Abstract. The paper considers some geometric connections among different notable points in the quadrilateral. What are obtained are three notable circles and two notable lines which contain some of these points.

Keywords: quadrilateral; notable point; line; circle

В тази публикация ще разгледаме някои геометрични връзки между различни забележителни точки в изпъкнал четириъгълник. Преди да се спрем на въпросните връзки, ще дадем някои необходими сведения за самите точки.

1. Основни свойства на някои забележителни точки

Различни свойства на редица забележителни точки в изпъкналия четириъгълник са подробно изследвани и описани в отделни публикации, посочени накрая в литературата. Тук ще се спрем на някои тях, които ще са ни необходими в изложението по-нататък. В (Haimov, 1997) е изучена забележителната точка епицентър. Това е точка \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\) в четириъгълник \(A B C D\), за която са изпълнени равенствата \(S_{A B E}=S_{C D E}\) и \(S_{A D E}=S_{B C E}\) (фиг. 1). От (Haimov, 1997) е известно следното свойство:

(1) Епицентърът \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\) е симетричен на пресечната точка \(T\) на диагоналите \(A C\) и \(B D\) относно центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника (фиг. 1).

В (Haimov, 2001) и (Haimov, 2005) се разглежда една двойка забележителни точки в изпъкнал четириъгълник, която е аналог на двойката точки на Брокар в триъгълника. По тази причина точките от тази двойка са наречени брокариани на четириъгълника. Брокарианите са свързани със същите двойки триъгълници, които определят епицентъра на четириъгълника \(A B C D\). Втората обща точка \(K_{1}\) на описаните за \(\triangle A B T\) и \(\triangle C D T\) окръжности се нарича брокариана на четириъгълника \(A B C D\), съответна на страните му \(A B\) и \(C D\) (фиг. 2). Аналогично се определя и брокарианата \(K_{2}\), съответна на страните \(A D\) и \(B C\). Брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) притежават следните свойства.

(2) Брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) образуват със съответните им страни подобни триъгълници, т.е. \(\triangle A B K_{1} \quad \Delta C D K_{1}\) и \(\triangle A D K_{2} \sim \Delta C B K_{2}\).

(3) Брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) лежат на една окръжност със средите \(E\) и \(F\) на диагоналите \(A C\) и \(B D\) и пресечната им точка \(T\) (фиг. 3).

Последната окръжност се нарича Брокарова окръжност. Тя се характеризира с това, че върху нея лежат и други забележителни точки на четириъгълника.

В (Nenkov, Stefanov, Haimov, 2016) и (Haimov, 2010) се разглеждат две свързани помежду си забележителни точки в изпъкнал четириъгълник – обобщения съответно на центъра на описаната окръжност на вписания четириъгълник и на неговия ортоцентър. Точките са наречени съответно псевдоцентър и ортоцентър. Псевдоцентърът обикновено се дефинира по два различни начина. По-простият от тях е следният: ако \(R_{A B C}, R_{B C D}, R_{C D A}\) и \(R_{D A B}\) са радиусите на описаните съответно около триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) окръжности, то в равнината на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) съществува единствена точка \(O\), за разстоянията от която до върховете на \(A B C D\) са изпълнени равенствата \(A O \cdot R_{B C D}=B O \cdot R_{C D A}=C O \cdot R_{D A B}=D O \cdot R_{A B C}\) (фиг. 4). Точката O се нарича псевдоцентър на ABCD . Тази точка ще наричаме още първи псевдоцентър на \(A B C D\).

Едно основно свойство на псевдоцентъра \(O\) се състои в това, че ортогоналните му проекции върху правите, определени от страните на четириъгълника, са върхове на успоредник. Правите през върховете на този успоредник, перпендикулярни на срещуположните страни на \(A B C D\), се пресичат в една точка \(H\). Тази точка се нарича ортоцентър на четириъгълника \(A B C D\).

