© AI
Educational Matters
SOME TRAJECTORIES DETERMINED BY ISOSCELES TRIANGLES
Abstract. The paper presents the main results of the work of an international group of students in the frames of the research project “Geometry Scrabble in Cloud”. The study consisted in creating and solving problems that were generalizations and natural analogues of a starting problem. It applied analytical geometry methods and was software supported by GeoGebra, Geometer’s Sketchpad and Maple. As a result various problems were created leading to loci like Euler line, curves of second degree and also curves of higher order.
Keywords: locus, Euler line, Euler curve, curve of second degree
В конце сентябре 2015 году мы начали участие в международном сетевой исследовательской проекте „Геометрический Scrabble в облаках“, которой продолжался до начала мая 2016 года. В этот период мы работали над развитием идеи задачи, предложенной профессором Шабановой в качестве стартовой: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне построены правильные треугольники \(A M C\) и \(C N B\), лежащие в одной полуплоскости. Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\)– точка пересечения биссектрисы угла \(M C N\) с отрезком \(M N\).
После получения различных решений стартовой задачи с помощью GeoGebra и Geometer’s Sketchpad мы получили ее обобщение и поставили новые задачи, которые являются вариантом стартовой задачи. Некоторые из полученных результатов мы приведем ниже.
1. Обобщение стартовой задачи и кривые второго порядка. При решении стартовой задачи мы получили, что искомая траектория является часть параболой. Следующий этап состоялся в нахождении обобщения стартовой задачи. Наши исследования опирались на следующие наблюдения: когда \(C T\) является биссектрисой угла \(∢ M C N\), то \(T\) такая точка на отрезке \(M N\) что выполнено соотношение \(\tfrac{M T}{N T}=\tfrac{C M}{C N}\). Тогда, мы можем взять точку \(T\) на прямой \(M N\) так что \(\tfrac{\overline{M T}}{\overline{N T}}=k \cdot \tfrac{C M}{C N}\), где \(k \neq 0\) произвольное действительное число. Далее мы можем заменить правильные треугольники равнобедренными треугольниками \(A C M\) и \(C B N\), для которых выполняются равенства \(∢ A C M=∢ C A M=\alpha\) и \(∢ B C N=∢ C B N=\beta\). Так получается следующее обобщение стартовой задачи:
Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне, построены равнобедренные треугольники AMC и CNB, лежащие в одной полуплоскости и с углами при основаниях \(A C\) и \(B C\), соответственно, \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\), которая находится на прямой \(M N\) и выполнено соотношение \(\tfrac{\overline{M T}}{\overline{N T}}=k \cdot \tfrac{C M}{C N}\), где \(k \neq 0\) произвольное действительное число.
Компьютерные эксперименты показали, что траектория в одном случае казалась параболой (Рис. 1), а в другом – гиперболой (Рис. 2). Из всех полученных результатов мы пришли к следующему выводу: Точка \(T\) описывает часть кривой второго порядка.
Мы получили только гипотезу. Необходимо было ее доказать. Представим доказательство.
Рис. 1
Рис. 2
Рассмотрим систему координат \(A x y\), при которой \(A(0,0), B(0, c)\), \(C\left(c_{0}, 0\right)\) (рис. 3). Тогда
(1) \[ M\left(\tfrac{c_{0}}{2}, \tfrac{c_{0}}{2} \operatorname{tg} \alpha\right), N\left(\tfrac{c+c_{0}}{2}, \tfrac{c-c_{0}}{2} \operatorname{tg} \beta\right), \]
(2) \[ C M=\tfrac{c_{0}}{2 \cos \alpha}, C N=\tfrac{c-c_{0}}{2 \cos \beta} . \]
Рис. 3
Если \(T\) такая точка прямой \(M N\), для которой \(\tfrac{\overline{M T}}{\overline{N T}}=\lambda\), то выполнено векторное равенство \(\overrightarrow{A T}=\tfrac{\overrightarrow{A M}-\lambda \overrightarrow{A N}}{1-\lambda}\). Отсюда получается, что координаты точки \(T(x, y)\) выражаются по следующим формулам:
(3) \[ x=\tfrac{x_{M}-\lambda x_{N}}{1-\lambda}, y=\tfrac{y_{M}-\lambda y_{N}}{1-\lambda} . \]
Если \(k\) действительное число и \(\lambda=k \cdot \tfrac{C M}{C N}\), тогда из \((2)\) получается \(\lambda=\tfrac{k c_{0} \cos \beta}{\left(c-c_{0}\right) \cos \alpha}\). Этот результат вместе с ( 3) дает координаты точки \(T\) в следующим виде
(4) \[ \begin{gathered} x=c_{0} \cdot \tfrac{c(\cos \alpha-k \cos \beta)-c_{0}(\cos \alpha+k \cos \beta)}{2\left[c \cos \alpha-c_{0}(\cos \alpha+k \cos \beta)\right]} \\ y=\tfrac{c_{0}\left(c-c_{0}\right)(\sin \alpha-k \sin \beta)}{2\left[c \cos \alpha-c_{0}(\cos \alpha+k \cos \beta)\right]} \end{gathered} \]
Используя почленное деление координат \((4)\) получаем:
\[ \tfrac{x}{y}=\tfrac{c(\cos \alpha-k \cos \beta)-c_{0}(\cos \alpha+k \cos \beta)}{\left(c-c_{0}\right)(\sin \alpha-k \sin \beta)} . \]
Отсюда получается
(5) \[ \begin{aligned} & c_{0}=c \cdot \tfrac{(\sin \alpha-k \sin \beta) x-(\cos \alpha-k \cos \beta) y}{(\sin \alpha-k \sin \beta) x-(\cos \alpha+k \cos \beta) y} \\ & c-c_{0}=\tfrac{-2 c k \cos \beta y}{(\sin \alpha-k \sin \beta) x-(\cos \alpha+k \cos \beta) y} \end{aligned} \]
Из \((5)\) и второго равенства \((4)\) следует, что геометрическое место, которое описано условием задачи, это кривая \(K_{1}\)
(6) \(K_{1}:(\sin \alpha-k \sin \beta)^{2} x^{2}-(\cos \alpha+k \cos \beta)^{2} y^{2}-c(\sin \alpha-k \sin \beta)^{2} x+c(\sin \alpha-k \sin \beta)(\cos \alpha-k \cos \beta) y=0 .\)
Так наша гипотеза подтвердилась, т.е. мы получили, что желанное геометрическое место – кривая второго порядка. Что бы определить вид кривой \(K_{1}\) в зависимости от константы \(k\) и углов \(\alpha\) и \(\beta\) необходимо пользоваться инвариантами \(K_{1}\). После совершения необходимых вычислений получаем следующие выводы:
1) если \(k \neq \tfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}\) и \(k \neq-\tfrac{\cos \alpha}{\cos \beta}\), то \(K_{1}\) гипербола (рис. 2);
2) если \(k=\tfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}\), то \(K_{1}\) двойная прямая (рис. 4);
3) если \(k=-\tfrac{\cos \alpha}{\cos \beta}\), то \(K_{1}\) парабола (рис. 1).
Рис. 4
К случаю 3) относятся и подобные треугольники, т.е. когда \(\beta=\alpha\). В этом случае \(k=-1\) и \(C T\) снова является биссектрисой угла \(M C N\). Уравнение параболы (6) запишется в следующем виде
(9) \[ y=-\tfrac{1}{c} \cdot \operatorname{tg} \alpha \cdot x^{2}+\operatorname{tg} \alpha \cdot x . \]
Из уравнения ( 9) мы получаем, что в точках \(A(0,0), B(c, 0)\) и \(T\left(c_{0}, \tfrac{c_{0}\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha}{c}\right)\) соответственные касательные \(t_{A}, t_{B}\) и параболы имеют следующие уравнения: \(t_{A}: y=\operatorname{tg} \alpha \cdot x, \quad t_{B}: y=-\operatorname{tg} \alpha \cdot x+c \cdot \operatorname{tg} \alpha\), \(t_{T}:\left(c-2 c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha \cdot x-c \cdot y+c_{0}^{2} \operatorname{tg} \alpha=0\) соответственно. Эти уравнения совпадают с уравнениями прямых \(A M, B N\) и \(M N\). Так мы доказали, что прямые \(A M, B N\) и \(M N\)-касательные параболы, когда равнобедренные треугольники \(A C M\) и \(B C N\) подобные.
2. Прямая, как геометрическое место точек, делящие отрезки в постоянном отношении. В стартовой задаче естественно заменит биссектрису \(C T\) медианой. Так получается следующая задача: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне, построены правильные треугольники \(A M C\) и \(B N C\), лежащие в одной полуплоскости. Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет \(T\)– точка пересечения медианы \(C T\) треугольника \(M N C\) с отрезком \(M N\).
