Резюме. Математическият турнир се разглежда в образователен контекст, с очакване за повишаване на образователния ефект при използване на дидактическа игра поради повторяемостта ѝ и допълнителната мотивация за победа. Представена е европейската инициатива STEM Discovery Week за подкрепа на STEM образованието в училище и сътрудничеството между заинтересованите страни в тази област. Описан е „Математически турнир „Домино „Обикновени дроби“ като едно от събитията в България, проведено в рамките на тази инициатива. Разгледано е дидактическо домино „Обикновени дроби“. При разработването му е използвана идеята за включване на паркетиращи плочки в стила на Мориц Ешер при изобразяване на обикновени дроби. Описани са специфични особености – например, че в повечето случаи при оцветяване с два цвята с една фигура могат да се представят две различни обикновени дроби. Обсъдени са задачи с плочки от разглежданото домино. Предоставени са дигитални ресурси със свободен достъп във „Виртуален училищен кабинет по математика“, разработван в секция „Образование по математика и информатика“ на Института по математика и информатика на Българската академия на науките, които могат да се използват за подготовка за игра с домино и самопроверка за разбирането на обикновените дроби. Анализирани са резултати от решенията на задача с плочки от дидактическо домино „Обикновени дроби“ в онлайн състезание „VIVA Математика с компютър“.

Ключови думи: didactic tournament; didactic tool; didactic dominoes; online competition

Въведение

Пренасянето и модифицирането на форми на обучение от неформалното образование във формалното, както и от една предметна област в друга, е удобен начин за разнообразяване на работата в клас. Турнирите са доказали своята ефективност и мотивиращ ефект. Те са използвана форма в спорта и обучението по физкултура и спорт. Има практики с използването им в неформалното образование. При игра с дидактическо домино е подходящо организирането на турнир, с което е естествено очакването за повишаване на образователния ефект чрез повторяемостта и допълнителната мотивация за победа.

STEM Discovery Week

STEM Discovery Week (Cедмица на откривателството) e международна инициатива с цел подкрепа на кариерното развитие и образование в областта на STEM (природните науки, технологиите, инженерството и математиката). Тя се координира по европейски проект Scientix (Gerard et al., 2012) в сътрудничество с финансирания по програма Erasmus+ проект SYSTEMIC и инициативата STEM Aliance. В STEM Discovery Week могат да участват проекти, организации и училища от Европа. През 2018 г. Cедмицата на откривателството се проведе в периода \(23-29\) април и включи над 800 дейности в 40 страни. Те са отбелязани на картата със събитията на STEM discovery week (фиг. 1). Събитията са разнообразни по брой на участниците, времетраене и дейности. В България се проведоха фестивал на науката, състезания, семинари, лекция, изложби, демонстрации, конференция, квалификационни курсове и др., преобладаващо по инициатива на т.нар. посланици на Scientix и на Института по математика и информатика на Българската академия на науките, който е национална контактна точка за България на проект Scientix (Ivanova et al., 2018).

Тук ще представим едно от събитията на STEM Discovery Week: математически турнир „Домино „Обикновени дроби“.

Идеи за използване на плочки от класическо домино като модел на обикновени дроби могат да се намерят в Grozdev & Chehlarova (2007), Chehlarova & Sendova (2012). За дидактическо домино е подходящо изработване на плочки домино с фигурно представяне на обикновени дроби.

Дидактическо домино „Обикновени дроби“

Дидактическото домино е средство за формиране на понятия чрез прилагането им в нови условия. Резултати от различни проверки показват, че има проблеми при разбирането и оперирането с обикновените дроби. Не е случайно, че от разработените модели на дидактическо домино за математическото образование преобладават примери за обикновени дроби. В тези модели обикновено се включват фигурни представяния на обикновени дроби, в които се използват част от кръг и част от правоъгълник. Кръгът и правоъгълникът (в частност квадрата) са типичните фигури, чрез които се реализира онагледяването на обикновените дроби и в училищни учебници и помагала (фиг. 2).

Като недостатък ще отбележим факта, че се оцветява част от тези фигури, а неоцветената част не се обсъжда. Chehlarova (2013) описва идеята за използване на паркетиращи плочки в стила на Мориц Ешер за изобразяване на обикновени дроби (фиг. 3), която се използва и при разработване на разглежданото тук дидактическо домино.

В дидактическо домино „Обикновени дроби“ има 15 плочки (фиг. 4). Квадратите на всяка от плочките домино съдържат представяне на обикновена дроб.

