Резюме. Изучаването на математика чрез изобразително изкуство е представено в контекста на STEAM (Science, Technology, Engineering, Art and Mathematics) образованието и като начин за доближаване на обучението до практиката. Има се предвид използването на математически знания при създаване на произведения на изкуството, както и изследването на произведения на изкуството с математически и информатични средства. Представена е възможност за осигуряване на условия за изследване в час по математика, свързано с откриване на закономерности, математическо моделиране и рационално извършване на преброяване чрез използване на картини в стил „Оп арт“. Поставена е задача за преброяване на черни четириъгълници в специално подготвени композиции в споменатия стил. При създаването им е търсено включване на случаи с различна четност, стартиране с относително малък брой четириъгълници и наличие на ефект от разглеждания стил от изобразителното изкуство. Обсъдени са различни начини за рационално преброяване. Представен е експеримент, включващ формалното и неформалното образование. При работа в клас е използвана тема от Виртуалния училищен кабинет по математика, разработван в секция „Образование по математика и информатика“ на Института по математика и информатика на Българската академия на науките. Представени са резултати от работа върху аналогична задача на онлайн състезание „VIVA математика с компютър“ и от направена анкета с участниците в него. Обсъдено е провокирането за създаване на композиции в този стил, включително с използване на софтуерни продукти. Представено е произведение в стил Оп арт с използване на стъклото като материал и е обсъдена възможността за формулиране на различни задачи с използване на ефекти от отражението му. Подчертана е модулната структура на голяма част от творбите в стил Оп арт и възможността за съставяне на аналогични задачи с използване на други модули – точки, триъгълници, криви и др. Двойственият характер на разглежданата тема и възможността за прилагане на бинарна форма са изразени и чрез подзаглавията – например „Въведение, или от STEM към STEAM“, „Задача за преброяване или разпознаване с преодоляване на оптични илюзии“ и др.

Ключови думи: STEAM; Op art; counting; online competition; creativity

Въведение, или от STEM към STEAM

STEAM (Science, Technology, Engineering, Art and Mathematics) образованието е естествено разширение на STEM (Science, Technology, Engineering and Mathematics). Използването на математически знания при създаване на произведения на изкуството, както и изследването на произведения на изкуството с математически и информатични средства (Sendova & Chehlarova, 2013) са реалности. Изучаването на математика чрез изобразително изкуство e един от начините за доближаване на обучението до практиката.

Информационните технологии и специализираните програмни продукти създават възможност за по-широко използване на идеи и реализации от изобразително изкуство в математическото образование. Добра практика за художествено представяне на снимки чрез функции и геометрични преобразувания е описана в (Chehlarova & Chehlarova, 2014). Варианти за използване в обучението по математика на произведения в стила на Пийт Мондриан, Мориц Ешер, Анди Уорхол могат да се намерят в (Chehlarova, 2015), (Chehlarova et al.,2012), (Chehlarova, 2013), (Chehlarova & Chehlarova, 2013) и др. В раздел „Математика и изкуство“ на Виртуалния училищен кабинет по математика, разработван в секция „Образование по математика и информатика“ на Института по математика и информатика на Българска академия на науките (Chehlarova et al., 2014), има теми и аплети, разработени със софтуер GeoGebra (Hohenwarter et al., 2009).

Тук ще представим една възможност за изследване в час по математика, свързано с откриване на закономерности, математическо моделиране и рационално извършване на преброяване чрез използване на картини в стил „Оп арт“. Оп арт (оптическо изкуство) е течение от визуални изкуства, което използва т.нар. оптически илюзии. Чрез тях се създава впечатление за движение, деформация или наличие на скрити изображения. Някои от задачите са тясно свързани с творби на Бриджит Райли и Виктор Вазарели, които са ключови автори за това направление в изкуството.

Задача за преброяване или разпознаване с преодоляване на оптични илюзии

На фиг. 1. са представени пет фигури. Поставена е задача за преброяване на черните четириъгълници във всяка от тях.

Често използваме известни произведения на изкуството при съставяне на такива задачи, но в случая изображенията са създадени специално. Целта е да се включат случаи с различна четност, да се започне преброяване с относително малък брой четириъгълници, като едновременно с това се осигури ефектът от разглеждания стил от изобразителното изкуство.

Едното предизвикателство за учениците е свързано с установяване на факта, че за получаване на фигурите са използвани отсечки и получените фигури са четириъгълници. Очакването е да съобразят, че всяка от фигурите може да се разглежда като деформиран правоъгълник с шахматно оцветяване, с което биха улеснили наблюдението и откриването на закономерност.

