Abstract. Abstract: Two classes of curves of \((n+1)-\) th degree \((n \in \mathbb{N})\) are obtained in the plane of a given triangle in connection with the generalization of a problem on locus determination. What are described are the common points of those curves and two regular polygons determined by the points of intersection of the curves and the circumcircle of the triangle.

Keywords: triangle; circle; hyperbola; regular polygon; curve of (n + 1 )-th degree

Ако \(P(x, y)\) е полином на две променливи \(x\) и \(y\), а координатите \((x, y)\) на точките \(M\) спрямо равнинна Декартова координатна система удовлетворяват уравнението \(P(x, y)=0\), се казва, че точките \(M\) принадлежат на алгебрична крива \(k\) от степен \(n=\operatorname{deg} P(x, y)\), а уравнението \(P(x, y)=0\) се нарича уравнение на алгебричната крива \(k\). Едни от най-популярните алгебрични криви се описват с уравнения от вида

(1)\[ a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 a_{13} x+2 a_{23} y+a_{33}=0 \]

Тези криви се наричат криви от втора степен. Кривите от втора степен притежават редица интересни свойства. Две специални криви от този вид са свързани с решението на следната

Задача 1. Дадени са триъгълник \(ABC\) и правите \(p_a \) и \(p_b\) , минаващи съответно през върховете \(A\) и \(B\) на \(\triangle A B C\). Ако \(P=p_{a} \cap p_{b}\) и \(∢ P A C=∢ C B P=\theta\), да се определи геометричното място на точката \(P\), когато \(p_{a}\) описва множеството на всички прави през върха \(A\) на \(\triangle A B C\).

Оказва се, че търсеното геометрично място се състои от две криви от втора степен, всяка от които зависи от ориентацията на \(∢ P A C=\theta\). Ще разгледаме поотделно двата случая.

1. Хипербола, определена от положителната ориентация на \(∢ P A C=\theta\). Нека при завъртане на правата \(p_{a}\) около \(A\) на ъгъл \(\theta\) в посока, обратна на часовниковата стрелка, се получава \(p_{a} \equiv A C\), а при завъртане на правата \(B C\) около \(B\) на ъгъл \(\theta\) в посока, обратна на часовниковата стрелка, се по-лучава \(B C \equiv p_{b}\). Въвеждаме означенията \(∢ C A B=\alpha\) и \(∢ C B A=\beta\). За эгъл \(\theta\) имаме две възможности: \(0 \leq \theta \leq \alpha\) (фиг. 1) и \(\pi-\alpha \leq \theta \leq \pi\) (фиг. 2). Ще разгледаме по-специално случая, при който \(0 \leq \theta \leq \alpha, \alpha \neq \tfrac{\pi}{2}\) и \(\beta \neq \tfrac{\pi}{2}\). Нека \(C D(D \in A B)\) е височината на \(\triangle A B C\) към \(A B\). Разглеждаме Декартова координатна система \(O x y\), спрямо която \(A(a, 0), B(b, 0)\) и \(C(0, c)\) (фиг. 1). Тогава \(∢ P A B=\alpha-\theta\), а ъгълът, който сключва правата \(B P\) с положителната посока на \(O x\), е \(\pi-(\beta-\theta)\). Оттук получаваме, че Декартовите уравнения на правите \(A P\) и \(B P\) са съответно

\[ A P: y=\operatorname{tg}(\alpha-\theta) \cdot x-\operatorname{tg}(\alpha-\theta) \cdot a, B P: y=-\operatorname{tg}(\beta-\theta) \cdot x+\operatorname{tg}(\beta-\theta) \cdot b . \] От тези уравнения намираме, че координатите \((x, y)\) на \(P\) се изразяват с равенствата

\[ x=\tfrac{\operatorname{tg}(\alpha-\theta) \cdot a+\operatorname{tg}(\beta-\theta) \cdot b}{\operatorname{tg}(\alpha-\theta)+\operatorname{tg}(\beta-\theta)}, y=\tfrac{(b-a) \operatorname{tg}(\alpha-\theta) \operatorname{tg}(\beta-\theta)}{\operatorname{tg}(\alpha-\theta)+\operatorname{tg}(\beta-\theta)} \]

От последните равенства намираме \(\operatorname{tg}(\alpha-\theta)=\tfrac{y}{x-a}, \operatorname{tg}(\beta-\theta)=-\tfrac{y}{x-b}\).

