© AI
A JOURNEY IN THE WORD OF COMBINATORICS
Abstract. A sign on the front gate of a school in India reads: „Strive for it and do it.” Our small but ambitious team has decided to look at the Combinatorics section of the Mathematics textbook for 10th grade from another angle in order to present it in an interesting, amusing, and exciting way. The paper contains the first part of the PowerPoint presentation of „A Journey in the World of Combinatorics”, ranked second in the National stage of the International Competition for teachers „Mathematics and Projecting”. After a short historical review, the notions of a set and a combination are considered under the support of suitable and interesting examples. The rules for summation and multiplication of combinations follow as well as various tasks: for chess games of chess, fairy characters, e-mails, hackers, passwords, safes, flowers, etc. The included slides constitute a small part of the presentation. They are introduced successively, step by step, which assures the necessary teaching time for a more profound and meaningful understanding of new knowledge, for analysis and reasoning in problem solving. The whole presentation is on the website of the „Ekzarh Jossiff” High School for Foreign Languages, Razgrad.
Keywords: Combinatorics, set, compound, multiplication rule.
Започва нашето пътешествие в света на комбинаториката. Тук ще се срещнем със случайността, ще се научим да прогнозираме някои случайни събития. Други ще останат невъзможни или неосъществими и ще чакат своя отговор в бъдещето. В този свят има място за приказни герои, хакери, пароли, кодове, сейфове, фишове, зарове и разбира се за числа.
Комбинаториката е дял от математиката, предметът на който е пресмятането на броя на елементите на дадено крайно множество.
Ще се върнем в миналите векове, за да се срещнем с онези, които първи са открили този сложен и интересен свят – света на комбинаториката.
„Живяло някога едно момче, момче като всички останали момчета по света. Но за нещастие то имало зла съдба – останало без майка съвсем мъничко. Момчето имало умен и добър баща, който забелязал необикновените му способности и започнал да го занимава с наука. Блез Паскал, откривателят на сметачната машина, ученият, който първи използва термина „комбинаторика” и който заедно с Ферма поставя основите на теорията на вероятностите. Много са учените, допринесли за развитието на тази наука: Пиер дьо Ферма, Готфрид Лайбниц, Якоб Бернули, Кристиян Крамп и др.
Светът около нас е пълен с множества от различни обекти: буквите от една азбука, учениците от една паралелка, атомите в една молекула и др.
Някои от множествата са крайни, други безкрайни. Безкраен и необятен е светът на Галактиките, безкрайна е Вселената, в която живеем.
Различно е и подреждането на обектите в крайните множества. Графитът и диамантът, две толкова различни вещества, са изградени от едни и същи атоми, само че са подредени по различен начин.
Ако изберем само някои елементи от едно множество, отговарящи на определени условия, получаваме съединение. Всяко съединение си има клас. Множествата от примери се състоят от обекти от еждневието. Докато числата могат да се събират, изваждат, умножават, делят, степенуват, коренуват, то съединенията могат само да се събират и умножават. Много е важно не само да познаваме тези правила, но и да знаем кога и кое от тях трябва да се приложи. Затова използваме един и същ пример, в който от витрината на магазин трябва да си изберем маратонки и антистрес топки. Обръщаме внимание на зададения въпрос и особено на частиците или и и.
Можем да изброим всички възможности или знаейки правилата, да си спестим това изброяване и да извършим пресмятанията направо. Затвърждаваме правилата чрез задачата за шахматната дъска, която разглеждаме в два различни варианта.
Авторите на приказки и разкази често завършват с думите: „… и вдигнали голяма и весела сватба, три дни яли, пили и се веселили”. За да достигне до този щастлив край, авторът на роман, в който участват 4 героя и 6 героини, трябвало да реши кой герой за коя героиня да ожени. Колко са възможните начини за избор? За първия герой възможностите са 6, за втория 5, за третия 4, а за четвъртия остават три.
Съвременните герои използват мобилни апарати и компютри, електронни пощи, защитени с пароли. Подбрали сме и такава задача: Паролата за електронната поща на Иван се получава чрез разместване на буквите в думата ЗАДАЧА, а паролата за електронната поща на Мария – от думата БАОБАБ. Ако любопитен хакер, който знае това, иска да прочете тяхната кореспонденция, чия парола ще налучка по-лесно?
За затвърждаване на знанията решаваме още няколко задачи за съставяне на букети, за избор на дрехи при обличане, за плодове, ястия и др.
Решенията поднасяме последователно, като изискваме учениците сами да достигнат всяка следваща стъпка.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лозанов, Ч. (2009). Учебник по математика за 10 клас. София: Анубис.
2. Додунеков, С. (2009). Учебник по математика за 10 клас. София: Регалия 6.