Hristo Lessov

Teacher
Mathematical School „N. Obreshkov“
Kazanlak, Bulgaria
E-mail: pmgkk@abv.bg

Abstract. The present paper considers \(\triangle A B C\) and its main remarkable points: the gravity center \(G\) (the common point of the medians), the orthocenter \(H\) (the common point of the altitudes), the circumcenter \(O\) (the common point of the perpendicular bisectors), the in-center \(I\) (the common point of the angle bisectors). Relations are derived, which represent necessary and sufficient conditions for special locations of the straight lines through these remarkable points.

Keywords: triangle, remarkable points, straight lines, special locations

Разположения на забележителни точки в триъгълник. За равностранен триъгълник споменатите забележителни точки съвпадат. Лесно се вижда, че ако две от тях съвпадат, то \(\triangle A B C\) е равностранен. При равнобедрен \(\triangle A B C\), за който \(A C=B C\), тези четири точки лежат на една права през върха \(C\)– симетралата на основата \(A B\). В Лесов 1 от 2008 (задача 7) е изяснено, че точките \(G, H, O, I\) лежат на една права само за равнобедрен триъгълник. За неравностранен триъгълник точките \(H, G\) и \(O\) лежат в този ред на една права (права на Ойлер), като \(H G=2 O G\) и средата \(O_{9}\) на отсечката \(O H\) е центърът на окръжността на деветте точки (Лесов 1, 2008) (задачи 2 и 3). Както е показано в Лесов от 2009, точката \(N\) на Нагел, \(G\) и \(I\) лежат в този ред на една права, като \(N G=2 I G\). Тъй като \(\cfrac{N G}{I G}=2=\cfrac{H G}{O G}\), хомотетията с център \(G\) и коефициент \(-\cfrac{1}{2}\) преобразува \(H\) в \(O\) и \(N\) в \(I\). Оттук следва, че \(N H \| O I\) и \(N H=2 O I\). Тази хомотетия преобразува \(O\) в \(O_{9}\) и \(I\) в средата \(I_{1}\) на \(I N\), така че \(0 N \| I O_{9}, O N=2 I O_{9}\) и \(O I \| I_{1} O_{9}\), \(\mathrm{OI}=2 I_{1} O_{9}\). Понеже същата хомотетия преобразува върховете \(A, B\) и \(C\) съответно в средите на страните \(B C, C A\) и \(A B\), CA и AB, точката \(I_{1}\) е център на окръжността, вписана в триъгълника с върхове средите на \(B C, C A\) и \(A B\). В Билчев \(\&\) Лесов от 1992 е посочено, че \(I_{1}\) се нарича точка на Спикер и са показани полезни нейни свойства.

В Лесов 2 от 2008 са разгледани ъглополовящите на външните ъгли на \(\triangle A B C\), които при пресичането си определят центровете \(O_{1}, O_{2}\) и \(O_{3}\) на външновписаните окръжности \(k_{1}, k_{2}\) и \(k_{3}\) за \(\triangle A B C\). Ако \(k_{1}, k_{2}\) и \(k_{3}\) се допират съответно до страните \(B C\), \(C A\) и \(A B\) последователно в точките \(T_{1}, T_{2}\) и \(T_{3}\), то \(O_{1} T_{1} \perp B C, O_{2} T_{2} \perp C A\) и \(O_{3} T_{3} \perp A B\). Тогава правите \(O_{1} T_{1}, O_{2} T_{2}\) и \(O_{3} T_{3}\) се пресичат в една точка \(L\), която е центърът на описаната около \(\Delta O_{1} O_{2} O_{3}\) окръжност. За него \(I\) е ортоцентър, \(I L\) е правата на Ойлер, а \(O\)– център на окръжността на деветте точки. Следователно \(O\) е средата на отсечката \(L I\), т.е. \(O L=O I, L I=2 O I=N H\) и \(L I \| N H\). Оттук следва, че \(I H N L\) е успоредник, чиито диагонали \(I N\) и \(H L\) се пресичат в \(I_{1}\) и \(L N\|I H\| O I_{1}, L N=I H=\) \(2 O I_{1}\) (черт. 1).