Тъй като \(\operatorname{tg}(\alpha-\theta)=\tfrac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \theta}{1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \theta}, \operatorname{tg}(\beta-\theta)=\tfrac{\operatorname{tg} \beta-\operatorname{tg} \theta}{1+\operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \theta}, \operatorname{tg} \alpha=-\tfrac{c}{a} \quad\) и

\(\operatorname{tg} \beta=\tfrac{c}{b}\), то търсеното геометрично място е част от кривата от втора степен:

Ако \(\triangle A B C\) е равнобедрен, то \(a+b=0\) и от (2) следва, че \(\chi: x y=0\). В този случай търсеното геометрично място се състои от симетралата на основата \(A B\) (тя съвпада с \(C D\) ) и правата \(A B\). По-нататък, ако крива от втора степен е зададена с уравнение (1), то величините

\[ I_{1}=a_{11}+a_{22}, I_{2}=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| \text { и } I_{3}=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{13} & a_{23} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \] са инварианти на кривата. При \(a+b \neq 0\) за инвариантите на \(\quad \chi \quad\) от (2) имаме \(\quad I_{1}=0, \quad I_{2}=-\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right) \lt 0\), \(I_{3}=\tfrac{1}{4} c(a+b)(a-b)^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right) \neq 0\). Следователно \(\chi\) е хипербола. Така получихме, че когато \(0 \leq \theta \leq \alpha\), точката \(P\) описва част от хипербола \(\chi\) (фиг. 1). Лесно се вижда, че при \(\pi-\alpha \leq \theta \leq \pi\) координатите на \(P\) отново удовлетворяват уравнението (2). Това означава, че в този случай точката \(P\) описва останалата част от хиперболата \(\chi\) (фиг. 2). Така окончателно получаваме, че при \(C A \neq C B, \alpha \neq \tfrac{\pi}{2}\) и \(\beta \neq \tfrac{\pi}{2}\) точката \(P\) описва хиперболата \(\chi\), чието уравнение спрямо \(D x y\) е (2) (фиг. 3).

Сега да отбележим, че при \(\alpha=\tfrac{\pi}{2}\) имаме \(a=0\) и \(\operatorname{tg} \theta=\tfrac{x}{y}\). Оттук, както преди, намираме уравнението \(b x^{2}-2 c x y-b y^{2}-b^{2} x+c b y=0\), което се получава от (2) при \(a=0\) (фиг.4). Аналогично при \(\beta=\tfrac{\pi}{2}\) имаме \(b=0\) и \(\operatorname{tg} \theta=-\tfrac{x}{y}\), а уравнението на търсената крива е \(a x^{2}-2 c x y-a y^{2}-a^{2} x+a c y=0\), което се получава от (2) при \(b=0\) (фиг. 5).

Като вземем предвид последните особености, заключаваме, че когато ориентираният \(∢ P A C\) се изменя в положителна посока, търсеното геометрично място се състои от две перпендикулярни прави (когато \(C A=C B\) ) или хипербола \(\chi\) (когато \(C A \neq C B\) ) (фиг. 3).

2. Окръжност, определена от отрицателната ориентация на \(∢ P A C=\theta\). Нека при завъртане на правата \(l_{a}\) около \(A\) на ъгъл \(\theta\) по посока на часовниковата стрелка се получава \(l_{a} \equiv A C\), а при завъртане на правата \(B C\) около \(B\) на ъгъл \(\theta\) в посока, обратна на часовниковата стрелка, се получава \(B C \equiv p_{b}\). Лесно се вижда, че отсечката \(P C\) се вижда под еднакви ъгли. Това означава, че точката \(P\) описва дъга от описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\). По-точно, когато \(0 \leq \theta \leq \pi-\alpha\), точката \(P\) описва дъгата \(\overparen{B C}\), съдъжаща \(A\) (фиг. 6), акогато \(\pi-\alpha \leq \theta \leq \pi\), точката \(P\) описвадъгата \(\overparen{B C}\), несъдъжаща \(A\) (фиг. 7). Следователно, когато ориентираният \(∢ P A C\) се изменя в отрицателна посока, търсеното геометрично място е описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\) (фиг. 3).