Эту задачу обобщаем следующим образом: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, какна стороне, построены равнобедренные треугольники \(A M C\) и \(C N B\), лежащие в одной по-луплоскости и имеющие углы при основании \(A C\) и \(B C\) соответственно \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\), которая находится на прямой \(M N\) и выполнено соотношение \(\cfrac{\overline{M T}}{\overline{N T}}=k\) , где \(k \neq 0,1\) произвольное действительное число.
Компьютерные эксперименты показали, что искомое геометрическое место – отрезок (рис. 5, 6).
Для доказательства рассмотрим систему координат \(A x y\), как при решений предыдущей задачи (рис. 3). Если \(T(x, y)\) такая точка прямой \(M N\), для которой \(\cfrac{\overline{M T}}{\overline{N T}}\) =, то изk \((2)\) и \((3)\) получаются равенства:
(10) \[ x=\tfrac{(1-k) c_{0}-k c}{2(1-k)}, y=\tfrac{(\operatorname{tg} \alpha+k \cdot \operatorname{tg} \beta) c_{0}-k c \cdot \operatorname{tg} \beta}{2(1-k)} . \]
Рис. 5
Рис. 6
Из первого равенства ) следует \(c_{0}=\tfrac{2(1-k) x+k c}{1-k}\). Подставим \(c_{0}\) во
второе равенство \((10)\) и после переработки получим уравнение прямой \(K_{2}\) следующего вида:
(11) \(K_{2}: 2(1-k)(\operatorname{tg} \alpha+k \cdot \operatorname{tg} \beta) x-2(1-k)^{2} y+k c[\operatorname{tg} \alpha+(2 k-1) \operatorname{tg} \beta]=0\).
Следовательно, геометрическое место точек \(T\) отрезка прямой \(K_{2}\), концы которого точки \(A_{1}\left(\tfrac{k c}{2(k-1)}, \tfrac{k c \cdot \operatorname{tg} \beta}{2(k-1)}\right)\) и \(B_{1}\left(\tfrac{(2 k-1) c}{2(k-1)}, \tfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha}{2(1-k)}\right)\). Точки \(A_{1}\) и \(B_{1}\) получаются из \(10\) при \(c_{0}=0\) и \(c_{0}=c\) соответственно. Они соответствуют следующими совпадениями \(C \equiv A\) и \(C \equiv B\).
Прямая \(K_{2}\) может быть параллельной прямой \(A B\) только тогда, когда \(k=-\tfrac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \beta}\) (рис. 6). В этом случае уравнение \((11)\) преобразуется в следующее
(12) \[ y=\tfrac{2 k^{2} c \cdot \operatorname{tg} \alpha}{2(1-k)^{2}} x . \]
Когда равнобедренные треугольники \(A C M\) и \(B C N\) подобны, т.е. \(k=-1\), точка \(T\) середина отрезка \(M N\). Из \((12)\) получается уравнение
(13) \[ y=\tfrac{c}{4} \cdot \operatorname{tg} \alpha \cdot x, \]
содержащее частный случай правильных треугольников.
3. Касательные и кривые второго порядка. Новая идея преобразовала стартовую задачу в новую задачу. Ее содержание следующее: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне построены правильные треугольники \(A C M\) и \(B C N\), лежащие в одной полуплоскости. Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\)– точка пересечения касательной \(к\) описанными окружностям около треугольников \(A C M\) и \(B C N\) с прямой \(M N\).
Эту задачу обобщаем следующим образом: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне построены равнобедренные треугольники \(A M C\) и \(C N B\), лежащие в одной полуплоскости и с углами при основании \(A C\) и \(B C\) соответственно \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\), в которой касательная к описанным окружностям около треугольников \(A C M\) и \(B C N\) пересекается с прямой \(M N\).
Рис. 7
Общая касательная к окружностям проходит через их центр гомотетий. Центр гомотетий находится на линии центров окружностей. Точки \(M\) и \(N\) гомотетичные, поэтому прямая \(M N\) проходит через центр гомотетий окружностей. Следовательно, достаточно найти траекторию, которую опишет точка \(T\) пересечения прямой \(M N\) с линией центров окружностей.
Компьютерные эксперименты показали, что искомая траектория - кривая второго порядка (рис. 7).
