© AI
Educational Technologies
NATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIAD FOR UNIVERSITY STUDENTS
Abstract. The traditional National mathematical Olympiad for University students took place in Pamporovo resort from 18 to 21 May 2017. The event was hosted by the Plovdiv University “P. Hilendarski”. More than 100 students participated in the Olympiad representing 14 Universities from Bulgaria and 2 Universities from abroad. The competition was organized in 3 groups depending on the mathematical curriculum in different Universities. The paper discusses the problems of the third group, in which students from Economics Universities study Mathematics with small number of classes. Methodological solutions are proposed.
Keywords: problem; solution; Olympiad; University; student
и \(y\) са реални числа.
Задача 1. Дадени са матриците \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right)\) и \(B=\left(\begin{array}{cc}x & -2 y \\ y & x\end{array}\right)\), където \(x\) и \(y\) са реални числа.
a) Да се намери детерминантата \(D\) на матрицата \(A . B\).
б) Да се докаже, че точките \(M(x, y)\), за които уравнението \(3 D \cdot u^{2}+D \cdot u+3=0\) няма реални корени, лежат във вътрешността на елипса. Да се определят дължините на осите на елипсата.
в) Ако \(x^{2}+y^{2} \neq 0\) и \(A^{2018} \cdot B=B^{2018} \cdot A\), да се докаже, че \(A^{2017}=B^{2017}\).
Задача 2. Дадена е параболата \(\pi: y^{2}=8 . x\). Правата \(l\) минава през точката \(M(-2, a)(a \in \mathbb{R})\) и е успоредна на оста на \(\pi\). Параболата \(\pi\) пресича \(l\) в точка \(C\) и точката \(A\) е симетрична на точката \(F(2,0)\) спрямо \(C\).
а) Да се намерят координатите на \(C\).
б) Да се намерят координатите на \(A\).
в) Да се намери броят на общите точки на описаната около \(\triangle A M C\) окръжност и параболата \(\pi\) в зависимост от стойностите на \(a\).
Задача 3. Графиките на функциите \(f(x)=x^{2017}\) и \(g(x)=a \cdot \ln x\) \((a \in \mathbb{R}, a \neq 0)\) имат обща допирателна \(t\) в точка \(T\).
a ) Да се намерят \(a\) и координатите на \(T\).
б) Да се намери уравнението на \(t\).
в) Ако \(t\) пресича координатните оси в точките \(A\) и \(B\), а \(O\) е началото на координатната система, да се намери лицето на \(\triangle O A B\).
Решение на задача 1. а) За детерминантите на \(A\) и \(B\) имаме съответно \(\operatorname{det} A=3\) и \(\operatorname{det} B=x^{2}+2 y^{2}\). Следователно \(D=3 .\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\).
б) Дискриминантата на уравнението \(3 D \cdot u^{2}+D \cdot u+3=0\) е \(D_{0}=D^{2}-36 . D=9\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\left(x^{2}+2 y^{2}-12\right)\). Разглежданото уравнение няма реални корени, когато \(D_{0} \lt 0\). След заместване с резултата от а) получаваме, че е изпълнено неравенството \(x^{2}+2 y^{2}-12 \lt 0\). Последното записваме във вида \(\tfrac{x^{2}}{(2 \sqrt{3})^{2}}+\tfrac{y^{2}}{(\sqrt{6})^{2}} \lt 1\). Следователно точките \(M(x, y)\) лежат вътре в елипсата \(\tfrac{x^{2}}{(2 \sqrt{3})^{2}}+\tfrac{y^{2}}{(\sqrt{6})^{2}}=1\), полуосите \(a\) и \(b\) на която имат дължини \(a=2 \sqrt{3}\) и \(b=\sqrt{6}\). Следователно дължините на осите са \(2 a=4 \sqrt{3}\) и \(2 b=2 \sqrt{6}\).
в) Равенството \(A^{2018} \cdot B \quad B^{2018} \cdot A\) записваме във вида \(A^{2017} \cdot(A \cdot B)=B^{2017} \cdot(B \cdot A)\). Тъй като \(A \cdot B=B \cdot A=\left(\begin{array}{cc}x+2 y & 2(x-y) \\ -(x-y) & x+2 y\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)\) и \(D \neq 0\), то \(A^{2017}=B^{2017}\).
