© AI
Educational Research
SEVERAL HOMOTHETICALLY GENERATED PROPERTIES OF THE FEUERBACH CONFIGURATIONS
Abstract. The present paper considers generalizations of some known properties from the geometry of the triangle, which are connected with the circum-circles and the in-circles. The generalizations are several properties of a special combination of central conics, which is called to be Feuerbach configuration in (Ненков, 2010).
Keywords: triangle, homothety, Feuerbach configuration, Euler curve
В началото ще припомним какво разбираме под понятието „Фойербахова конфигурация“. Нека \(A B C\) е произволен триъгълник. Означаваме с \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) средите съответно на страните \(B C, C A, A B\), а с \(G\)- медицентъра на \(\triangle A B C\).
Фиг. 1
Нека \(I\) е произволна (крайна) точка, нележаща върху никоя от правите \(B C, C A\), \(A B, B_{0} C_{0}, C_{0} A_{0}\) и \(A_{0} B_{0}\), В0С0, С 0А0 и А 0В0, а точките \(I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\) образуват хармоничен триъгълник на \(I\) спрямо \(\triangle A B C\) (Паскалев \& Чобанов, 1985). Разглеждаме точките \(I, I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\) като центрове съответно на конични сечения (елипси или хиперболи) \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\), вписани в \(\triangle A B C\) (Фиг. 1). Означаваме допирните точки на \(k(I)\) с правите \(B C\), \(C A\) и \(A B\), и съответно с \(A_{I}, B_{I}\) и \(C_{I}\), , а допирните точки на \(k\left(I_{S}\right)\) (\(s=A, B, C\) ) ) с правите \(B C, C A\) и \(A B\) съответно с \(A_{I_{s}}, B_{I_{s}}\) и \(C_{I_{s}}(s=A, B, C)\). Средите \(M_{A}, M_{B}, M_{C}, M_{B C}, M_{C A}\) и \(M_{A B}\) съответно на отсечките \(I_{A}, I_{B}, I_{C}, I_{B} I_{C}, I_{C} I_{A}\) и \(I_{A} I_{B}\), IB, IC, IBIC, ICIA и IAIB, както е показано в (Ненков, 2008), лежат на конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\), описано около \(\triangle A B C\). Точката \(H\), която се получава от \(O\) чрез равенството \(\overrightarrow{H G}=2 \cdot \overrightarrow{G O}\), поражда конично сечение \(\Omega(H)\), минаващо през точките \(A_{0}, B_{0}, C_{0}\) и пресечните точки на правите \(A H, B H\), \(C H\) съответно с правите \(B C, C A, A B\). Наричаме кривата \(\Omega(H)\) Ойлерова крива на точката \(H\) спрямо \(\triangle A B C\) (Фиг. 1).
Всяка от точките \(I, I_{A}, I_{B}, I_{C}, O\) и \(H\) еднозначно определя конфигурация от шест криви \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right), \bar{k}(O)\) и \(\Omega(H)\). Поради доказаното в (Ненков, 2008) характерно свойство на \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\) да се допират до \(\Omega(H)\), ще наричаме такова множество от шест конични сечения Фойербахова конфигурация.
Въвеждаме означенията: правата през \(I\), успоредна на \(B C\), пресича правите \(O M a\) и \(I_{A} A_{I_{A}}\) съответно в точки \(A(I)\) и \(A^{\prime}(I)\); по аналогичен начин се получават двойките точки \(B(I), B^{\prime}(I)\) и \(C(I), C^{\prime}(I)\) от правите през \(I\), съответно успоредни на страните \(C A\) и \(A B\); правата през \(I_{A}\), успоредна на \(B C\), пресича правите \(O M a\) и \(I_{A} A_{I_{A}}\) съответно в точки \(A\left(I_{A}\right)\) и \(A^{\prime}\left(I_{A}\right)\); аналогично се получават двойките точки \(B\left(I_{B}\right), B^{\prime}\left(I_{B}\right)\) и \(C\left(I_{C}\right)\), \(C^{\prime}\left(I_{C}\right)\) от прави те през \(I_{B}\) и \(I_{C}\), съответно успоредни на страните \(C A\) и \(A B\).
Във връзка с току-що въведените точки ще докажем едно твърдение, което има централна роля в обосноваването на следващите.