Освен псевдоцентъра друго обобщение на центъра на описаната окръжност за вписания четириъгълник, разгледано в (Стефанов, 2017), е така нареченият втори псевдоцентър. Той се определя чрез следващата конструкция. Ако \(E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}, E\) и \(F\) са средите съответно на отсечките \(A B, B C\), \(C D, D A, A C\) и \(B D\), то с \(\left(c_{1}\right),\left(c_{2}\right),\left(c_{3}\right)\) и \(\left(c_{4}\right)\) означаваме описаните окръжности съответно на триъгълниците \(E_{4} E_{1} E, E_{1} E_{2} F, E_{2} E_{3} E\) и \(E_{3} E_{4} F\). Оказва се, че окръжностите \(\left(c_{1}\right),\left(c_{2}\right),\left(c_{3}\right)\) и \(\left(c_{4}\right)\) имат обща точка \(O_{1}\). Точката \(O_{1}\) се нарича втори псевдоцентър на \(A B C D\) (фиг. 5).

Нека правите \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а правите \(A B\) и \(D C\) се пресичат в точката \(V\). Правите \(U K_{1}\) и \(V K_{2}\) ще наричаме антисимедиани на \(A B C D\), а описаните окръжности на \(\Delta E_{2} E_{4} U\) и \(\Delta E_{1} E_{3} V\) ще наричаме съответно Брокарова окръжност, съответна на страните \(B C\) и \(D A\), и Брокарова окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\). Във връзка с тези понятия са изпълнени следните свойства.

( 4) Трите Брокарови окръжности минават през втория псевдоцентър \(O_{1}\) на \(A B C D\) (фиг. 6).

( 5) Двете антисимедиани \(U K_{1}\) и \(V K_{2}\) минават през втория псевдоцентър \(O_{1}\) на \(A B C D\) (фиг. 6).

( 6) Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) е симетричен на ортоцентъра \(H\) спрямо центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 6).

В изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) се разглежда точка, която е аналог на точката на Лемоан в триъгълника (Haimov, 2011). Нека \(h_{1}, h_{2}, h_{3}\) и \(h_{4}\) са разстоянията от произволна точка \(L\) в равнината на \(A B C D\) съответно до правите \(A B, B C, C D\) и \(D A\). Точката \(L\), за която \(\tfrac{h_{1}}{h_{3}}=\tfrac{A B}{C D}\) и \(\tfrac{h_{2}}{h_{4}}=\tfrac{B C}{D A}\), се нарича точка на Лемоан за \(A B C D\) (фиг. 7).

Накрая ще припомним, че описаните около триъгълниците \(A B U, B C V\), \(C D U\) и \(D A V\) окръжности имат обща точка \(M\), която се нарича точка на Микел за четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 8). Следващите свойства на \(A B C D\), свързани с точката на Микел, са доказани в (Nenokov, Stefanov, Haimov, 2017).

( 7) Точката на Микел \(M\) образува със срещуположните страни двойки подобни триъгълници, т.е. \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) и \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\) (фиг. 8).

( 8) Ъглите \(A M C, B M D\) и \(U M V\) имат обща ъглополовяща \(l\), която се нарича ос на Микел за \(A B C D\) (фиг. 8).

( 9) Изпълнени са равенствата \(A M . C M=B M . D M=U M . V M=r^{2}\), където числото \(r^{2}\) се нарича константа на Микел (фиг. 8).

(10) Точката на Микел \(M\) лежи върху Брокаровите окръжности на четириъгълника, които са съответни на двойките срещуположни страни (фиг. 6).

С точката на Микел \(M\) е свързано едно преобразувание в равнината на четириъгълника \(A B C D\), което играе първостепенна роля при доказателствата на почти всички твърдения в настоящата статия. То се дефинира като композиция от осева симетрия \(g\) спрямо оста на Микел и инверсия \(I\) с полюс точката \(M\) и степен константата на Микел \(r^{2}\). Това изображение ще означаваме с \(\operatorname{Ig}\left(M, r^{2}\right)\) и ще наричаме инверсна изогоналност спрямо четириъгълника \(A B C D\). Изображението \(\operatorname{Ig}\left(M, r^{2}\right)\) притежава свойствата:

(*) при \(I g\) окрьжност, неминаваща през полюса \(M\), се изобразява в окръжност, неминаваца през \(M\);

\((* *)\) при \(I g\) права през \(M\) се изобразява в права през \(M\);

\((* * *)\) при \(I g\) брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) се изобразяват една в друга, т.е. \(\operatorname{Ig}\left(K_{1}\right)=K_{2}\) и \(\operatorname{Ig}\left(K_{2}\right)=K_{1}\);

\((* * * *)\) при \(I g\) първият псевдоцентър \(O\) се изобразява в пресечната точка на диагоналите \(T\), т.е. \(\operatorname{Ig}(O)=T\) и \(\operatorname{Ig}(T)=O\);

\((* * * * *)\) при \(I g\) вторият псевдоцентър \(O_{1}\) се изобразява в точката на Лемоан \(L\), т.е. \(\operatorname{Ig}\left(O_{1}\right)=L\) и \(\operatorname{Ig}(L)=O_{1}\).