Първата фигура можем да разглеждаме като дъска \(10 \times 10\) с шахматно оцветяване, т.е. съдържаща общо \(10 \times 10=100\) полета. Във всеки ред има равен брой бели и черни полета, следователно черните полета са 50.

За втората фигура броят на черните четириъгълници в първи и втори ред, съответно в редовете на нечетно и на четно място, е различен. Изразът \(6 \times 6+5 \times 5\) съответства на тези разсъждения и е модел на 6 реда с по 6 черни четириъгълника и 5 реда с по 5 черни четириъгълника. Може да се разсъждава чрез модул от два съседни реда. Черните четириъгълници в този модул са 11. Има общо пет такива модула и последният ред остава самостоятелен. Записът в този случай е \(11 \times 5+6=61\). Ако се използва общият брой полета и фактът, че черните четириъгълници са с 1 повече от белите, се получава \(\tfrac{11 \times 11-1}{2}+1=61\). Третата фигура е с нечетно оцветяване, броят на черните четириъгълници в нея е \(7 \times 7+6 \times 6=13 \times 6+7=\tfrac{13 \times 13-1}{2}+1=85\), а на четвъртата

\[ 14 \times 14+13 \times 13=27 \times 13+14=\tfrac{27 \times 27-1}{2}+1=365 \]

Петата фигура може да се разглежда като съставена от осем диска, всеки от които съдържа равен брой бели и черни четириъгълници. Друга възможност е да се разглежда като получена от правоъгълник \(30 \times 8\) с шахматно оцветяване. Тьрсеният брой на черните четириъгълници е \(15 \times 8=\tfrac{30 \times 8}{2}=120\).

Изследователски подход при изучаване на математика или път към художествено творчество

Развитието на STEM и STEАM образованието е тясно свързано с внедряването на изследователския подход в образованието. Докато при изучаването на природни науки експериментът е традиционно използван, в обучението по математика в България в широк мащаб и системно все още не е постигнато желаното ниво. Наличието на специализиран софтуер създава възможност за сериозна подкрепа при внедряването на този подход, по отношение на създаване, използване и разпространение на образователни ресурси.

При извършване на експеримент с ученици от V – VII клас използвахме разгледаната горе задача чрез представянето ѝ в тема от споменатия Виртуален училищен кабинет по математика \({ }^{1)}\) (фиг. 2).

Всеки от разгледаните горе начини за решаване е използван от учениците (фиг. 3). Специално внимание заслужава изразяването чрез цяла част на разглеждания вече израз.

Стигна се и до обобщение. При шахматно оцветяване на правоъгълник \(n \times m\), ако поне едно от числата \(n\) и \(m\) е четно, броят на белите квадратчета \(\tfrac{n \times m}{2}\) е равен на броя на черните квадратчета. Ако и двете числа са нечетни, тогава броят на различно оцветените квадратчета се различава с единица.

Допуснатите грешки в присъствения експеримент са свързани с несъобразяване с нечетността, включване на броя и на бели квадратчета, получаване на два пъти по-малък резултат. Такива грешки са допускани и от участници от VII – XII клас в изданието през декември 2017 г. на онлайн състезание „VIVA Математика с компютър“, организирано от Института по математика и информатика на Българската академия на науките, Съюза на математиците в България и телекомпания VIVACOM (Kenderov, 2018), (Kenderov & Chehlarova, 2016). Удовлетворяващо е, че както в присъствения експеримент, така и в състезанието е висок процентът на получилите верен отговор (фиг. 4).

Задача 3 и за III – IV и V – VI клас бе свързана с преброяване на фигури от картина в стил Оп арт, но с други предизвикателства. Бе направена анкета с участниците в състезанието, два от въпросите на която бяха „Коя задача ви хареса най-много?“ и „Коя задача ви затрудни най-много?“. На първия въпрос \(8 \%\) от анкетираните не са отговорили или са записали „не мога да преценя“, „всички“. От останалите \(13 \%\) са посочили разглежданата 3 задача. На втория въпрос не са отговорили или са записали „не мога да преценя“, „всички“, „никоя“ \(9 \%\) от анкетираните, от останалите \(15 \%\) са посочили разглежданата 3 задача. При посочването тази задача е идентифицирана освен с номера ѝ, като „арт задачата“, „с черните квадратчета“, „за преброяването на квадратите“, „за броенето на черните квадратчета“, „с черните и белите квадратчета“, „с черно-белите квадратчета“. Като имаме предвид, че анкетата е направена онлайн и едно денонощие след състезанието, считаме, че задачата е оставила следа.