Твърдение 1. Точките \(A(I), B(I), C(I), A\left(I_{A}\right), B\left(I_{B}\right)\) и \(C\left(I_{C}\right)\) са среди съответно на отсечките IA¢(I), IB¢(I), IC¢(I), IAA¢(IA), IBB¢(IB) и те \(I A^{\prime}(I), I B^{\prime}(I), I C^{\prime}(I), I_{A} A^{\prime}\left(I_{A}\right), I_{B} B^{\prime}\left(I_{B}\right)\) и \(I C^{\prime}\left(I_{C}\right)\).
Идеята за доказателство на това твърдение е подобна на изложената в (Табов, 1994). Тя се състои в използването на факта, че всеки две криви във Фойербаховата конфигурация са хомотетични (Ненков, 2010). Разглеждаме хомотетия \(h_{a}\) с център \(A\) и преобразуваща \(k\left(I_{A}\right)\) в \(k(I)\). Ако \(h_{a}\left(A_{I_{A}}\right)=A_{1}\) и \(h_{a}(B C)=t_{1}\), от свойствата на хомотетията следва, че \(t_{1}\) е допирателна към \(k(I)\) в \(A_{1}\) и \(t_{1} \| B C\). Следователно \(A_{1}\) е диаметрално противоположна на \(A_{I}\) върху \(k(I)\). Сега ако \(I A(I) \cap\left(A_{I_{A}} \equiv A_{1} A_{I_{A}}\right)=A^{\prime}\), то се получава, че \(A^{\prime}\) е средата на \(A_{1} A_{I_{A}}\).
От свойството на допирателните, изразяващо се с равенството \(\left|B A_{I}\right|=\left|C A_{I_{A}}\right|\) (доказано в (Ненков, 2010)), лесно се вижда, че \(M_{a}\) е среда на отсечката \(A_{I} A_{I_{A}}\). Следователно \(M_{a} A^{\prime}\) е средна отсечка в \(\Delta A_{1} A_{I} A_{I_{A}}\) и затова е успоредна на \(I A_{I}\), която по построение е успоредна на \(O M_{a}\). Затова правата \(M_{a} A^{\prime}\) минава през \(O\). По друг начин казано, \(A^{\prime}\) лежи на правата \(O M_{a}\). Следователно \(A^{\prime} \equiv A(I)\). Така показахме, че \(A(I) \in A_{I_{A}}\) и че \(A(I)\) е среда на отсечката \(I A^{\prime}(I)\). Аналогично се показва, че \(B(I) \in B_{I_{B}}\) и \(C(I) \in C_{I_{C}}\), като същевременно \(B(I)\) и \(C(I)\) са среди съответно на отсечките \(I B^{\prime}(I)\) и \(I C^{\prime}(I)\). По подобен начин следва, че \(A\left(I_{A}\right) \in A A_{I}, B\left(I_{B}\right) \in B B_{I}, C\left(I_{C}\right) \in C C_{I}\), B(IB) Î BBI, C(IC ) Î CCI, като същевременно \(A\left(I_{A}\right), B\left(I_{B}\right)\) и \(C\left(I_{C}\right)\) са среди на отсечките \(I_{A} A^{\prime}\left(I_{A}\right), I_{B} B^{\prime}\left(I_{B}\right)\) и \(I_{C} C^{\prime}\left(I_{C}\right)\). С това твърдение 1 е доказано.
Фиг. 2
От доказателството на твърдение 1 се получават и следните две твърдения:
Твърдение 2. Правите A(I), B(I) и те \(A(I), B(I)\) и \(C(I)\) се пресичат в една точка или са успоредни.
Твърдение 3. Правите \(A\left(I_{A}\right), B\left(I_{B}\right)\) и \(C\left(I_{C}\right)\) се пресичат в една точка или са успоредни.
Наистина, в (Ненков, 2010) е доказано, че правите \(A_{I}, B_{I}\) и \(C_{I}\) имат обща точка \(J\) (крайна или безкрайна), която е наречена точка на Жергон, а правите \(A_{I_{A}}, B_{I_{B}}\) и \(C_{I_{C}}\) имат обща точка \(N\) (крайна или безкрайна), която е наречена точка на Нагел за разглежданата Фойербахова конфигурация. Тъй като тези две тройки прави, според доказаното в твърдение 1, съвпадат съответно с тройките \(A(I), B(I), C(I)\) и \(A\left(I_{A}\right), B\left(I_{B}\right), C\left(I_{C}\right)\), то непосредствено се получат твърва дения 2 и 3.
