\) и \(h_{4}\) са разстоянията от произволна точка в равнината на четириъгълник \(A B C D\) съответно до правите, определени от страните му \(A B, B C, C D\) и \(D A\) (фиг. 4). Доказва се, че във вътрешността на \(A B C D\) съществува единствена точка \(L\), за която \(\tfrac{h_{1}}{h_{3}}=\tfrac{A B}{C D}\) и \(\tfrac{h_{2}}{h_{4}}=\tfrac{B C}{D A}\). Тя се нарича точка на Лемоан на \(A B C D\).

Да отбележим, че точката на Лемоан на изпъкнал четириъгълник е аналог на точката на Лемоан в триъгълника.

5. Точка на Микел \(\boldsymbol{M}\) на четириъгълник. Нека в изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) правите \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а правите \(A B\) и \(D C\)– в точка \(V\). Доказва се, че описаните около триъгълниците \(A B U\), \(B C V, C D U\) и \(D A V\) окръжности имат обща точка \(M\). Тя се нарича точка на Микел на \(A B C D\) (фиг. 5).

6. Инцентър \(J\) на четириъгълник. Доказва се, че в изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) съществува единствена точка \(J\), за която са изпълнени равенствата: \(∢ J A D+∢ J C D=\tfrac{1}{2}(∢ A+∢ C)\) и \(∢ J B A+∢ J D A=\tfrac{1}{2}(∢ B+∢ D)\). Тя се нарича инцентър на \(A B C D\) (фиг. 6).

Да отбележим, че инцентърът на изпъкнал четириъгълник е обобщение на центъра на вписаната окръжност на описания четириъгълник.

Тук ще използваме следните свойства на така дефинираните забележителни точки в четириъгълника.

(I.1). Ако псевдоцентърът O лежи във вътрешността на четириъгълника \(A B C D\), то са изпълнени равенствата: \(∢ A O B=∢ A D B+∢ A C B\), \(∢ B O C=∢ B A C+∢ B D C, ∢ C O D=∢ C A D+∢ C B D u ∢ D O A=∢ D B A+∢ D C A\) (фиг. 2).

(I.2). Вторият псевдоц ентър \(O_{1}\) е симетричен на ортоцентъра \(H\) спрямо центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника.

(I.3). Ако M е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 5), то са изпълнени равенствата \(A M . C M=B M . D M=U M . V M=r^{2}\). Числото \(r^{2}\) се нарича константа на Микел за \(A B C D\).

(I.4). Ако M е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\), то ъглите \(A M C, B M D\) и \(U M V\) имат обща ъглополовяща \(m\). Тя се нарича ос на Микел за \(A B C D\) (фиг. 5).

С точката на Микел на четириъгълника е свързано едно изображение в равнината, наречено инверсна симетрия, свойствата на което играят важна роля при доказателствата на почти всички твърдения в настоящата статия. Нека в равнината са дадени точка \(M\), права \(m\) през \(M\) и положително число \(r^{2}\) (фиг. 7). Композицията от симетрията \(g\) спрямо правата \(m\) и инверсията \(I\) с полюс \(M\) и степен \(r^{2}\) се нарича инверсна симетрия с полюс \(M\), ос \(m u\) cmenet \(r^{2}\) и се бележи с \(\operatorname{Ig}\left(M ; m ; r^{2}\right)\) или само с \(\operatorname{Ig}\). Инверсната симетрия се характеризира със следните свойства.

(I.5). Ако \(A\) и \(B\) са две точки в равнината, нележащи на една права с полюса M на инверсната симетрия \(\operatorname{Ig}\), и \(\operatorname{Ig}(A)=C, \operatorname{Ig}(B)=D\), то M е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 8).

(I.6). Ако \(X_{1}\) е образът на точката \(X\) при инверсната симетрия \(\operatorname{Ig}\left(M ; m: r^{2}\right)\), то лъчът \(M X_{1}\) е симетричен на лъча \(M X \rightarrow\) спрямо оста \(m\) и е изпълнено равенството \(M X_{1} . M X=r^{2}\) (фиг. 7).

(I.7). Ако \(A\) и \(B\) са две точки в равнината, нележащи на една права с полюса \(M\) на инверсната симетрия \(\operatorname{Ig}\), и \(\operatorname{Ig}(A)=C\), \(\operatorname{Ig}(B)=D\), то \(\triangle D C M \sim \triangle A B M\) (фиг. 8).