Решение на задача 2. Тъй като параболата \(\pi\) има канонично уравнение \(y^{2}=8 . x\) спрямо координатната система \(O x y\), то оста на \(\pi\) съвпада с абсцисната ос \(O x\). Следователно уравнението на \(l\) е \(y=a\). Системата, образувана от уравненията на \(l\) и \(\pi\), има единствено решение \(x=\tfrac{a^{2}}{8}\) и \(y=a\). Затова \(l \cap \pi=C\left(\tfrac{a^{2}}{8}, a\right)\). С това подточка а) е решена. За координатите на \(A\) са изпълнени равенствата \(x_{A}=2 x_{C}-x_{F}\) и \(y_{A}=2 y_{C}-y_{F}\). Оттук и от резултата, получен в а), следва, че \(A\left(\tfrac{a^{2}-8}{4}, 2 a\right)\). С това е решена подточка б). Симетралите \(s_{C M}\) и \(s_{A M}\) на отсечките \(C M\) и \(A M\) имат съответно следните уравнения \(s_{C M}: x=\tfrac{a^{2}-16}{16}\) и \(s_{A M}: 8 a x+32 y-a\left(a^{2}+32\right)=0\). Системата, образувана от тези уравнения, има следното решение \(x_{0}=\tfrac{a^{2}-16}{16}\), \(y_{0}=\tfrac{a\left(a^{2}+80\right)}{64}\). По този начин намерихме координатите \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) на центъра \(\Omega\) на окръжността \(k\), описана за \(\triangle A C M\).
Разстоянието \(M \Omega\) е равно на радиуса \(R\) на \(k\). От координатите на \(\Omega\) по-лучаваме равенството \(R^{2}=\left(\tfrac{a^{2}+16}{16}\right)^{3}\). Оттук намираме уравнението на окръжността \(k: 32 x^{2}+32 y^{2}-4\left(a^{2}-16\right) x-a\left(a^{2}+80\right) y+a^{2}\left(a^{2}+40\right)=0\). От уравненията на \(k\) и \(\pi\) получаваме, че ординатите на общите за \(k\) и \(\pi\) точки удовлетворяватуравнението \((y-a)^{2}\left(y^{2}+2 a y+2 a^{2}+80\right)=0\). Завтория множител в това уравнение имаме \(y^{2}+2 a y+2 a^{2}+80=(y+a)^{2}+a^{2}+80 \gt 0\). Затова той няма реални корени. Следователно уравнението има един двоен корен \(y=a\). Оттук и а) следва, че \(C\left(\tfrac{a^{2}}{8}, a\right)\) е единствената обща точка на \(k\) и \(\pi\) при произволно реално число \(a\). Следователно \(k\) и \(\pi\) са допирателни за всички реални стойности на \(a\). С това е решена и подточка в).
Решение на задача 3. Нека абсцисата на точката \(T\) е \(x_{0}\). Тъй като функциите \(f(x)\) и \(g(x)\) се допират в \(T\), то \(f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)\) и \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)=g^{\prime}\left(x_{0}\right)\). Затова са изпълнени равенствата \(x_{0}^{2017}=a \ln x_{0}\) и \(2017 x_{0}^{2016}=\tfrac{a}{x_{0}}\). Оттук 2017. \(a \ln x_{0}=a\), т.е. \(\ln x_{0}=\tfrac{1}{2017}\). Следователно \(x_{0}=\sqrt[2017]{e}\) и \(a=2017 e\). От-2017. \(a \ln x_{0}=a\), т.е. \(\ln x_{0}=\tfrac{1}{2017}\). Следователно \(x_{0}=\sqrt[2017]{e}\) и \(a=2017 e\). Оттук \(T(\sqrt[2017]{e}, e)\). Допирателната \(t\) има уравнение \(y-e=g^{\prime}(\sqrt[2017]{e})(x-\sqrt[2017]{e})\).
Оттук следва, че \(y=\tfrac{2017 e}{\sqrt[2017]{e}} x-2016 . e\). Нека \(t \cap O x=A\) и \(t \cap O y=B\). От уравнението на \(t\) имаме \(A\left(\tfrac{2016 \sqrt[2017]{e}}{2017}, 0\right)\) и \(B(0,-2016 e)\). Следователно \(S_{O A B}=\tfrac{2016^{2} \cdot e \cdot \sqrt[2017]{e}}{4034}\).