Могат да играят двама или трима играчи. Плочките се поставят на масата с лицето надолу и се разбъркват. Всеки участник изтегля по пет плочки. Редът на играчите се определя с теглене на жребий. Първият поставя плочка на масата, след което играчите се редуват: поставят плочка в някой от краищата на получената фигура от наредени плочки така, че да се допират една до друга части, представящи равни обикновени дроби. Ето няколко варианта:

Двойните плочки (на които двете представени обикновени дроби са равни), могат да бъдат използвани за нови разклонения, т.е. може да се постави плочка така:

Ако играч няма плочка, с която да направи ход, тегли от останалите на масата до изтегляне на такава, с която може да играе, или до изчерпване на оставените на масата обърнати плочки. Ако те са изчерпани, играчът пропуска хода. (В случай с трима играчи в началото се изтеглят всичките плочки). Победител е този, който пръв се освободи от своите плочки. Ако и двамата играчи нямат ход, победител е този, който има по-малък брой плочки, а при равен брой резултатът е реми.

Когато за представянето на обикновена дроб са използвани фигури, особеност е, че в някои случаи с една фигура могат да се представят две различни обикновени дроби. Например със следващата фигура може да се представи както \(\tfrac{1}{4}\), така и \(\tfrac{3}{4}\).

Математически турнир „Домино „Обикновени дроби“

В рамките на STEM Discovery Week с ученици в V и VI клас на 10. СОУ „Теодор Траянов“ в София бе проведен турнир. Организатор бе EOOD „Тонедико“ с научната подкрепа на Института по математика и информатика при Българската академия на науките. Предварителната подготовка включва: номериране на 8 маси, подготовка на листчета за теглене на жребий (за номер на маса и ред на играч), подготовка на материали за запознаване с правилата на играта, на материали за обяснение на особености и на награди.

Бяха фиксирани правилата на играта и организацията на турнира. Подходящо е да се използват утвърдени системи за определяне на победителя, изготвянето на двойка за всеки мач и следващите кръгове, но при необходимост се модифицират според конкретните условия преди започване на турнира. Когато турнирът е на ниво клас, малка е вероятността за наличие точно на 16 или 32 играчи. За осигуряване на участие на всички ученици от класа в първи кръг на турнира препоръчваме на някои от масите играчите да са трима – според изтегления жребий.

Най-продължителен бе първи кръг, а финалният кръг и в двата класа се реализира до 3 минути. И в двата класа имаше ученици, които не бяха играли на класическо домино. След първия кръг отпадналите от участие стават наблюдатели, дадохме им статут на рефери. Като много силен момент на турнира ще откроим самопроверката и взаимопроверката, извършването на анализ и отделяне на стратегии за победа. Не бе малък броят на пропуснати ходове в резултат на несъобразяване на различни представяния с една фигура. Част от шестокласниците по време на играта коментираха, че са забравили обикновените дроби. Многократно станахме свидетели на „аха“ ефекта. И в двете групи имаше споделяния, че са „видели с нови очи“ обикновените дроби, че е различно, когато показват знанието си „не на хартия“. Турнирът продължи 40 минути. При наличие на опит от поне едно участие за провеждане на турнир от 4 кръга с елиминации и с използване на домино от 15 плочки са достатъчни 20 минути.

За обратна връзка за удовлетвореност от участниците поискахме в края на турнира участниците да отразят настроението и (не)удовлетвореността си с дума или фигура. Освен множество варианти на „усмихнато човече“ получихме благодарствени думи, както и изявено желание за участие следващи турнири.

Подготовка за турнир

Като имаме предвид основната цел на провеждането на турнира, препоръчваме да се отдели специално внимание на осигуряване на подготовката за участие. Във Виртуалния училищен кабинет по математика (Chehlarova et al., 2014) могат да се използват аплети и теми, включващи задачи с разглежданото домино.

Примерите са придружени от динамични аплети, които са разработени със софтуер GeoGebra (Hohenwarter et al., 2009).

Аналогична задача бе дадена на учениците от V – VI клас през април 2018 г. на онлайн състезание „VIVA Математика с компютър“ (Kenderov, 2018), (Kenderov & Chehlarova, 2016): „В нетрадиционно домино всяка плочка съдържа представяне на обикновени дроби. По време на играта плочките се долепват една до друга така, че допиращите се части на две съседни плочки да съдържат представяне на равни обикновени дроби, както е показано на картинката по-долу. С коя плочка може да продължи играта? Можете да посочите повече от един отговор“.