След тези уводни бележки ще пристъпим към разглеждане връзките между изброените забележителни точки в четириъгълника.

2. Окръжност на Лемоан и окръжност на епицентъра

Както е известно, центърът на описаната окръжност, точката на Лемоан и точките на Брокар в триъгълника лежат на една окръжност. Сега ще установим, че техните аналози в произволен изпъкнал четириъгълник също лежат на една окръжност.

Теорема 1. Първият псевдоцентър \(O\), точката на Лемоан \(L\) и брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) лежат на една окръжност, която е образ на Брокаровата окръжност при инверсната изогоналност Ig (фиг. 9) .

Доказателство. От свойства ( 3) и ( 4) следва, че точките \(K_{1}, K_{2}, T\) и \(O_{1}\) лежат на Брокаровата окръжност ( \(c\) ) за четириъгълника \(A B C D\). Освен това

според свойствата \((* * *),(* * * *)\) и \((* * * * *)\) на \(\operatorname{Ig}\), имаме \(\operatorname{Ig}\left(K_{1}\right)=K_{2}\), \(\operatorname{Ig}\left(K_{2}\right)=K_{1}, \operatorname{Ig}(T)=O\) и \(\operatorname{Ig}\left(O_{1}\right)=L\). От последните равенства и (*)

(*)

следва, че точките \(K_{2}, K_{1}, O\) и \(L\) лежат на една окръжност ( \(k\) ) (фиг. 9). С това теоремата е доказана.

Определение 1. Окръжността, върху която лежат брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\), точката на Лемоан \(L\) и първият псевдоцентьр \(O\), ще наричаме окръжност на Лемоан.

Според доказаната теорема окръжността на Лемоан \((k)\) е инверсно изогонална на Брокаровата окръжност( \(c\) ) .

Теорема 2. Средите \(E\) и \(F\) съответно на диагоналите \(A C\) и \(B D\), епицентърьт \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\) и ортоцентърьт \(H\) на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) лежат на една окръжност, симетрична на Брокаровата относно центъра на тежестта \(G\) (фиг. 10) .

Доказателство. Симетрията относно центъра на тежетрията относно центьра на тежестта \(G\) означаваме с \(g_{0}\) (фиг.10). Според свойство (1) епицентърьт \(\boldsymbol{E}\) и пресечната точка на диагоналите \(T\) са симетрични относно \(G\). Следователно \(g_{0}(T)=\mathcal{E}\). Същевременно центърът на тежестта \(G\) е среда на отсечката \(E F\). Затова \(g_{0}(E)=F\) и \(g_{0}(F)=E\). Накрая от свойство (4) имаме \(g_{0}\left(O_{1}\right)=H\). Тъй като точките \(T, E, F\) и \(O_{1}\) лежат на Брокаровата окръжност ( \(c\) ), то и техните образи при симетрията \(g_{0}\) лежат на една окръжност \(\left(k_{0}\right)\), която е симетрична на Брокаровата (c) относно \(G\).

Определение 2. Окръжността, върху която лежат средите \(E\) и \(F\) на диагоналите на \(A B C D\), епицентър \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\) и ортоцентърьт \(H\), ще наричаме окръжност на епицентъра.

Според доказаната теорема окръжността на епицентъра \(\left(k_{0}\right)\) е симетрична на Брокаровата окръжност ( \(c\) ) относно центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\).

3. Права на Микел и права на Лемоан

Сега ще докажем колинеарността на две тройки от разглежданите забележителни за четириъгълника точки и че двете прави, върху които лежат тези точки, са съответни при инверсната изогоналност. Ще използваме следващите две леми.

Лема 1. Брокарианата \(K_{1}\), съответна на страните \(A B\) и \(C D\), и точката на Микел \(M\) са свързани с равенството \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{B M}{C M}\).