Положения на прави през забележителни точки в триъгълник. В Лесов 1 от 2008 (задача 5) е доказано, че за неравностранен \(\triangle A B C\) правата \(O G H\) на Ойлер е перпендикулярна на \(A B\) тогава и само тогава, когатова, кога \(A C=B C\). До същия резултат се стига, когато \(I H \perp A B\). Тези твърдения са равносилни със съвпадение на ъглополовящата и височината през върха \(C\). Лесно се установява верността и на следното

Твърдение 1. Правата OI е перпендикулярна на \(A B\) тогава и само тогава, когато \(A C=B C\).

Доказателство: Условието \(O I \perp A B\) означава, че точката \(I\) лежи върху симетралата на страната \(A B\). Следователно \(A I=B I\) и \(\angle A B I=\angle B A I\). Понеже \(A I\) и \(B I\) са ъглополовящи, то \(\angle A B C=\angle B A C\) и \(A C=B C\).

Ясно е, че за равнобедрен \(\triangle A B C\) с \(A C=B C\) точките \(G, H, O\) и \(I\) лежат на симетралата на \(A B\) и \(G I \perp A B\). За разностранен триъгълник ще докажем следното

Твърдение 2. Правата GI е перпендикулярна на \(A B\) тогава и само тогава, когато \(A C+B C=3 A B\).

Доказателство: Нека \(A C \gt B C\), точката \(P\) е средата на \(A B, T\) е допирната точка на вписаната окръжност с \(A B\) и \(F\) е петата на височината\(A T=\cfrac{1}{2}(A B+A C-B C) \gt \cfrac{1}{2} A B=A P\) от върха \(C\) върху \(A B\) (черт. 2).и Изпълнени \(B C^{2}=A B^{2}+A C^{2}-2 A B \cdot A F\left(\angle B A C \lt 90^{\circ}\right)\), са зависимостите \(A P=\cfrac{1}{2} A B\), откъдето \(A F=\cfrac{1}{2} A B+\cfrac{A C^{2}-B C^{2}}{2 A B}=\cfrac{1}{2} A B+\cfrac{A C+B C}{A B} \cdot \cfrac{A C-B C}{2} \gt \cfrac{1}{2}(A B+A C-B C)\), защото \(A C+B C \gt A B\). Така получихме, че \(A P \lt A T \lt A F\), което показва, че \(T\) е между \(P\) и \(F\). Условието \(G I \perp A B\), т.е. \(G \in I T \| C F\), съгласно теоремата на Талес и обратната й, е равносилно на \(\cfrac{T F}{P T}=\cfrac{C G}{G P}=2\), т.е. \(T F=2 P T\) или \(A F-A T=2(A T-\) \(A P), A F+2 A P=3 A T\). Сега получаваме \(\cfrac{1}{2} A B+\cfrac{A C^{2}-B C^{2}}{2 A B}+A B=\cfrac{3}{2}(A B+A C-B C)\). След преобразуване получаваме \(A C^{2}-B C^{2}=3 A B \cdot(A C-B C)\). Тъй като \(A C \gt B C\), оттук следва \(A C+B C=3 A B\).

Твърдение 3. Правата GI е успоредна на \(A B\) тогава и само тогава, когато \(A C+B C=2 A B\).

Доказателство: Тъй като \(G\) лежи на медианата \(C P, I\)– на ъглополовящата \(C K\) на \(\angle A C B(K \in A B)\) ( черт. 3), от теоремата на Талес и обратната й следва, че \(G I \| A B\), т.е. \(G I \| P K\) тогава и само тогава, когато \(\cfrac{C I}{I K}=\cfrac{C G}{G P}=2\). От свойството на ъглополовящата \(B I\) в \(\triangle B C K\) изразяваме \(\cfrac{C I}{I K}=\cfrac{B C}{B K}\), а от свойството на ъглополовящата \(C K\) в \(\triangle A B C\) имаме \(\cfrac{A K}{B K}=\cfrac{A C}{B C}\) или \(\cfrac{A B}{B K}=\cfrac{A C+B C}{B C}\), откъдето \(\cfrac{B C}{B K}=\cfrac{A C+B C}{A B}\) и \(\cfrac{C I}{I K}=\cfrac{A C+B C}{A B}\), т.е. \(A C+B C=2 A B\).