Для доказательства опять рассмотрим систему координат \(A x y\) как в предыдущих решениях (рис. 3). Пусть \(A_{0}\) и \(B_{0}\) середины соответственно отрезков \(A M\) и \(B N\). Тогда, при помощи (1) и (3) (в этом случае \(\lambda=-1\) ), их координат выражаются следующим образом
(14) \[ A_{0}\left(\tfrac{c_{0}}{4}, \tfrac{c_{0}}{4} \operatorname{tg} \alpha\right), B_{0}\left(\tfrac{3 c+c_{0}}{4}, \tfrac{c-c_{0}}{4} \operatorname{tg} \beta\right) \]
Из (14) находим уравнения симметрии \(S_{A M}\) и \(S_{B N}\) отрезков \(A M\) и \(B N\) в следующем виде:
(15) \(\begin{gathered} s_{A M}: 4 x+4 \operatorname{tg} \alpha y-c_{0}\left(1+\operatorname{tg}^{2} \alpha\right)=0 \\ \end{gathered}\)
(16) \(\begin{gathered} s_{B N}: 4 x-4 \operatorname{tg} \beta y+\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg}^{2} \beta-3 c-c_{0}=0 \end{gathered}\)
С другой стороны уравнения симметрии \(S_{A C}\) и \(S_{B C}\) отрезков \(A C\) и \(B C\) следующие:
(17) \(\begin{gathered} S_{A C}: x=\tfrac{c_{0}}{2}, \\ \end{gathered}\)
(18) \(\begin{gathered} S_{B C}: x=\tfrac{c+c_{0}}{2} \end{gathered}\)
Из (15) и (16) находим координаты центра \(O_{A}\) описанной около \(\triangle A C M\) окружности, а из (17) и (18) находим координаты центра \(O_{B}\) описанной около \(\triangle B C N\) окружности. Результаты следующие
(19) \[ O_{A}\left(\tfrac{c_{0}}{2}, \tfrac{c_{0}\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-1\right)}{4 \operatorname{tg} \alpha}\right), O_{B}\left(\tfrac{c+c_{0}}{2}, \tfrac{\left(c-c_{0}\right)\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)}{4 \operatorname{tg} \beta}\right) \]
Координаты точек \(M\) и \(N\) описаны в (1). Найдем по ним уравнение прямой \(M N\). Оно имеет вид:
(20) \(M N: 2\left[c_{0} \operatorname{tg} \alpha-\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \beta\right] x+2 c y-c_{0}\left[\left(c+c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha-\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \beta\right]=0\).
Уравнение (20) можно записать и так:
(21) \((\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) c_{0}^{2}+[c(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)-2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) x] c_{0}-2 c(y-\operatorname{tg} \beta . x)=0\).
Из координат (19) находим уравнение централы \(O_{A} O_{B}\) в виде
(22) \[ \begin{aligned} O_{A} O_{B}: & 2\left[\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)-c_{0} \operatorname{tg} \beta\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-1\right)\right] x-4 c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \cdot y- \\ & c_{0}\left[\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)-\left(c+c_{0}\right) \operatorname{tg} \beta\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-1\right)\right]=0 . \end{aligned} \]
Уравнение (22) можно записать в следующем виде:
(23) \[ \begin{aligned} & (\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1) c_{0}^{2}+ \\ & +[c(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+1)-2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1) x] c_{0}+ \\ & 2 c \cdot \operatorname{tg} \alpha\left[\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right) x-2 \operatorname{tg} \beta \cdot y\right]=0 . \end{aligned} \]
Сейчас мы умножим равенство (21) на \(-(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\) и суммируем с (23). Для \(c_{0}\) получается равенство
(24) \[ c_{0}=\tfrac{(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) x+(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+1) y}{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta} . \]
Потом подставим (24) в (21) и получаем уравнение кривой \(K_{3}\) второго порядка
(25) \[ \begin{aligned} K_{3}: & (\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)^{2} x^{2}-(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+1)^{2} y^{2}- \\ & -c(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)^{2} x-c(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)^{2}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1) y=0 \end{aligned} \]
Этот кривая желанная траектория точки \(T\). На основании инвариантов \(K_{3}\) получаются следующие результаты:
1) если \(\alpha \neq \beta\), то \(K_{3}\)– гипербола (рис. 7);
2) если \(\beta=\alpha\), то \(K_{3}-\) двойная прямая (рис. 8) .
Последний результат получается самым элегантным образом, пользуясь только соображения гомотетии.