3. Пълно решение на задача 1. Сега да се върнем към решението на задача 1. За всеки фиксиран ъгъл \(\theta=\theta_{0}\) съществува права \(p_{a}^{\prime}\), която след завъртане в положителна посока на ъгъл \(\theta_{0}\) около \(A\) ще съвпадне с правата \(A C\) (фиг. 3). Съществува и единствена права \(p_{a}^{\prime \prime}\), която при завъртане на ъгъл \(\theta_{0}\) по посока на часовниковата стрелка около \(A\) ще съвпадне с правата \(A C\) (фиг. 3). При завъртането си в положителна посока около \(A\) правата \(p_{a}\) заема положение \(p_{a}^{\prime}\), което сключва ъгъл \(\theta_{0}\) с правата \(A C\) и пресича \(p_{b}\) в точка \(P^{\prime}\). При завъртането си по посока на часовниковата стрелка около \(A\) правата \(p_{a}\) заема положение \(p_{a}^{\prime \prime}\), което сключва ъгъл \(\theta_{0}\) с правата \(A C\) и пресича \(p_{b}\) в точка \(P^{\prime \prime}\). Правите \(p_{a}^{\prime}\) и \(p_{a}^{\prime \prime}\) са симетрични спрямо правата \(A C\). Следователно при въртенето си около \(A\) в която и да е посока правата \(p_{a}\) заема две положения, които пресичат правата \(p_{b}\) в две точки \(P^{\prime}\) и \(P^{\prime \prime}\) (фиг. 3). Едната от тях описва хиперболата \(\chi\) (или двойката прави \(A B\) и \(C D\) ), а другата – описаната за \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\) (фиг. 3). Така получаваме следния извод. Когато правата \(p_{\text {a }}\) описва снопа прави с център върха \(A\), точката \(P=p_{a} \cap p_{b}\) описва крива от четвърта степен, която се разпада на две криви от втора степен – хипербола и окръжност (фиг. 3).

4. Няколко свойства на хиперболата \(\chi\). Лесно се забелязва, че координатите на върховете \(A(a, 0), B(b, 0)\) и \(C(0, c)\) удовлетворяват уравнението (2). Следователно хиперболата \(\chi\) е описана за \(\triangle A B C\) (фиг. \(3,4,5)\). Освен това координатите на ортоцентъра \(H\left(0,-\tfrac{a b}{c}\right)\) на \(\triangle A B C\) също удовлетворяват (2), което означава, че ортоцентърът също е точка от \(\chi\) (фиг. \(3,4,5\) ). По-нататък лесно се забелязва, че средата \(M\) на страната \(A B\) е център на \(\chi\) (фиг. \(3,4,5\) ). Затова точката \(T\), която е симетрична на \(H\) спрямо \(M\), лежи върху \(\chi\). Известно е обаче, че точката \(T\) е симетрична на върха \(C\) спрямо центъра на описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\). Следователно \(T\) е четвъртата обща точка на \(\chi\) и \(\Gamma\) (фиг. 3, 4, 5).

В (Nenkov, 2005) е показано, че когато една точка \(Q\) описва права в равнината на \(\triangle A B C\), точката \(P\), изогонално спрегната на \(Q\) спрямо \(\triangle A B C\), описва крива от втора степен, описана за \(\triangle A B C\). Обратно, ако \(P\) описва \(\chi\), то изогонално спрегнатата ѝ точка \(Q\) описва права. Тъй като \(\chi\) минава през ортоцентъра \(H\), то тази права минава през изогоналния ѝ образ \(O\) - център на описаната окръжност \(\Gamma\). Освен това изогоналният образ на правата \(C T\) е височината \(C D\). Следователно правата, която ни интересува, е успоредна на \(C D\). От намерените две свойства следва, че изогоналният образ на \(\chi\) е симетралата на страната \(A B\) (фиг. \(3,4,5\) ).