Очакването е след решаването ѝ част от учениците да мислят в посока създаване на композиции в този стил. При работа с компютър могат да се използват различни софтуерни продукти и е подходящо да се продължи с Оп арт в обучението по информатика или Оп арт в обучението по информационни технологии.

На фиг. 5 е представено произведение с използване на стъклото като материал. Ефектите от отражението могат да служат за формулиране на нови задачи.

Заключение или разпространение на задачите за преброяване в стил Оп арт

Фланелки, чаши, чинии и рекламни картончета се оказаха удобни за разпространение на задачата и идеята (фиг. 6).

За създаването на творби в стил Оп арт се използват модули. Получаваните фигури са подходящи за задачи за броене, за решаването на които е важно разкриването на закономерности и използването им за рационално преброяване. В разглежданите примери като модули са използвани четириъгълници, но е подходящо съставяне на задачи, в които модулите за преброяване са други фигури – точки, триъгълници, видове четириъгълници, както и свързването им с произведения на художници, творили в този стил.

NOTES/БЕЛЕЖКИ

1. http://cabinet.bg/index.php?contenttype=viewarticle&id=167

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Chehlarova, T. & Chehlarova, K. (2014). Photo-pictures and dynamic software or about the motivation of the art-oriented students. International Journal for Technology in Mathematics Education, 21, (1).

Chehlarova, T. (2013). Problem with fractions in the style of Escher. In: Kenderov, P. & Sendova, E. (Eds.). Inquiry based mathematics education. (pp. 127 – 132). Sofia: Regalia 6 [Чехларова, Т. (2013). Задачи с дроби в стил Ешер. В: Кендеров, П. & Сендова, Е. (ред.) Изследователски подход в образованието по математика (сс. 127 – 132). София: Регалия 6].

Chehlarova, T. (2015). Formation of Mathematical and Digital Competence through creativity in style Mondrian. In: Todorova, T., Kovacheva, E. & Nikolov, R. (Row) ICT in Library and Information Sciences, Education and Cultural Heritage. (pp. 263 – 272). Sofia: About the Letters – O Pismenah [Чехларова, Т. (2015) Формиране на математическа и дигитална компетентност чрез творчество в стил Мондриан. В: Тодорова, Т., Ковачева, Е. & Николов, Р. (ред.) ИКТ в библиотечно-информационните науки, образованието и културното наследство, (сс.263 – 272). София: За буквите – О писменехь].

Chehlarova, T. & Chehlarova, N. (2013). Dynamic compositions in the style of Andy Warhol. Educational forum, 2, 56 – 62 [Чехларова, Т. & Чехларова, Н. (2013). Динамични композиции в стил Анди Уорхол. Педагогически форум, 2, 56 – 62].

Chehlarova, T., Sendova, E. & Stefanova, E. (2012). Dynamic tessellations insupport of the inquiry-based learning of mathematics and arts, in Theory, Practice and Impact. Proceedings of Constructionism, pp. 570 – 574.

Chehlarova, T., Gachev, G., Kenderov, P. & Sendova, E. (2014). A Virtual School Mathematics Laboratory. (pp. 146 – 151). In: V National Conference on e-Learning. Ruse: University of Ruse.

Hohenwarter, J., Hohenwarter, M. & Lavicza, Z. (2009). Introducing Dynamic Mathematics Software to Secondary School Teachers: the Case of GeoGebra. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 28(2), 135 – 146.

Kenderov, P. & Chehlarova, T. (2016). Mathematics with Computer Contest and the Inquiry Based Mathematics Education. Plovdiv: Makros 2000 [Кендеров, П. & Чехларова, Т. (2016). Състезание Математика с компютър и изследователски подход в образованието по математика. Пловдив: Макрос 2000].

Kenderov, P. (2018). Powering Knowledge Versus Pouring Facts. In: Kaiser, G., Forgasz, H., Graven, M., Kuzniak, A., Simmt, E., Xu, B. (eds) Invited Lectures from the 13th International Congress on Mathematical Education. (pp. 289 – 306) ICME-13 Monographs. Cham: Springer.

Sendova, E. & Chehlarova, T. (2013). Studying fine-art compositions by means of dynamic geometry constructions. Scientia iuvenis. Book of Scientific Papers. Nitra: Constantine the Philosopher University.