Рис. 8
5. Общая хорда окружности и кривъе четвертого порядка. Еще один вариант, который содержит описанные окружности, получается в следующей задаче: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне построены правильные треугольники ACM и BCN , лежащие в одной полуплоскости. CP – хорда, по которой пересекаются описанные около треугольников \(A C M\) и \(B C N\) окружности. Найдите, какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет то чка переса \(T\)-точк ечения прямой \(C P\) с отрезком \(M N\).
Последнюю задачу обобщаем следующим образом: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне построены равнобедренные треугольники \(A M C\) и \(C N B\), лежащие в одной полуплоскости и с углами при основании \(A C\) и \(B C\) соответственно \(\alpha\) и \(\beta\). Если \(P\) вторая точка пересечений окружностей, описанных около треугольников \(A C M\) и \(B C N\), найдите какую траекторию при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишет точка \(T\), которая получается при пересечений прямьх \(C P\) и \(M N\).
Компьютерные эксперименты показали, что искомая траектория – кривая, которая показана на рис. 9. Мы не смогли сделать осмысленное предположение о виде этой траекторий. Поэтому начали искать теоретическое решение задачи и определить вид кривой.
Рассмотрим система координат \(A x y\) (рис. 3). Из (19) уравнения окружностей \(k_{A}\) и \(k_{B}\), описанных соответственно около треугольников \(A C M\) и \(B C N\), имеют вид
(26) \(k_{A}: 2 \operatorname{tg} \alpha \cdot x^{2}+2 \operatorname{tg} \alpha \cdot y^{2}-2 c_{0} \operatorname{tg} \alpha \cdot x-c_{0}\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-1\right) y=0,\)
(27) \(k_{B}: 2 \operatorname{tg} \beta \cdot x^{2}+2 \operatorname{tg} \beta \cdot y^{2}-2 \operatorname{tg} \beta (c+c_0)x-(c-c_0)( \operatorname{tg}^2 \beta -1)y+2cc_0\operatorname{tg} \beta=0\) .
Из (26) и (27) получим координаты второй точки \(P\left(x_{P}, y_{P}\right)\) пересечений \(k_{A}\) и \(k_{B}\) вида:
(28) \(x_{P}=\tfrac{c c_{0} \operatorname{tg} \beta\left\{\operatorname{ctg} \alpha\left[(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}-(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)^{2}\right]+c_{0}\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-1\right)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\right\}}{\left[\operatorname{c} \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)-c_{0}(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\right]^{2}+4 c^{2} \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta},\)
(29) \[ \tfrac{2 c c_{0}\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)}{\left[c \cdot \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)-c_{0}(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\right]^{2}+4 c^{2} \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta} . \]
Из (28) и (29) получается уравнение прямой \(C P\) в виде:
(30) \[ \begin{aligned} C P: & 2 c\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta . x+\left\{c^{2} \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)+c_{0}^{2}(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)-\right. \\ & \left.-c c_{0}\left[(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)+\operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)\right]\right\} y-2 c c_{0}\left(c-c_{0}\right) \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta=0 \end{aligned} \]
Уравнение (30) можно записать и так:
(31) \[ \begin{aligned} C P: & {[(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1) y+2 c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta] c_{0}^{2}-} \\ & -\left\{2 c \cdot \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \cdot x+c\left[(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)+\operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right)\right] y+2 c^{2} \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right\} \cdot c_{0}+ \\ & +2 c^{2} \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta \cdot x+c^{2} \operatorname{tg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right) y=0 \end{aligned} \]
Из равенства (21) и (31) получаем \(c_{0}^{2}\) и получаем равенство Потом подставим \(c_{0}\) в \((32)\) в \((21)\) и получаем кривую \(K_{4}\) четвертого порядка
\[ \begin{aligned} & \begin{array}{l} (33) K_{4}: A_{04} y^{4}+A_{31} x^{3} y+A_{13} x y^{3}+A_{22} x^{2} y^{2}+A_{30} x^{3}+A_{03} y^{3}+ \\ +A_{21} x^{2} y+A_{12} x y^{2}+A_{20} x^{2}+A_{02} y^{2}+A_{11} x y+A_{10} x+A_{01} y=0, \end{array} \\ & \text { где } A_{04}=2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{3}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)^{2}, A_{31}=4 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{3}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1), \\ & A_{13}=2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{3}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta-2 \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta\right), \\ & A_{22}=2 \operatorname{tg} \alpha(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{3}(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)\left(4 \operatorname{tg}^{2} \beta-\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right), A_{30}=4 c \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}, \\ & A_{03}=-c \cdot \operatorname{tg}^{2}(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}\left(2 \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta-8 \operatorname{tg}^{3} \operatorname{tg}^{3} \beta+\right. \\ & \left.