Да отбележим още, че след известни преобразувания на координатната система \(D x y\) уравнението (2) може да се приведе спрямо подходяща координатна система \(M X Y\) във вида \(\lambda_{1} X^{2}+\lambda_{2} Y^{2}+\tfrac{I_{3}}{I_{2}}=0\), където \(\lambda_{1}\) и \(\lambda_{2}\) са корените на уравнението \(\left|\begin{array}{cc}a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}-\lambda\end{array}\right|=0\). Корените на характеристичното уравнение са \(\lambda_{1,2}= \pm \sqrt{\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)}= \pm \sqrt{I_{2}}\). Следователно спрямо \(M X Y\) хиперболата \(\chi\) има уравнение \(X^{2}-Y^{2}=\tfrac{I_{3}}{-I_{2} \sqrt{-I_{2}}}\). Последното уравнение показва, че \(\chi\) е равнораменна хипербола. Освен това лесно се забелязва, че \(B C=b^{2}+c^{2}, A C=a^{2}+c^{2}, M D=\tfrac{|a+b|}{2}\) и \(S=\tfrac{(b-a) c}{2}(S\) е лицето на \(\triangle A B C\) ). Затова от получените по-рано изрази за \(I_{2}\) и \(I_{3}\) получаваме \(\tfrac{I_{3}}{-I_{2} \sqrt{-I_{2}}}= \pm \tfrac{A B \cdot M D}{B C \cdot A C} . S\). Следователно реалната и имагинерната полуос на \(\chi\) са равни на \(\sqrt{\tfrac{A B \cdot M D}{B C \cdot A C} \cdot S}\).

5. Геометрични места от по-висок порядък. Следващият етап от изследванията ни, свързани със задача 1, е извършването на едно нейно обобщение. Това обобщение е съдържанието на следващата

Задача 2. Дадени са триъгълник \(A B C\) и правите \(p_{a} u p_{b}\), минаващи съответно през върховете \(A\) и \(B\) на \(\triangle A B C\). Ако \(P=p_{a} \cap p_{b}, ∢ P A C=\theta\) и \(∢ C B P=n \theta\), да се определи геометричното място на точката \(P\), когато \(p_{a}\) описва множеството на всички прави през върха \(A\) на \(\triangle A B C\).

Разглеждаме геометричните фигури в комплексната равнина спрямо Гаусова координатна система, единичната окръжност на която е описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\). Афиксите на точките, както обикновено, ще означаваме със съответните им малки букви.

Ако векторът \(\overrightarrow{A P}\) се завърти в положителна посока около \(A\) на ъгъл \(\theta\) и след това посоката му съвпадне с посоката на \(\overrightarrow{A C}\), то е изпълнено равенството \(\tfrac{p-a}{|p-a|} \cdot e^{i \theta}=\tfrac{c-a}{|c-a|}\). След повдигане на двете страни на последното равенство в квадрат и известни преобразувания получаваме

(3)\[ e^{i .2 \theta}=\tfrac{c(1-a \bar{p})}{p-a} \]

Аналогично при завъртане на \(\overrightarrow{A P}\) в отрицателна посока около \(A\) на ъгъл \(\theta\) и след това посоката му съвпадне с посоката на \(\overrightarrow{A C}\) се получава равенството

(4)\[ e^{-i .2 \theta}=\tfrac{p-a}{c(1-a \bar{p})} \]

По същия начин завъртането на \(\overrightarrow{B C}\) в положителна посока на ъгъл \(n \theta\), докато посоката му съвпадне с посоката на \(\overrightarrow{B P}\), води до равенството

(5)\[ e^{n(i .2 \theta)}=\tfrac{p-b}{c(1-b \bar{p})} \]

Сега от (3) и (5) получаваме равенството \(c^{n+1}(1-a \bar{p})^{n}(1-b \bar{p})=(p-a)^{n}(p-b)\). Следователно точката \(P\) принадлежи на крива \(k_{+}(n)\) от \((n+1)\)-ва степен с уравнение

(6)\[ k_{+}(n): c^{n+1}(1-a \bar{z})^{n}(1-b \bar{z})-(z-a)^{n}(z-b)=0 \]

(На фиг. 8 и 9 са показани съответно случаите, когато \(n=2\) и \(n=3\).)