(I.8). Ако \(A\) и \(B\) са две точки в равнината, различни от полюса \(M\) на инверсната симетрия \(\operatorname{Ig}\left(M, m, r^{2}\right), u \operatorname{Ig}(A)=C, \operatorname{Ig}(B)=D\), , то \(C D=\tfrac{A B \cdot r^{2}}{M A \cdot M B}\) (фиг. 8).

Нека \(M\) е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D, m\) е оста му на Микел и \(r^{2}\) е константата му на Микел. Инверсната симетрия \(\operatorname{Ig}\left(M, m, r^{2}\right)\) се нарича инверсна изогоналност спрямо \(A B C D\) и се бележи с \(\operatorname{Ig}\left(M ; r^{2}\right)\).

Тук ще използуваме следните свойства на инверсната изогоналност \(\operatorname{Ig}\left(M, r^{2}\right)\).

(I.9). При \(\operatorname{Ig}\left(M, r^{2}\right)\) брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) се и изобразяват една в друга, m.e. \(\operatorname{Ig}\left(K_{1}\right)=K_{2} u \operatorname{Ig}\left(K_{2}\right)=K_{1}\).

(I.10). При \(\operatorname{Ig}\left(M ; r^{2}\right)\) първият псевдоцентър \(O\) се изобразява в пресечната точка на \(T\) на диагоналите, т.е. \(\operatorname{Ig}(O)=T u \operatorname{Ig}(T)=O\).

(I.11). При \(\operatorname{Ig}\left(M ; r^{2}\right)\) вторият псевдоцентъ \(O_{1}\) се изобразява в точката \(L\) на Лемоан, т.е. \(\operatorname{Ig}\left(O_{1}\right)=L\) и \(\operatorname{Ig}(L)=O_{1}\).

(I.12). Инцентърът I е нтърьт \(I\) е двойна точка на инверсната изогоналност \(\operatorname{Ig}\left(M ; r^{2}\right)\).

Ще използваме и следните, вече доказани, връзки между разглежданите забележителни точки в четириъгълника.

(I.13). Първият псевдоцентър \(O\), точката на Лемоан \(L\) и брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) лежат на една окръжност – окръжността на Лемоан.

(I.14). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\), пресечната точка \(T\) на диагоналите \(u\) брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) лежат на една окръжност – Брокаровата окръжност.

(I.15). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\), пресечната точка \(T\) на диагоналите \(u\) точката на Микел M лежат на една права – права на Микел.

(I.16). Първият псевдоцентър O, точката на Лемоан \(L\) и точката на Микел M лежат на една права – права на Лемоан – образ на правата на Микел при инверсна изогоналност \(\operatorname{Ig}\left(M ; r^{2}\right)\).

(I.17). Правата, определена от двата псевдоцентъра \(O\) и \(O_{1}\), е успоредна на правата, определена от точката на Лемоан \(L\) и пресечната точка \(T\) на диагоналите.

II. Нови връзки между забележителни точки в четириъгълника

1. Конкурентност на три прави, определени от три двойки забележителни точки. Ще докажем, че правите, определени от следните три двойки забележителни точки: \((O, T),\left(O_{1}, L\right)\) и \(\left(K_{1}, K_{2}\right)\), са конкурентни.

Теорема 1. Нека \(A B C D\) е четириъгълник с пресечна точка на диагоналите \(T\), който не е вписан в окръжност и не е успоредник. Ако точките \(O, O_{1}, L, K_{1} u K_{2}\) са съответно първи псевдоцентър, втори псевдоцентър, точка на Лемоан, първа брокариана и втора брокариана и втора брокариана на \(A B C D\), правите \(L O_{1}\), TO и \(K_{1} K_{2}\) минават през една точка (фиг. 9).

Доказателство. Означаваме точката, в която правата \(K_{1} K_{2}\) пресича правата \(O T\), с \(S_{1}\), а точката, в която правата \(L O_{1}\) пресича правата \(O T\)– с \(S_{2}\) (фиг. 9). Достатъчно е да докажем, че \(S_{2} \equiv S_{1}\). Понеже \(L T \| O O_{1}\) (от свойство (I.17), имаме: \(\tfrac{O S_{2}}{T S_{2}}=\tfrac{O O_{1}}{T L}\). Ще докажем, че \(∢ O_{1} K_{1} T=∢ O K_{2} L\). Означаваме с \(M\) точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) и с \(I \circ g\left(M, r^{2}\right)\) - инверсната изогоналност спрямо него. Понеже \(I \circ g\left(O_{1}\right)=L\) (от свойство (I.11)) и \(I \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (от свойство (I.9), то \(\Delta O_{1} K_{1} M \sim \Delta K_{2} L M\) (от свойство \((I .7))\). Тогава \(∢ O_{1} K_{1} M=∢ K_{2} L M\). Понеже, от друга страна, \(I \circ g(T)=O\) (от свойство (I.10)) и \(I \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (от свойство (I.9)), то аналогично \(\Delta T K_{1} M \sim \Delta K_{2} O M\), откъдето \(∢ T K_{1} M=∢ K_{2} O M\). Като използуваме последните две равенства, получаваме:

(II.1) \[ ∢ O_{1} K_{1} T=∢ O_{1} K_{1} M-∢ T K_{1} M=∢ K_{2} L M-∢ K_{2} O M=∢ O K_{2} L . \]

Така доказахме, че \(∢ O_{1} K_{1} T=∢ O K_{2} L\). Точките \(O, K_{2}, K_{1}\) и \(L\) лежат на една окръжност ( \(c_{1}\) ) - Лемоановата окръжност на четириъгълника \(A B C D\) (от свойство (I.13)), и точките \(O_{1}, K_{2}, K_{1}\) и \(T\) също лежат на една окръжност \(\left(c_{2}\right)\) - Брокаровата окръжност на \(A B C D\) (от свойство (I.14)). Означаваме радиусите на окръжностите ( \(c_{1}\) ) и ( \(c_{2}\) ) съответно с \(R_{1}\) и \(R_{2}\). От синусовата теорема имаме \(R_{1}=\tfrac{O L}{2 \sin O K_{2} L}\) и \(R_{2}=\tfrac{T O_{1}}{2 \sin O_{1} K_{1} T}\). Понеже от (II.1) следва, че \(\sin ∢ O_{1} K_{1} T=\sin ∢ O K_{2} L\), то

(II.2) \[ \tfrac{R_{2}}{R_{1}}=\tfrac{T O_{1} \sin O K_{2} L}{\sin O_{1} K_{1} T \cdot O L}=\tfrac{T O_{1}}{O L} . \]

Означаваме \(∢ K_{1} O K_{2}=\alpha\) и \(∢ K_{1} T K_{2}=\beta\). От синусовата теорема имаме \(\sin \alpha=\tfrac{K_{1} K_{2}}{2 R_{1}}\) и \(\sin \beta=\tfrac{K_{1} K_{2}}{2 R_{2}}\). Оттук и от равенство (II.2) получаваме:

(II.3) \[ \tfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\tfrac{R_{2}}{R_{1}}=\tfrac{T O_{1}}{O L} . \]

От друга страна, понеже \(I \circ g(O)=T\) и \(I \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (от свойства (I.9)) и (I.10)), от свойство (I.8)) получаваме \(O K_{1}=T K_{2} \tfrac{r^{2}}{M T . M K_{2}}\), а понеже \(I \circ g(T)=O\) и \(I \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (от свойства(I.9)) и (I.10)), пак от свойство (I.8)), имаме: \(T K_{1}=O K_{2} \tfrac{r^{2}}{M O . M K_{2}}\). Оттук чрез почленно деление получаваме равенството

(II.4)\[ \tfrac{O K_{1}}{T K_{1}} \cdot \tfrac{O K_{2}}{T K_{2}}=\tfrac{M O}{M T} . \]

Аналогично, понеже \(I \circ g(O)=T\) и \(I \circ g(L)=O_{1} \quad\) (от свойства (I.10) и (I.11)), от свойство (I.8)) имаме \(O L=T O_{1} \tfrac{r^{2}}{M T \cdot M O_{1}}\) и \(T L=O O_{1} \tfrac{r^{2}}{M O \cdot M O_{1}}\), откъдето след почленно деление получаваме

(II.5) \[ \tfrac{O L}{T L} \cdot \tfrac{O O_{1}}{T O_{1}}=\tfrac{M O}{M T} \]

Като сравним десните части на равенства (II.4) и (II.5), получаваме

С помощта на равенства (II.3) и (II.6) определяме:

\[ \tfrac{O S_{1}}{T S_{1}}=\tfrac{S_{O K_{1} K_{2}}}{S_{T K_{1} K_{2}}}=\tfrac{O K_{1} \cdot O K_{2} \sin \alpha}{T K_{1} \cdot T K_{2} \sin \beta}=\tfrac{O L \cdot O O_{1}}{T L \cdot T O_{1}} \cdot \tfrac{T O_{1}}{O L}=\tfrac{O O_{1}}{T L} . \]

Така доказахме, че \(\tfrac{O S_{1}}{T S_{1}}=\tfrac{O O_{1}}{T L}\), откъдето и от \(\tfrac{O S_{2}}{T S_{2}}=\tfrac{O O_{1}}{T L}\) (по доказаното по-горе) и следва, че \(S_{1} \equiv S_{2}\). С това теоремата е доказана.