По този начин намираме още по едно свойство на точките на Жергон и Нагел. Аналогични твърдения лесно се свързват и с другите точки на Жергон и Нагел, разгледани в (Ненков, 2010). Когато точката \(I\) е центърът на вписаната окръжност, т.е. Фойербаховата конфигурация се състои от окръжности, от твърдение 2 получаваме теоремата на Лонгшамп, доказана в (Табов, 1994), а от твърдение \(3-\) задача 4 от рубриката „Конкурсни задачи“ на сп. „Математика и информатика“, 1998, № 1.
Нека \(I M_{a} \cap A H=H(A), I M_{b} \cap B H=H(B), I M_{c} \cap C H=H(C), I_{A} M_{a} \cap A H=H\left(A_{I_{A}}\right)\), \(I_{B} M_{b} \cap B H=H\left(B_{I_{B}}\right)\) и \(I_{C} M_{c} \cap C H=H\left(C_{I_{C}}\right)\). За тези точки е изпълнено следното
Твърдение 4.
Изпълнени са равенствата: \(A H(A)=I A_{1}, B H(B)=I B_{1}, C H(C)=I C_{1}, A H\left(A_{I_{A}}\right)=\) \(I_{A} A_{I_{A}}, B H\left(B_{I_{B}}\right)=I_{B} B_{I_{B}}, C H\left(C_{I_{C}}\right)=I_{C} C_{I_{C}}\).
От твърдение 1 следва, че \(I A(I)=M_{a} A_{I_{A}}\) и \(I A(I) \| M_{a} A_{I_{A}}\). Следователно \(I A(I)\) \(A_{I_{A}} M_{a}\) е успоредник, откъдето \(H(A) M_{a} \| A A(I)\) и \(A(I) M_{a} \| A H(A)\) ( по построение). Затова \(A H(A) M_{a} A(I)\) е успоредник. Оттук \(A H(A)=A(I) M_{a}\). От друга страна, според твърдение \(1, A(I) M_{a}=I A_{\mathrm{I}}\). Така получаваме \(A H(A)=I A_{I}\). По аналогичен начин се доказват и останалите равенства.
Накрая ще отбележим следното
Твърдение 5.
а) Правите \(I_{A} A_{I_{A}}, I_{B} B_{I_{B}}, I_{C} C_{I_{C}}\) се пресичат в една точка \(P\), симетрична на \(I\) спрямо O;
б) Правите \(I A_{1}, I_{B} C_{I_{B}}, I_{C} B_{I_{C}}\) се пресичат в една точка \(P_{A}\), симетрична на \(I_{A}\) спрямо \(O\);
в) Правите \(I B_{I}, I_{C} A_{I_{C}}, I_{A} C_{I_{A}}\) се пресичат в една точка \(P_{B}\), симетрична на \(I_{B}\) спрямо \(O\);
г) Правите \(I C_{I}, I_{A} B_{I_{A}}, I_{B} A_{I_{B}}\) се пресичат в една точка \(P_{C}\), симетрична на \(I_{C}\) спрямо O.
Нека \(t_{1}\) е транслация с вектор \(2 . \overrightarrow{I A(I)}\) и \(t_{2}\) е транслация с вектор 2. \(\overrightarrow{A(I) O}\). Тогава \(t_{2}{ }^{\circ} t_{1}(I)=t_{2}\left(A^{\prime}(I)\right)=P\), където \(P\) е точка, симетрична на \(A^{\prime \prime}(I)\). Но \(t_{2}{ }^{\circ} t_{1}\) е централна симетрия с център \(O\), следователно \(P\) е симетрична на \(I\) спрямо \(O\) и лежи върху правата \(I_{A} A_{I_{A}}\). По аналогични причини точката \(P\) лежи и върху правите \(I_{B} B_{I_{B}}\) и \(I_{C} C_{I_{C}}\). По подобен начин се доказват и останалите конкурентности.
Като приложение на твърдение 5 се получава решение на задача 3, публикувана в сп. „Математика и информатика“, брой 3, 2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
Ненков, В. (2008). Обобщение на теоремата на Фойербах. Математика и информатика, 2, 35–42.
Ненков, В. (2010). Няколко свойства на Фойербаховата конфигурация. Математика и информатика, 5, 42–61.
Паскалев, Г. & Чобанов, И. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.
Табов, Й. (1994). Три проекции върху симетралите. Обучението по математика и информатика, 4, 74.