Аналогично от (4) и (5) получаваме, че \(P\) принадлежи на крива \(k_{-}(n)\) от \((n+1)\)-ва степен с уравнение

(7)\[ k_{-}(n): c^{n-1}(1-a \bar{z})^{n}(z-b)-(z-a)^{n}(1-b \bar{z})=0 . \]

(На фиг. 10 и 11 са показани съответно случаите, когато \(n=2\) и \(n=3\) ).

От получените резултати следва: Когато правата \(p_{a}\) описва снопа прави с център върха \(A\), точката \(P=p_{a} \cap p_{b}\) описва крива \(k(n)=k_{+}(n+1) \cup k_{-}(n+1)\) от степен \(2 n+2\), която се разпада на две криви от \((n+1)\)-ва степен.

При \(n=1\) получаваме, че кривите \(k_{+}(1)\) и \(k_{-}(1)\) имат следните уравнения \(k_{+}(1): z^{2}-a b c^{2} \bar{z}^{2}-(a+b) z+c^{2}(a+b) \bar{z}+a b-c^{2}=0, k_{-}(1): z \bar{z}=1\).

Кривата \(k \_(1)\) съвпада с \(\Gamma\). Ако \(B C=A C\), изпълнено е равенството \(c^{2}=a b\), при което за кривата \(k_{+}(1)\) получаваме уравнението \((z+a b \bar{z}-a-b)(z-a b \bar{z})=0\). Първият множител съответства на правата \(A B\), а вторият - на симетралата на \(A B\). Така получаваме, че при \(B C=A C\) кривата \(k_{+}(1)\) се състои от две прави. Когато \(B C \neq A C\), т.е. \(c^{2} \neq a b, k_{+}(1)\) е хипербола (както е показано по-рано).

6. Някои свойства на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\). Оказва се, че намерените криви \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) притежават някои интересни свойства. За да определим някои от тях, в началото ще намерим пресечните точки на \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с правите \(A B, A C\) и \(B C\). Уравненията на тези прави са следните:

\(A B: z+a b \bar{z}-a-b=0, A C: z+a c \bar{z}-a-c=0\) и \(B C: z+b c \bar{z}-b-c=0\).

От уравненията на \(k_{+}(n)\) и \(A B\) намираме, че общите им точки удовлетворяват условието

Ако за \(\triangle A B C\) не е изпълнено \(c^{n+1}-a b^{n}=0\), от равенството (8) следва, че кривата \(k_{+}(n)\) минава \(n\) пъти през върха \(A\) и един път през върха \(B\). Геометричният смисъл на равенството \(c^{n+1}-a b^{n}=0\) е следният. Ако точките \(A\) и \(B\) са фиксирани върху окръжността \(\Gamma\) с център \(O\), то върхът \(C\) на \(\triangle A B C\) се получава чрез завъртане на точката \(A\) около \(O\) в положителна посока на ъгъл, равен на \(\tfrac{n}{n+1} ∢ B O A\). Ако за \(\triangle A B C\) е изпълнено \(c^{n+1}-a b^{n}=0\), от равенството (8) следва, че за този специален триъгълник кривата \(k_{+}(n)\) се състои от правата \(A B\) и крива от \(n\)-та степен. В случая, в който \(n=2\), кривата \(k_{+}\)(2) се състои от правата \(A B\) и хипербола \(\chi_{0}\), минаваща през върховете \(A\) и \(C\) (фиг. 12). Хиперболата \(\chi_{0}\) има за център точката \(\Omega\), за която е изпълнено равенството \(\overline{\Omega B}: \overline{\Omega A}=-2\). Един от върховете на \(\chi_{0}\) е върхът \(A\) на \(\triangle A B C\), а върхът \(B\) е единият от фокусите на \(\chi_{0}\) (фиг. 12).