Ще се спрем на едно интересно следствие от доказаната теорема.

Следствие. Четириъгълниците \(A B C D, \quad O K_{2} T K_{1}\), \(O_{1} K_{2} L K_{1} \quad\) и \(\quad O O_{1} T L \quad\) имат общ инцентър, а последните три от тези четириъгълници имат и общ първи псевдоцентър (фиг. 10).

Доказателство. Ще докажем първо, че инверсните изогоналности спрямо четириъгълниците \(A B C D, O K_{2} T K_{1}, O_{1} K_{2} L K_{1}\) и \(O O_{1} T L\) имат общ полюс, обща ос и равни степени, откъдето ще следва, че те съвпадат (т.е., че преобразуват точките в равнината по един и същ начин). Означаваме полюсите на инверсните изогоналности \(I \circ g\) и \(\bar{I} \circ \bar{g}\) съответно спрямо четириъгълник \(A B C D\) и четириъгълник \(O K_{2} T K_{1}\) с \(M\) и \(M_{l}\), осите им - съответно с \(m\) и \(m_{1}\), и степените им - съответно с \(r^{2}\) и \(r_{1}^{2}\). Понеже \(I \circ g(O)=T\) и \(I \circ g\left(K_{2}\right)=K_{1}\) (от свойства (I.9) и (I.10)), то от свойство (I.5) следва, че полюсът \(M\) на инверсната симетрия \(I \circ g\), т.е. точката на Микел на \(A B C D\), е точка на Микел и на четириъгълника \(O K_{2} T K_{1}\), т.е. че полюсът \(M\) на \(I \circ g\) съвпада с полюса \(M_{1}\) на \(I \circ g\).

От \(I \circ g(O)=T\) (от свойство (I.10)) следва още, че правите \(O M\) и \(T M\) са симетрични спрямо оста \(m\) на инверсната симетрия \(I \circ g\) (от свойство (I.6)), т.е. че \(m\) е ъглополовяща на ъгъл \(O M T\). Но оста \(m_{1}\) на инверсната изогоналност \(\bar{I} \circ \bar{g}\) спрямо четириъгълника \(O K_{2} T K_{1}\) също е ъглополовяща на ъгъл \(O M T\) (по дефиниция), следователно \(m_{1} \equiv m\). От \(I \circ g(O)=T\) (от свойство \((I .6)\) ) за степента \(r^{2}\) на инверсната симетрия \(I \quad g\) имаме \(r^{2}=O M . T M\) (от свойство(I.10)). За степента \(r_{1}^{2}\) на \(\bar{I} \circ \bar{g}\) пък имаме \(r_{1}^{2}=O M_{1} \cdot T M_{1}\) (по дефиниция), следователно \(r_{1} \equiv r\) (понеже \(M_{1} \equiv M\) по доказаното). Убедихме се, че инверсните изогоналности \(I \circ g\) и \(\bar{I} \circ \bar{g}\) съвпадат. Тогава и двойните им точки - съответно инцентровете на четириъгълниците \(A B C D\) и \(O K_{2} T K_{1}\), също ще съвпадат. Аналогично се доказва, че и инверсните изогоналности спрямо четириъгълниците \(O_{1} K_{2} L K_{1}\) и \(O O_{1} T L\) съвпадат с инверсната изогоналност \(I \circ g\) спрямо четириъгълника \(A B C D\). Следователно инцентровете на тези четириъгьлници също съвпадат с инцентъра на четириъгълника \(A B C D\), т.е. инцентровете и на четирите четириъгълника съвпадат помежду си. Накрая от теорема 1 имаме, че правите \(L O_{1}, T O\) и \(K_{1} K_{2}\) минават през една точка \(S\), което означава, че пресечните точки на диагоналите на четириъгълниците \(O K_{2} T K_{1}, O_{1} K_{2} L K_{1}\) и \(O O_{1} T L\) съвпадат с \(S\). Тъй като инверсните изогоналности спрямо тези четириъгълници по доказаното съвпадат, то и образите на точката \(S\) при тях - псевдоцентровете на четириъгълниците \(O K_{2} T K_{1}, O_{1} K_{2} L K_{1}\) и \(O O_{1} T L\), също ще съвпадат.