Не са посочили отговор \(10 \%\) от участниците. Пълен брой (5 точки) имат \(6 \%\), които са маркирали трите верни плочки и не са маркирали двете плочки, с които не може да продължи играта. \(26 \%\) от участниците имат по 4 точки, защото са пропуснали една от трите възможни за реализация плочки. Преобладават посочилите първа и трета плочка. Точно един верен отговор са отбелязали \(3 \%\) от решавалите задачата. Само грешен отговор са посочили 6%, останалите са маркирали и верни, и грешни отговори. В експерименти с домино се установи, че има ученици, които не са играли на домино. От друга страна, в първи кръг на разглежданото онлайн състезание е разрешено използването на всякакви средства за решаване на задачите, включително и помощ от приятел, родител, експерт, затова е очаквана подкрепата от познаващ играта. Участниците знаят, че класирането е по точки, а при равен брой точки – по време. Като имаме предвид последните три факта, резултатите са очаквани и считаме, че учениците са се ориентирали в задачата, но са се съобразявали и с времето като критерий за класирането.

Такава задача поставяме за първи път в състезание „VIVA Математика с компютър“. Темите от преминалите издания на състезанието са със свободен достъп и могат да подпомогнат самоподготовката за участие в следващи издания.

Заключение

Известно е, че турнирите могат да се провеждат като кратки събития на определено място или като продължителна система от кръгове евентуално на различни места. Организирането на турнир в рамките на един клас може да продължи на междукласово, на училищно и междуучилищно ниво.

Инициативата STEM Discovery Week провокира организирането на събитие с позитивен образователен ефект. Споделените практики в картата на фиг.1 са източник на идеи и на възможни партньорства с институции, които са афиширали интерес и подкрепа на STEM образователни дейности.

NOTES/БЕЛЕЖКИ

1. https://www.google.com/maps/d/u/0/viewer?mid=1f8FjJLtO7TdTeW8YmSoCiIpk2HZQwxHV&ll=44.403659391363085%2C23.199225997265557&z=4 (27 юли 2018).

2. http://cabinet.bg/index.php?contenttype=viewarticle&id=173 (27 юли 2018).

3. http://cabinet.bg/index.php?status=pages&pageid=competitions (27 юли 2018).

4. http://cabinet.bg/ (27 юли 2018).

5. Gerard, E., Schwarzenbacher, B., Tasiopoulou, E. & Gras-Velázquez, À. (2012). Sharing Good Practice Examples and Tips from European Science Education Projects: Scientix, Nanochannels, Unischoolabs, Xplorehealth and Ingenious. In: Conference Proceedings New Perspective in Science Education. Milano: Simonelli Editore University Press.

6. Иванова, К., Т. Чехларова & Е. Сендова. (2018). „Математиката в света около мен“ – едно събитие в рамките на STEM Discovery Week 2018 (cc. 125 – 161). In: XI национална конференция „Образованието и изследванията в информационното общество“. София: асоциация „Развитие на информационното общество“.

7. Kenderov, P. (2018). Powering Knowledge Versus Pouring Facts (pp. 289-306). In: Kaiser G., Forgasz H., Graven M., KuzniakA., Simmt E., Xu B. (eds) Invited Lectures from the 13th International Congress on Mathematical Education. ICME-13 Monographs. Springer, Cham.

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Chehlarova, T. (2013). Problem with fractions in the style of Escher. In: Kenderov, P. & Sendova, E. (Eds.). Inquiry based mathematics education. (pp. 127 – 132). Sofia: Regalia 6 [Чехларова, Т., (2013). Задачи с дроби в стил Ешер. В: Кендеров, П. & Сендова, Е. (ред.) Изследователски подход в образованието по математика (сс. 127 – 132). София: Регалия 6].

Chehlarova, T. & Sendova, E. (2012). Uncommon for Common Fractions – Explorations by Dynamic Constructions. Plovdiv: Makros 2000 [Чехларова, Т. & Сендова, Е. (2012). Необикновено за обикновените дроби – изследвания с динамични конструкции. Пловдив: Макрос 2000].

Chehlarova, T., Gachev, G., Kenderov, P. & Sendova, E. (2014). A Virtual School Mathematics Laboratory (pp. 146 – 151). In: V-th National Conference on e-Learning. Ruse: University of Ruse.

Grozdev, S. & Chehlarova, T. (2007). Dominoes and fractional numbers (сс. 201 – 209). In: International Scientific Conference FMNS. Blagoevgrad: Neofit Rilski.

Hohenwarter, J., Hohenwarter, M. & Lavicza, Z. (2009). Introducing Dynamic Mathematics Software to Secondary School Teachers: the Case of GeoGebra. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, 28(2), 135 – 146.

Kenderov, P. & Chehlarova, T. (2016). Mathematics with Computer” Contest and the Inquiry Based Mathematics Education. Plovdiv: Makros 2000 [Кендеров, П. & Чехларова, Т. (2016). Състезание „Математика с компютър“ и изследователски подход в образованието по математика. Пловдив: Макрос 2000].