От уравненията на \(k(n)\) и \(A B\) намираме, че общите им точки удовлетворяват условието

(9)\[ \left(b^{n}-a c^{n-1}\right)(1-a \bar{z})^{n}(1-b \bar{z})=0 . \]

Ако за \(\triangle A B C\) не е изпълнено \(b^{n}-a c^{n-1}=0\), от равенството (9) следва, че кривата \(k_{-}(n)\) минава \(n\) пъти през върха \(A\) и един път през върха \(B\). Геометричният смисъл на равенството \(b^{n}-a c^{n-1}=0\) е следният. Ако точките \(A\) и \(B\) са фиксирани върху окръжността \(\Gamma\) с център \(O\), то върхът \(C\) на \(\triangle A B C\) се получава чрез завъртане на точката \(A\) около \(O\) в положителна посока на ъгъл, равен на \(\tfrac{n}{n-1} ∢ B O A\). Ако за \(\triangle A B C\) е изпълнено \(b^{n}-a c^{n-1}=0(n \geq 2)\), от равенството (9) следва, че за такъв специален триъгълник кривата \(k_{-}(n)\) се състои от правата \(A B\) и крива от \(n\)-та степен. В случая, в който \(n=2\), кривата \(k_{-}(n)\) се състои от правата \(A B\) и окръжност \(\Gamma_{0}\), минаваща през върховете \(A\) и \(C\) на \(\triangle A B C\) (фиг. 13). Освен това \(B A=B C\), което означава, че окръжността \(\Gamma_{0}\) има за център точката \(B\) (фиг. 12).

По-нататък от уравненията на \(k_{+}(n)\) и \(A C\) намираме, че общите им точки удовлетворяват условието \(c^{n}(a-b)(1-a \bar{z})^{n}(1-c \bar{z})=0\). Оттук се вижда, че \(k_{+}(n)\) минава \(n\) пъти през върха \(A\) и един път през върха \(C\). От уравненията на \(k_{-}(n)\) и \(A C\) намираме, че общите им точки удовлетворяват условието \(c^{n-1}(a-b)(1-a \bar{z})^{n}(1-c \bar{z})=0\). Следователно \(k_{-}(n)\) минава \(n\) пъти през върха \(A\) и един път през върха \(C\).

От получените дотук резултати стигаме до следните изводи.

1) Всяка от кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) минава през върха \(A\) по \(n\) пъти (фиг. 8 – 16).

2) Всяка от кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) минава през върховете \(B\) и \(C\) точно по един път (фиг. 8 – 16).

3) Съществуват специални триъгълници, при които кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) от \((n+1)\)-ва степен се разпадат на крива от \(n\)-та степен \(u\) правата \(A B\) (фиг. 12, 13).

Общите точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) и правата \(B C\) удовлетворяват равенството \((1-b \bar{z})\left[c^{n}(1-a \bar{z})^{n}-(b+c-a-b c \bar{z})^{n}\right]=0\). Това равенство показва, че двете криви \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) имат едни и същи общи точки с правата \(B C\). Първият множител потвърждава вече установения факт, че кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) минават през върха \(B\). След приравняване на нула на втория множител получаваме равенството \(\left[\tfrac{b+c-a-b a_{m}}{c\left(1-a a_{m}\right)}\right]^{n}=1\). Последното е уравнение на деление на единичната окръжност на \(n\) еднакви части. Затова афиксите \(a_{m}\) на пресечните точки \(A_{m}\) на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с правата \(B C\) удовлетворяват равенството \(\tfrac{b+c-a-b c \bar{z}_{m}}{c\left(1-a \bar{z}_{m}\right)}=e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}\), където \(m=0,1, \ldots, n-1\). Оттук получаваме

(10)\(\bar{a}_{m}=\tfrac{c \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}+a-b-c}{a \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-b}, a_{m}=\tfrac{(a b-b c+c a) c \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-a b}{c\left(a \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-b\right)}\).

Сега да определим на какъв ъгъл \(\varphi\) трябва да се завърти правата \(A C\) около \(A\), така че да се получи правата \(A A_{m}\). За целта е необходимо да е изпълнено равенството \(\tfrac{c-a}{|c-a|} \cdot e^{-i . \varphi}=\tfrac{a_{m}-a}{\left|a_{m}-a\right|}\). След повдигане в квадрат имаме \(e^{-i .2 \varphi}=\tfrac{a_{m}-a}{c\left(1-a \bar{a}_{m}\right)}\). Оттук, като използваме \((10)\) , намираме \(e^{-i .2 \varphi}=e^{i . \tfrac{2 m \pi}{n}}\). Следователно \(\varphi=-\tfrac{m \pi}{n}(m=0,1, \ldots, n-1)\). Така стигаме до следния извод.