2. Свойствa на забележителни точки в четириъгълника, свързани с изображенията изогонална спрегнатост и допълнение в триъгълника. Ще припомним, че две точки в триъгълника се наричат изогонално спрегнати, когато лежат на изогонални прави спрямо ъглите му (две прави са изогонално спрегнати спрямо даден ъгъл, ако сключват равни ъгли с раменете на ъгъла). Ще ни бъде нужна следната

Лема 1. а) Ако вътрешните за даден \(\triangle A B C\) точки \(X\) и \(Y\) са изогонално спрегнати, то е изпълнено равенството:

(*)\[ ∢ A X B+∢ A Y B=180^{\circ}+∢ A C B . \]

б) Обратно, ако за вътрешните за \(\triangle A B C\) точки \(X\) и \(Y\) е изпълнено това равенство и те лежат на изогонални прави спрямо \(∢ A C B\), те са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle A B C\).

Доказателство. а) Щом точките \(X\) и \(Y\) са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle A B C\), те лежат на изогонални прави спрямо всеки от ъллите му. Поради това имаме \(∢ Y A B=∢ X A C\) и \(∢ Y B A=∢ X B C\) (фиг. 11). Като използваме тези равенства, получаваме последователно:

\[ ∢ A Y B=180^{\circ}-∢ Y A B-∢ Y B A=180^{\circ}-∢ X A C-∢ X B C \]

Но \(∢ X A C+∢ X B C=∢ A X B-∢ A C B\), затова от последното равенство следва, че \(∢ A Y B=180^{\circ}-(∢ A X B-∢ A C B)\). Оттук непосредствено получаваме, че е изпълнено доказваното равенство (*).

б) Означаваме изогонално спрегнатата точка на \(X\) спрямо \(\triangle A B C\) с \(Y^{\prime}\) (фиг.11). Достатъчноедадокажем, че \(Y^{\prime} \equiv Y\).Отдоказанотова)следва, чезаточките \(X\) и \(Y^{\prime}\) еизпълнено равенството \(∢ A X B+∢ A Y^{\prime} B=∢ 180^{\circ}+∢ A C B\). От друга страна, за точките \(X\) и \(Y\) по условие имаме \(∢ A X B+∢ A Y B=180^{\circ}+∢ A C B\). Следва, че \(∢ A Y^{\prime} B=∢ A Y B\), т.е. точките \(Y\) и \(Y^{\prime}\) лежат на една и съща дъга от окрьжност с краища \(A\) и \(B\). Ще покажем, че те лежат и на една и съща права през \(C\), откъдето ще следва, че \(Y^{\prime} \equiv Y\). Правата \(C Y^{\prime}\) е изогонална на правата \(C X\) спрямо ъгъл \(A C B\) (понеже \(Y^{\prime}\) е изогонално спрегнатата точка на \(X\) спрямо \(\triangle A B C\) ). Но и правата \(C Y\) по условие е изогонална на \(C X\) спрямо ъгъл \(A C B\), следователно тя съвпада с \(C Y^{\prime}\). Получихме, че точките \(Y\) и \(Y^{\prime}\) лежат на една и съща права през \(C\), откъдето, както видяхме, и следва, че \(Y \equiv Y^{\prime}\), т.е. че точките \(X\) и \(Y\) са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle A B C\).

Теорема 2. Нека \(A B C D\) е четъриъгълник с пресечна точка на диагоналите \(T\) и не е успоредник. Ако \(K_{1} u K_{2}\) са брокарианите, \(M\) е точката на Микел и \(L\) е точката на Лемоан за \(A B C D\), точките \(L\) и \(T\) са изогонално спрегнати спрямо \(\Delta K_{1} K_{2} M\) (фиг.12).

Доказателство. Нека за определеност точките \(L\) и \(T\) са вътрешни за \(\Delta K_{1} K_{2} M\) (фиг. 12). Точките \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са инверсно изогонални спрямо четириъгълника \(A B C D\) (от свойство (I.9) )), следователно правите \(M K_{1}\) и \(M K_{2}\) са симетрични спрямо оста \(m\) на инверсната изогоналност \(I \circ g\left(M ; r^{2}\right)\) ( (от свойство (I.6)). От това следва, че оста \(m\) е ъглополовяща на ъгъла \(K_{1} M K_{2}\). Точката на Лемоан \(L\) лежи на правата на Лемоан, минаваща през точката \(M\), а точката \(T\)– на правата на Микел, също минаваща през точката \(M\) (от свойства (I.15) и (I.16)). Двете прави \(L M\) и \(T M\) са инверсно изогонални и следователно са симетрични спрямо оста \(m\) на инверсната симетрия \(I \circ g\) (от свойство (I.6)), т.е. спрямо ъглополовящата на ъгъл \(K_{1} M K_{2}\). Тогава тези прави са изогонални спрямо ъгъл \(K_{1} M K_{2}\). Получаваме, че точките \(L\) и \(T\) лежат на изогонални прави спрямо ъгъл \(K_{1} M K_{2}\). За да докажем, че те са изогонално спрегнати спрямо \(\Delta K_{1} K_{2} M\) съгласно лема 1, остава да докажем, че е изпълнено равенството:

(**)\[ (* *) \quad ∢ K_{1} T K_{2}+∢ K_{1} L K_{2}=180^{\circ}+∢ K_{1} M K_{2} . \]

Нека \(O\) е първият псевдоцентър на четириъгълника \(A B C D\). Имаме \(I \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) и \(I \circ g(O)=T\) (K1) = K2 и I  g (O) = T (от свойства (I.9) и (I.10)). Тогава \(\Delta M K_{1} O \sim \Delta M T K_{2}\) (от свойство (I.7)), откъдето имаме \(∢ M K_{1} O=∢ M T K_{2}\). Аналогично от \(I \circ g\left(K_{2}\right)=K_{1}\) и \(I \circ g(O)=T\) (K 2) = K1 и I g (О)  Т (от свойства (I.9) и (I.10)) следва, че \(\triangle M K_{2} O \sim \triangle M T K_{1}\), откъдето \(∢ M K_{2} O=∢ M T K_{1}\). Като използваме последните две равенства от четириъгълника \(O K_{2} M K_{1}\) получаваме:

\(∢ K_{1} M K_{2}+∢ K_{1} O K_{2}=360^{\circ}-\left(∢ M K_{1} O+∢ M K_{2} O\right)=360^{\circ}-∢ M T K_{2}-∢ M T K_{1}=∢ K_{1} T K_{2}\).

Точките \(K_{1}, O, K_{2}\) и \(L\) лежат на една окръжност – Лемоановата окръжност на четириъгълника \(A B C D\) (от свойство (I.13)), поради което \(∢ K_{1} O K_{2}=180^{\circ}-∢ K_{1} L K_{2}\).

Заместваме с помощта на последното равенство в лявата част на по-горното и получаваме \(∢ K_{1} M K_{2}+\left(180^{\circ}-∢ K_{1} L K_{2}\right)=∢ K_{1} T K_{2}\), т.е. \(∢ K_{1} T K_{2}+∢ K_{1} L K_{2}=180^{\circ}+∢ K_{1} M K_{2}\). С това равенство ( **) е доказано и можем да заключим, че точките \(L\) и \(T\) са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle K_{1} K_{2} M\).

Сега ще се спрем на една връзка между първия и втория псевдоцентър на четириъгълника, свързана с изображенията изогонална спрегнатост и допълнение в триъгълник.

Определение 1. Нека \(G\) е медиценть- рът на даден \(\triangle A B C\) и \(h\left(G ;-\tfrac{1}{2}\right)\) е хомотетията с център \(G\) и коефициент \(-\tfrac{1}{2}\). Образът \(\bar{O}^{\prime}\) на произволна точка \(\bar{O}\) в равнината на триъгълника при тази хомотетия се нарича допълнение на \(\bar{O}\) (фиг.13).

Ще използваме следната

Лема 2. Нека \(E_{1}, E_{2}\) и \(E_{3}\) са средите съответно на страните \(A B\), \(B C\) и \(C A\) на даден \(\triangle A B C\). За произволна точка \(\bar{O}\) и нейното допълнение \(\bar{O}^{\prime}\) са изпълнени равенствата \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{2}=∢ A \bar{O} B\) и \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{1}=∢ B \bar{O} C\) (фиг.13).

Доказателство. Медианите \(A E_{2}, B E_{3}\) и \(C E_{1}\) на \(\triangle A B C\) се пресичат в медицентъра му \(G\), който ги дели в отношение \(2: 1\), считано от върховете на триъгълника. Следователно образите на точките \(A, B\) и \(C\) при хомотетията \(h\left(G ;-\tfrac{1}{2}\right)\) са съответно \(E_{2}, E_{3}\) и \(E_{1}\). Освен това образът на точката \(\bar{O}\) при \(h\left(G ;-\tfrac{1}{2}\right)\) е нейното допълнение \(\bar{O}^{\prime}\) (по определение 1). Хомотетията запазва ъглите между съответните прави, затова \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{2}=∢ A \bar{O} B\) и \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{1}=∢ B \bar{O} C\) 。

Теорема 3. Нека \(O\) е първият псевдоцентър на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) и \(\bar{O}\) е изогонално спрегнатата му точка спрямо \(\triangle A B C\). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) на \(A B C D\) съвпада с допълнението на точката \(\bar{O}\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 14).