Ще отбележим, че в Гроздев & Ненков от 2011 са разгледани обобщения на току-що доказаните твърдения 2 и 3.

Твърдение 4. За остроъгълен \(\triangle A B C\) правата \(O G H\) на Ойлер е успоредна на \(A B\) тогава и само тогава, когато \(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta=3\), където \(\alpha=\angle B A C\) и \(\beta=\angle A B C\).

Доказателство: \(O P \perp A B\) и \(O H \| A B\) са еквивалентни с \(H F=O P\) (черт. 4). От правоъгълния триъгълник \(B H F\), в който \(\angle B H F=\angle B A C=\alpha\), изразяваме \(H F=\) \(B F\).cotg \(\alpha\). От правоъгълния триъгълник \(B C F\) с \(\angle C B F=\beta\) имаме \(B F=B C \cdot \cos \beta\) и чрез синусовата теорема за \(\triangle A B C\) следва \(B F=2 R \sin \alpha \cos \beta\) и \(H F=2 R \cos \alpha \cos \beta\) (\(R\) е радиусът на описаната за \(\triangle A B C\) окръжност). От правоъгълния триъгълник \(A O P\), в който \(\angle A O P=\angle A C B=\gamma\), имаме \(O P=R \cos \gamma\). Така стигаме до равенството \(2 R \cos \alpha \cos \beta=R \cos \gamma\) или \(2 \cos \alpha \cos \beta=-\cos (\alpha+\beta)\), което води до \(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta=3\). Ще отбележим, че за остроъгълен триъгълник е в сила равенството \(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg} \gamma\) \(=\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} \gamma\) и последния резултат е еквивалентен с \(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta=2 \operatorname{tg} \gamma\).

Твърдение 5. За остроъгълен триъгълник ABC правата OI е успоредна на \(A B\) тогава и само тогава, когато \(\cos \alpha+\cos \beta=1\).

Доказателство: От \(O P \perp A B\) и \(I T \perp A B\) следва, че \(O I \| A B\) е еквивалентно с \(I T=O P\) (черт. 5) или \(r=R \cos \gamma\) (\(r\) е радиусът на вписаната за \(\triangle A B C\) окръжност). Това равенство се преобразува чрез известните за всеки триъгълник тъждества

(1)\[ \begin{aligned} & \text { (1) } r=4 R \sin \cfrac{\alpha}{2} \sin \cfrac{\beta}{2} \sin \cfrac{\gamma}{2} \text { и (2) } \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma-1=4 \sin \cfrac{\alpha}{2} \sin \cfrac{\beta}{2} \sin \cfrac{\gamma}{2} \\ & \text { до } \cos \alpha+\cos \beta=1 \end{aligned} \]

Твърдение 6. За остроъгълен \(\triangle A B C\) правата \(I H\) е успоредна на \(A B\) тогава \(u\) само тогава, когато е в сила равенството \(\cos \alpha+\cos \beta=1+3 \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\).

Доказателство: Тъй като \(I T \perp A B\), то \(I H \| A B\) е еквивалентно с \(H F=I T\) (черт. 6) \(2 R \cos \alpha \cos \beta=r\), което чрез (1) и (2) се представя така: \(2 \cos \alpha \cos \beta=\cos \alpha+\cos \beta\) \(+\cos \gamma-1\), т.е . \(\cos \alpha+\cos \beta=1+3 \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\).

ЛИТЕРАТУРА

1. Билчев, С., Х. Лесов (1992). Точка на Спикер и някои нейни приложения. Математика и информатика, 6, 34.

2. Гроздев, С., В. Ненков (2011). Етюди около точката на Нагел и правата на Нагел. Математика плюс, 2, 47 – 51.

3. Лесов, Х. (2008). Права на Ойлер и окръжност на деветте точки за триъгълник. Математика и информатика, 1, 76.

4. Лесов, Х. (2008). Забележителни свойства на ъглополовящите в триъгълник. Математика и информатика, 2, 61.

5. Лесов, Х. (2009). Точка на Нагел за триъгълник. Математика и информатика, 6, 74. (Лесов, 2009).