+\operatorname{tg}^{3} \beta-5 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta-6 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+8 \operatorname{tg}^{2} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta\right), \\ & A_{21}=-2 c \cdot \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta\left(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta\right)^{2}\left(3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+5 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-4 \operatorname{tg}^{2} \beta-3 \operatorname{tg} \alpha-3 \operatorname{tg} \beta\right), \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & A_{12}=-c \cdot \operatorname{tg} \alpha(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}\left(\operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+12 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+8 \operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{4} \beta-20 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-3 \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg} \beta+\right. \\ & \left.+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta-4 \operatorname{tg}^{3} \beta-16 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \alpha-4 \operatorname{tg}^{2} \beta+21 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right), \\ & \quad A_{20}=-8 c^{2} \cdot \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}, \\ & \quad A_{02}=c^{2} \cdot \operatorname{tg}^{2} \alpha(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left(\operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{4} \beta+2 \operatorname{tg}^{5} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+2 \operatorname{tg}^{4} \operatorname{tg}^{4} \beta+9 \operatorname{tg}^{4} \beta-\right. \\ & \left.\quad-15 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-\operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg} \beta-13 \operatorname{tg}^{3} \operatorname{tg}^{3} \beta+2 \operatorname{tg}^{3} \beta-10 \operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{2} \beta+2 \operatorname{tg}^{2} \alpha+3 \operatorname{tg}^{2} \beta+21 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right), \\ & \quad A_{11}=2 c^{2} \cdot \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) \times \\ & \quad \times\left(\operatorname{tg}^{3} \alpha+3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-2 \operatorname{tg}^{2} \beta-6 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+3 \operatorname{tg}^{2} \alpha-3 \operatorname{tg}^{2} \beta\right), \\ & \quad A_{10}=4 c^{3} \cdot \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta\right)^{2}, \\ & \quad A_{01}=2 c^{3} \cdot \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg} \beta\left(-\operatorname{tg}^{4} \beta+\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-4 \operatorname{tg}^{3} \beta+4 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-8 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta\right) . \end{aligned} \]
Следовательно, желанная траектория является кривая четвертого порядка.
6. Прямая Эйлера и параболическая оболочка. Мы исследовали случаи, когда отрезок \(C T\) был медианной и высотой треугольника \(M N C\). Эти отрезки связаны с особыми точками \(\triangle M N C\) медиацентра и ортоцентра. Эти точки находятся на прямой, называемой прямой Эйлера \(\triangle M N C\). \(B\) результате мы поставили следующую задачу: Отрезок \(A B\) разделен произвольной точкой \(C\) на две части. На каждой из этих частей, как на стороне, построены равнобедренные треугольники \(A M C\) и \(C N B\), лежащие в одной полуплоскости, с углами при основании \(A C\) и \(B C\) соответственно \(\alpha\) и \(\beta\). Найдите, какие траектории при перемещении точки \(C\) по отрезку \(A B\) опишут ортоцентр \(H\), медиацентр \(G\) и центр \(O\) описанной окружности треугольника MNC . Существует ли некоторая связь между траекториями?
Рис. 10
Результаты, которые мы получили экспериментальным путем, были следующими:
1) эти точки описывают отрезки;
2) точка \(H\) описывает отрезок, параллельный прямой \(A B\);
3) концы отрезка находятся на двух прямьх \(l_{a}\) и \(l_{b}\) (рис. 10) .
Точки \(H, G\) и \(O\) находятся на прямой Эйлера. Центр \(E\) окружности Эйлера тоже находится на прямой Эйлера. Эксперименты показали, что траектория \(E\) тоже отрезок, концы которого оказались на найденных двух прямых \(l_{a}\) и \(l_{b}\). Тогда мы решили экспериментировать с произвольной точкой прямой Эйлера, которая обладает общим свойством с этой прямой. Как сделать это? Точка \(J\), которая находится на прямой Эйлера и делит отрезок \(O H\) в одном и тоже отношение \(\lambda\), имеет такое свойство. Когда число \(\lambda\) изменяется на множестве действительных чисел, точка \(J\) будет описывать прямую Эйлера. Мы построили точку \(J\) при произвольном отношении \(\lambda\) и установили, что в каждом случае траектория точки \(J-\) это отрезок, концы которого лежат на \(l_{a}\) и \(l_{b}\). Потом мы увидели, что все отрезки, которые по-лучаются, занимают некоторое положение на прямой Эйлера для \(\triangle M N C\). Отсюда возникло предположение, что прямая Эйлера сама описывает некоторое множество, которое содержит все отрезки, описываемые точкой \(J\) при разных значениях \(\lambda\). Наблюдение привело нас к гипотезе:
Прямые Эйлера описывают множество всех огибающих одной специальной параболы.