Доказателство. От свойство ( 2) е известно, че \(\triangle A B K_{1} \sim \Delta C D K_{1}\) (фиг. 11). Затова е изпълнено \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{A B}{C D}\). Аналогично от свойство ( 7) следва \(\tfrac{B M}{C M}=\tfrac{A B}{C D}\). Като сравним двете равенства, получаваме \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{B M}{C M}\), с което лемата е доказана.

Лема 2. Изпълнено е равенството е \(∢ K_{1} E T=∢ M E_{2} U\).

Доказателство. Точката, симетрична на \(M\) относно средата \(E_{2}\) на страната \(B C\), означаваме с \(M_{1}\) (фиг. 12). Четириъгълникът \(M_{1} B M C\) е успоредник, поради което \(M_{1} B=C M\). Оттук и равенството \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{B M}{C M}\) (по лема 1) получаваме:

(i) \[ \tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{B M}{M_{1} B} \]

Ще докажем, че \(\triangle A K_{1} C \sim \Delta M B M_{1}\). От ( \(i\) ) следва, че за това е достатъчно да докажем равенството \(∢ A K_{1} C=∢ M B M_{1}\). Понеже от свойство ( 2) следва \(∢ B A K_{1}=∢ K_{1} C D\), то четириъгълникът \(A V C K_{1}\) е вписан в окръжност. Оттук имаме \(∢ A K_{1} C=180^{0}-∢ A V C\). Същевременно точката на Микел \(M\) лежи на описаната около \(\triangle B C V\) окръжност и затова \(∢ B M C=∢ B V C=∢ A V C\). Оттук следва, че \(∢ A K_{1} C=180^{0}-∢ A V C=180^{0}-∢ B M C==∢ M B M_{1}\). Така се убеждаваме, че \(∢ A K_{1} C=∢ M B M_{1}\), което доказва подобието на триъгълниците \(A K_{1} C\) и \(M B M_{1}\). В тези триъгълници отсечките \(K_{1} E\) и \(B E_{2}\) са съответни медиани, а \(C\) и \(M_{1}\)– съответни върхове. Следователно \(∢ K_{1} E C=∢ B E_{2} M_{1}\), т.е. \(∢ K_{1} E T=∢ M E_{2} U\). С това лемата е доказана.

Теорема 3. Вторият псевдоцентър \(O_{1}\), пресечната точка на диагоналите \(T\) и точката на Микел M лежат на една права (фиг. 13) .

Доказателство. От свойства ( 4) и ( 5) е известно, че вторият псевдоцентър \(O_{1}\) лежи на антисимедианата \(K_{1} U\) и е обща точка на Брокаровата окръжност (\(c\) ) и Брокаровата окръжност (\(c^{\prime}\) ) , съответна на страните \(A D\) и \(B C\) (фиг. 13). Освен това от свойство ( 3) за( \(c\) ) и аналогичното му за ( \(c^{\prime}\) ), имаме \(K_{1}, E, T \in(c)\) и \(U, M, E \in\left(c^{\prime}\right)\) (фиг. 13). Като вземем предвид и равенството \(∢ K_{1} E T=∢ U E_{2} M\) (по лема 2 ), получаваме последователно \(∢ T O_{1} K_{1}=∢ T E K_{1}=∢ M E_{2} U=∢ M O_{1} U\), т.е. \(∢ T O_{1} U=∢ M O_{1} U\), където ъглите са ориентирани еднакво. Така заключаваме, че \(O_{1} T \rightarrow\) и \(O_{1} M \rightarrow\) сключват равни ъгли с \(O_{1} U^{\rightarrow}\), откъдето следва, че те съвпадат. С това се убеждаваме, че точките \(O_{1}, T\) и \(M\) лежат на една права.

Определение 3. Правата, върху която лежат вторият псевдоцентьр \(O_{1}\), пресечната точка на диагоналите \(T\) и точката на Микел \(M\), ще наричаме права на Микел.

Теорема 4. Първият псевдоцентърът \(O\), точката на Лемоан \(L\) и точката на Микел M лежат на една права, която е образ на правата на Микел при инверсната изогоналност (фиг. 14).