Доказателство. Без ограничение можем да считаме, че първият псевдо център \(O\) е вътрешна точка за \(\triangle A B C\). Означаваме средите на страните \(A B\), \(B C\) и \(C D\) съответно с \(E_{1}, E_{2}\) и \(E_{4}\), E2 и агонала \(A C-\mathrm{c} E_{3}\) (фиг. 14).

Понеже точките \(O\) и \(\bar{O}\) са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle A B C\) (по условие), по лема 1 е изпълнено равенството \(∢ A \overline{O B}+∢ A O B=180^{\circ}+∢ A C B\). Но \(∢ A O B=∢ A C B+∢ A D B\) (от свойство (I.1)), следователно \(∢ A \bar{O} B=180^{\circ}+∢ A C B-∢ A O B=180^{\circ}-∢ A D B\).

Означаваме допълнението на точката \(\bar{O}\) спрямо \(\triangle A B C\) с \(\bar{O}^{\prime}\). По лема 2 е изпълнено равенството \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{2}=∢ A \bar{O} B\). Тогава предвид горното равенство имаме

(II.7) \[ \measuredangle E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{2}=180^{\circ}-\measuredangle A D B \]

От друга страна, вторият псевдоцентьр \(O_{1}\) на \(A B C D\) лежи на окръжността на Хапач, съответна на върха \(C\), т.е. на окръжността, определена от точките \(E_{4}, E_{3}\) и \(E_{2}\) (по определение). Тогава \(∢ E_{3} O_{1} E_{2}=180^{\circ}-∢ E_{3} E_{4} E_{2}\). Но \(∢ E_{3} E_{4} E_{2}=∢ A D B\) ( ъгли с еднопосочни рамене), затова \(∢ E_{3} O_{1} E_{2}=180^{\circ}-∢ A D B\). Оттук и от (II.7) следва, че \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{2}=∢ E_{3} O_{1} E_{2}\). Можем да заключим, че точките \(\bar{O}^{\prime}\) и \(O_{1}\) лежат на дъга от окръжност с краища точките \(E_{3}\) и \(E_{2}\). По същия начин се доказва, че те лежат на дъга от окръжност с краища точките \(E_{3}\) и \(E_{1}\), следователно те съвпадат. Така доказахме, че вторият псевдоцентър \(O_{1}\) на \(A B C D\) съвпада с допълнението \(\bar{O}^{\prime}\) на точката \(\bar{O}\) спрямо \(\triangle A B C\).

С помощта на доказаната връзка между първия и втория псевдоцентър на четириъгълника се получава още една връзка между първия псевдоцентър и ортоцентъра му.

Теорема 4. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и \(O\) е първият му псевдоцентъ \(p\), а \(\bar{O}\) е изогонално спрегната точка на \(O\) спрямо \(\triangle A B C\). Тогава ортоцентърът \(H\) на \(A B C D\) е среда на отсечката \(D \bar{O}\) (фиг. 15).

Доказателство. Нека \(G_{1}\) е медицентърът на \(\triangle A B C\). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) съвпада с допълнението на точката \(\bar{O}\) спрямо \(\triangle A B C\) (по теорема 3). Следователно точката \(G_{1}\) лежи на отсечката \(O_{1} \bar{O}\) и \(\bar{O} G_{1}=2 O_{1} G_{1}\) (по определение 1). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) е симетричен на ортоцентъра \(H\) спрямо центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\) (по свойство (I.2)). Следователно точката \(G\) е среда на отсечката \(O_{1} H\). От друга страна, добре известно е, че центърът на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\) лежи на отсечката, определена от върха \(D\) и центъра на тежестта \(G_{1}\) на \(\triangle A B C\). Прилагаме теоремата на Менелай към \(\Delta O_{1} \bar{O} H\) и правата \(D G_{1}\) и получаваме \(\tfrac{O_{1} G_{1}}{G_{1} \bar{O}} \cdot \tfrac{\bar{O} D}{D H} \cdot \tfrac{H G}{G O_{1}}=1\). Понеже \(H G=G O_{1}\) и \(G_{1} \bar{O}=2 O_{1} G_{1}\) (от по-горе), оттук следва, че \(\bar{O} D=2 D H\), т.е. точката \(H\) е среда на отсечката \(D \bar{O}\). С това теоремата е доказана.