Рис. 11
После совершения необходимых вычислений относительно системы координат \(A x y\) мы получили следующие результаты:
1) Ортоцентр \(H\) описывает отрезок прямой \(h: 2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) y-c(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)=0\), концы которого
\[ \begin{array}{r} H_{a}\left(-\tfrac{c \cdot \operatorname{tg} \beta(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)}{2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \tfrac{c(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)}{2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right) \\ H_{b}\left(\tfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg} \alpha+2 \operatorname{tg} \beta\right)}{2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \tfrac{c(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)}{2(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right) \end{array} \]
Этот отрезок параллелен \(A B\).
2) Медиацентр \(G\) описывает отрезок прямой \(g: 6(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) x-24 y-c(\operatorname{tg} \alpha-5 \operatorname{tg} \beta)=0\), концы которого
\(G_{a}\left(\tfrac{c}{6}, \tfrac{c \cdot \operatorname{tg} \beta}{6}\right), G_{b}\left(\tfrac{5 c}{6}, \tfrac{c \cdot \operatorname{tg} \alpha}{6}\right)\).
3) Центр описанной окружности описывает отрезок прямой \(o: 4\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) x+4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-3) y-c\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+1\right)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-3\right)=0\), концы которого
\[ O_{a}\left(\tfrac{\operatorname{ctg} \alpha\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+1\right)}{4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \tfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+1\right)}{4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right), O_{b}\left(\tfrac{c\left(-\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+4 \operatorname{tg} \alpha+3 \operatorname{tg} \beta\right)}{4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \tfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+1\right)}{4(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right) \] 4) Центр окружности Эйлера описывает отрезок прямой
\[ \begin{array}{ll} e: & 8\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) x-8(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+5) y+ \\ & +c\left[(\operatorname{tg} \alpha+5 \operatorname{tg} \beta)\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1\right)+(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta)\left(\operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{2} \beta-\operatorname{tg} \alpha-2 \operatorname{tg} \beta\right)\right]=0, \end{array} \] концы которого \(E_{a}\left(\tfrac{c\left(-\operatorname{tg}^{\alpha} \operatorname{tg}^{2} \beta+\operatorname{tg} \alpha+2 \operatorname{tg} \beta\right)}{8(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \tfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1\right)}{8(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right)\),
\(E_{b}\left(\tfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+6 \operatorname{tg} \alpha+7 \operatorname{tg} \beta\right)}{8(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \tfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha+2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1\right)}{8(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right)\).
5) Точка \(J\), для которой выполнено \(\tfrac{\overline{O J}}{\overline{H J}}\), описывает отрезок прямой
\[ \begin{aligned} j: & 4(1-\lambda)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right) x+4(1-\lambda)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)[(2 \lambda+1) \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+2 \lambda-3] y- \\ & -c\left[\left(1-4 \lambda^{2}\right)\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta\right)+8 \lambda \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \alpha+(4 \lambda-3) \operatorname{tg}^{2} \beta+(2 \lambda+1)(2 \lambda-3)\right]=0, \end{aligned} \]
концы которого
\[ \begin{aligned} & J_{a}\left(\tfrac{c\left[(2 \lambda+1) \operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{2} \beta+\operatorname{tg} \alpha-2 \lambda \operatorname{tg} \beta\right]}{4(1-\lambda)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \tfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-2 \lambda \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+2 \lambda+1\right)}{4(1-\lambda)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right) \\ & J_{b}\left(-\tfrac{c\left[(2 \lambda+1) \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+2(\lambda-2) \operatorname{tg} \alpha+(4 \lambda-3) \operatorname{tg} \beta\right]}{4(1-\lambda)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}, \tfrac{c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-2 \lambda \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+2 \lambda+1\right)}{4(1-\lambda)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)}\right) \end{aligned} \]