Доказателство. Според теорема 3 и определение 3 точките \(O_{1}, T\) и \(M\) лежат върху правата на Микел. Тъй като тази права минава през полюса \(M\) на инверсната изогоналност \(I g\), според свойство \((* *)\) тя се изобразява в права през \(M\). От друга страна, поради свойства (****) и (*****) имаме \(\operatorname{Ig}(T)=O\) и \(\operatorname{Ig}\left(O_{1}\right)=L\). Следователно точките \(L, O\) и \(M\) лежат на една права, която е образ на правата на Микел при инверсната изогоналност \(\operatorname{Ig}\) (фиг. 14).

Определение 4. Правата, върху която лежат първият псевдоцентър \(O\), точката на Лемоан \(L\) и точката на Микел \(M\), ще наричаме права на Лемоан.

От последната теорема следва, че правата на Микел и правата на Лемоан са инверсно изогонални.

4. Други връзки между забележителни точки в четириъгълника

Теорема 5. Правата, определена от двата псевдоцентъра \(O\) и \(O_{1}\), е успоредна на правата, определена от точката на Лемоан \(L\) и пресечната точка \(T\) на диагоналите (фиг. 14).

Доказателство. От свойства (****) и (*****) на инверсната изогоналност \(\operatorname{Ig}\) имаме \(\operatorname{Ig}(T)=O\) и \(\operatorname{Ig}\left(O_{1}\right)=L\) (фиг. 14). Затова са изпълнени равенствата \(M T . M O=r^{2}\) и \(M O_{1} . M L=r^{2}\). Оттук следва \(M O_{1} . M L=M T . M O\). Следователно \(\tfrac{M O_{1}}{M T}=\tfrac{M O}{M L}\). Като вземем предвид, че точките \(O_{1}, T\) и \(M\) лежат върху правата на Микел, а точките \(O, L\) и \(M\) лежат върху правата на Лемоан, заключаваме, че \(T L \| O O_{1}\).

В заключение привеждаме без доказателство още две интересни твърдения, свързващи разглежданите забележителни точки.

Теорема 6. Правите \(O T, O_{1} L\) и \(K_{1} K_{2}\) се пресичат в една точка (фиг. 15) .

Теорема 7. Четириъгълниците \(O_{1} K_{2} L K_{1}\) и \(O_{1} O L T\) имат общ първи псевдоцентър (фиг. 16) .

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Haimov, H. (1997). The epicenter – a notable point in the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics, 1, 18 – 24. [Хаимов, Х. (1997). Епицентърът – забележителна точка в четириъгълника, Математика, \(1,18-24\).]

Haimov, H. (2001). The Brocardians – notable points in the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics and Informatics, 6, 17 – 23. [Хаимов, Х. (2001). Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника, Математика \(u\) информатика, 6, 17 – 23.]

Haimov, H. (2005). Brocardians of the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics, 5, 15 – 22. [Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълника, Математика, 5, 15 – 22.]

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics Plus, 2, 28 – 51. [Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника, Математика плюс, 2, 28 – 51.]

Haimov, H. (2011). Lemoin point (In Bulgarian). Mathematics, 6, 3 – 12. [Хаимов, Х. (2011). Точка на Лемоан, Математика, 6, 3 – 12.]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2016). Pseudocenter and orthocenter –

notablepointsin thequadrilateral(in Bulgarian). Mathematicsand Informatics, 6, 614 – 625. [Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов ( 2016). [Псевдоцентър и ортоцентър – забележителни точки в четириъгълника, Математика \(u\) информатика, 6, 614 – 625.]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2017). Geometry of the quadrilateral. Miquel point. Inverse isogonality (In Bulgarian). Mathematics and Informatics, 1, \(81-93\). [Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов (2017). Геометрия на четириъгълника. Точка на Микел. Инверсна изогоналност, Математика и информатика, 1, 81 – 93.]

Stefanov, S. (2017). Second pseudocenter of the quadrilateral (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 2, 261 – 270. [Стефанов, Ст. (2017). Втори псевдоцентър на четириъгълник, Математика и информатика, 3, 261 – 270.]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice) . Sofia: ADE. (ISBN 978-954-92139-1-1.)

Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska (2015). Geometry of complex numbers, Sofia: Arhimedes 2000. (ISBN 978-954-779-1886.)

Georgieva, M. & S. Grozdev (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4^{\text {th }}\) ed.) (In Bulgarian). Sofia: Iztok-Zapad. (ISBN 978-619-152-8691). 327 pages [Георгиева, М. & С. Гроздев 2016). [Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.) София: Изток – Запад.]