Следствие. Нека \(O\) е първият псевдоцентър на четириъгълника \(A B C D\) и \(\bar{O}_{a}, \bar{O}_{b}, \bar{O}_{c}\) и \(\bar{O}_{d}\) са съответно изогонално спрегнатите му точки спрямо триъгълниците \(B C D, C D A, D A B\) и \(A B C\). Четириъгълникът \(\bar{O}_{a} \bar{O}_{b} \bar{O}_{c} \bar{O}_{d} e\) симетричен на \(A B C D\) спрямо ортоцентъра му \(H\) (фиг. 16).

Доказателство. По доказаната теорема ортоцентърът \(H\) е среда на отсечката \(D \bar{O}_{d}\). По същия начин се доказва, че \(H\) е среда и на отсечките \(A \bar{O}_{a}\), \(B \bar{O}_{b}\) и \(C \bar{O}_{c}\). Следователно четириъгълникът \(\bar{O}_{a} \bar{O}_{b} \bar{O}_{c} \bar{O}_{d}\) е симетричен на \(A B C D\) спрямо \(H\).

В заключение привеждаме без доказателство още една интересна връзка между двата псевдоцентъра на четириъгълника.

Теорема 5. Нека \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) са средите съответно на страните \(A D\) и \(A B\) и диагонала \(B D\) на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\). Ако вторият псевдоцентър \(O_{1}\) се явява забележителна точка на \(\Delta E_{1} E_{2} E_{3}\) от определен тип, то изогонално спрегнатата точка \(\bar{O}\) на първия псевдоцентър \(O\) спрямо \(\triangle A B D\) се явява забележителна точка на \(\triangle A B D\) от същия тип.

ЛИТЕРАТУРА

Ненков, В. & С. Стефанов. (2018). Връзки между забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 1, 73 – 82.

Хаимов, Х. (2001). Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6, 17 – 23.

Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълника, Математика, 5, 15 – 22

Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника, Математика плюс, 2, 28 – 51.

Хаимов, Х. (2011). Точка на Лемоан, Математика,6, 3 – 12.

Ненков, В., Стефанов, С. & Хаимов, Х. (2017). Геометрия на четириъгълника. Точка на Микел. Инверсна изогоналност, Математика и информатика, \(1,81-93\).

Стефанов, С. (2017). Втори псевдоцентър на четириъгълник, Математика и информатика, 3, 261 – 270.

Стефанов, С. (2018). Инцентър на четириъгълник, Математика и информатика, 4, 338 – 351.

Ненков, В., Стефанов, С. & Хаимов, Х. (2016). Псевдоцентър и ортоцентър – забележителни точки в четириъгълника“, Математика и информатика, 6, 614 – 625.

Сергеева, Т., Шабанова, М. & С. Гроздев. (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.

Георгиева, М. & С. Гроздев. (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.). София: Изток-Запад. ISBN 987-619-152-869-1. 327 стр.

REFERENCES

Nenkov, V. & Stefanov, S. (2018). Relations between notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 1, 73 – 82.

Haimov, H. (2001). The Brocardians – notable points in the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics and Informatics, 6, 17 – 23.

Haimov, H. (2005). Brocardians of the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics, 5, 15 – 22.

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics Plus, 2, 28 – 51.

Haimov, H. (2011). Lemoin point (In Bulgarian). Mathematics, 6, 3 – 12.

Nenkov, V., Stefanov, S. & Haimov, H. (2017). Geometry of the quadrilateral. Miquel point. Inverse isogonality (In Bulgarian). Mathematics and Informatics, 1, 81 – 93.

Stefanov, S. (2017). Second pseudocenter of the quadrilateral (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 2, 261 – 270.

Stefanov, S. (2018). Incenter of the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 4, 338 – 351.

Nenkov, V., Stefanov, S. & Haimov, H. (2016). Pseudocenter and orthocenter – notable points in the quadrilateral (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 6, 614 – 625.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics: The Bulgaria Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE. ISBN 978-954-92139-1-1

Sergeeva, T., Shabanova, M. & Grozdev, S. (2014). Foundations of Dynamic Geometry. Moscow: ASOU (in Russian).

Georgieva, M. & Grozdev, S. (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (4' \({ }^{\text {th }}\) ed.), Sofia: Iztok-Zapad. ISBN 987-619-152-869-1, 327 pages.