Прямая \(j\) при \(\lambda=\infty,-\tfrac{1}{2}, 0,-1\) переходит, соответственно, в прямых \(h\), \(g, o, e\)
6) Точки \(H_{a}, G_{a}, O_{a}, E_{a}\) и \(J_{a}\) лежат на прямой
\[ l_{a}: 2\left(\operatorname{tg}^{2} \beta-2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+3\right) x-2\left(3 \operatorname{tg}^{2} \operatorname{tg}^{2} \beta+\operatorname{tg} \alpha-2 \operatorname{tg} \beta\right) y+c\left(\operatorname{tg}^{2} \beta+1\right)(\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)=0, \] а точки \(H_{b}, G_{b}, O_{b}, E_{b}\) и \(J_{b}\) лежат на прямой
\[ l_{b}: \begin{aligned} & 2\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+3\right) x+2\left(3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta-2 \operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta\right) y- \\ & -c\left(\operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg} \beta+\operatorname{tg}^{2} \alpha-3 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta+5\right)=0 \end{aligned} \]
7) Все прямые \(h, g, o, e, j, l_{a}\) и \(l_{b}\) являются специальными положениями прямой Эйлера \(\triangle M N C\) при движении \(C\) по \(A B\). Прямые \(h, g, o, e, j, l_{a}\) и \(l_{b}\) касаются кривой второго порядка
\[ K_{5}: a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 a_{13} x+2 a_{23} y+a_{33}=0 \]
, где
\[ \begin{aligned} & a_{11}=\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)^{2}, a_{12}=\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)(3 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1), \\ & a_{22}=(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)^{2}(3 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-1)^{2}, a_{13}=-c\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha-\operatorname{tg}^{2} \beta\right)\left(2 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta-2 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-\operatorname{tg}^{2} \beta-1\right), \\ & a_{23}=-c(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta)\left(3 \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta-3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{2} \beta+\operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg} \beta-\right. \\ & \left.-2 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+\operatorname{tg}^{2} \alpha+2 \operatorname{tg}^{2} \beta+4 \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta-2\right), \\ & a_{33}=c^{2}\left(\operatorname{tg}^{4} \alpha \operatorname{tg}^{4} \beta+\operatorname{tg}^{4} \alpha \operatorname{tg}^{2} \alpha-3 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg}^{4} \beta+4 \operatorname{tg}^{3} \alpha \operatorname{tg}^{3} \beta+\operatorname{tg}^{4} \beta-\operatorname{tg}^{2} \alpha+\operatorname{tg}^{2} \beta-4 \operatorname{tg}^{2} \alpha \operatorname{tg} \beta+4\right) . \end{aligned} \]
Вид кривой \(K_{5}\) определяется следующим образом:
7.1) Если углы \(\alpha\) и \(\beta\) не удовлетворяют ни одному из следующих равенств: а) \(\alpha=\beta\); б) \(\alpha-\beta=60^{\circ}\); в) \(\alpha-\beta=120^{\circ}\), то кривая \(K_{5}\)– парабола;
7.2) Если углы \(\alpha\) и \(\beta\) удовлетворяют хотя бы одному из следующих равенств:
а) \(\alpha=\beta\); б) \(\alpha-\beta=60^{\circ}\); в) \(\alpha-\beta=120^{\circ}\), то кривая \(k-\) двойная прямая.
В специальном случае, когда \(\alpha=\beta=60^{\circ}\) получается, что все прямые \(h, g, o, e, j, l_{a}\) и \(l_{b}\) совпадают (рис. 12).
Рис. 12
В конце скажем, что мы рассмотрели и случаи, в которых равнобедренные треугольники заменили равнобедренными трапециями. Так получились еще кривые второго порядка и кривые седьмого порядка.
REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА
Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012). Around the orthocenter in the plane and the space. Sofia: Arhimedes 2000 [Гроздев, С. В. Ненков (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед 2000].
Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012). Three notable points on the triangle medians. Sofia: Arhimedes 2000. [Гроздев, С. & В. Ненков (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника. София: Архимед 2000].
Modenov, P. (1969). Analytical geometry. Moscow: Moskow University. [Моденов, П. (1969). Аналитическая геометрия. Москва: Московский университет].
Sergeeva T., Shabanova M. & Grozdev S. (2014). Foundations of Dynamic Geometry. Moscow: ASOU. [Сергеева, Т., Шабанова, М. & Гроздев, С. (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.]
Georgieva, M. & Grozdev, S. (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4^{\text {th }}\) ed.). Sofia: Publ. House “Iztok-Zapad”. (ISBN 978-619-152-869-1). 327 pages [Георгиева, М. Гроздев, С. (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.) София: Издателство „Изток – Запад“].