4) Ако правата \(l_{m}\) се получава чрез ротация на правата \(A C\) около точката \(A\) в отрицателна посока на ъгъл \(\tfrac{m \pi}{n}\), то \(A_{m}=l_{m} \cap B C(m=0,1, \ldots, n-1)\) (фиг. 8 – 16).

Получихме, че кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) имат общи точки върху правата \(B C\). Затова възниква въпросът за определяне на всички общи точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\). За да отговорим на този въпрос, решаваме системата уравнения, определена от (6) и (7). Получаваме, че общите точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) удовлетворяват равенството \((z+b \overline{c z}-b-c)(z-b c \bar{z}-b+c)^{+}=0\). Първият множител води към вече изучените общи точки на кривите с правата \(B C\). Вторият множител води към общите точки на кривите с правата \(\tau\), определена с уравнението \(z-b c \bar{z}-b+c=0\), която е перпендикулярна на \(B C\). Остава да опишем общите точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с правата \(\tau\). Преди това обаче да отбележим, че правата \(\tau\) минава през разгледаната по-рано точка \(T\), която е симетрична на \(C\) спрямо центъра \(O\) на описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\). При \(n=1\) установихме, че \(k_{+}(1)=\chi\) минава през точката \(T\). Затова е интересно да се установи дали това свойство се запазва за всяко \(n \geq 2\). Като заместим афикса \(t=-c\) на точката \(T\) в уравненията (6) и (7), стигаме до извода, че точката \(T\) принадлежи и на двете криви, когато е изпълнено равенството \((c+a)^{n}(b+c)\left[1+(-1)^{n}\right]=0\). Последното е изпълнено само когато \(n\) е нечетно число. Така получихме

5) Точката \(T\) принадлежи на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) тогава и само тогава, когато \(n\) е нечетно число (фиг. 9, 11, 15).

Когато \(n\) е четно, точката \(T\) притежава следното свойство.

6) Ако \(n\) е четно число, точките \(A, T\) и \(A_{n / 2}\) лежат на една права (фиг. 8, 10, 14, 16).

Сега преминаваме към определяне на общите точки на \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с правата \(\tau\). След заместване на \(\bar{z}=\tfrac{z+c-b}{b c}\) в (6) (или (7)) получаваме \((z-b)\left[b^{n}(z-a)^{n}+(a b+b c-c a-a z)^{n}\right]=0\). Пѣрвият множител води до вече добре известната обща точка \(B\) на \(\tau\) с двете криви. Вторият множител води до две възможности: \(\left[\tfrac{b(z-a)}{a z-b c+c a-a b}\right]^{n}=1\) при нечетно \(n\) и \(\left[\tfrac{b(z-a)}{a z-b c+c a-a b}\right]^{n}=-1\) при четно \(n\). Затова афиксите \(w_{m}\) на пресечните точки \(W_{m}\) на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с правата \(\tau\) удовлетворяват едно от равенствата \(\tfrac{b\left(w_{m}-a\right)}{a_{m}-b c+c a-a b}=e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}\) (нечетно \(n\) ) или \(\tfrac{b\left(w_{m}-a\right)}{a_{m}-b c+c a-a b}=e^{i \cdot \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}\) (четно \(n\) ), където \(m=0,1, \ldots, n-1\). Оттук получаваме

\[ \begin{aligned} & w_{m}=\tfrac{(b c-c a+a b) c \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-a b}{a \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-b}, \bar{w}_{m}=\tfrac{c \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-a+b-c}{c\left(a \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-b\right)}(\text { нечетно } n), \\ & w_{m}=\tfrac{(b c-c a+a b) c \cdot e^{i \cdot \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}-a b}{a \cdot e^{i \cdot \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}-b}, \bar{w}_{m}=\tfrac{c \cdot e^{i \cdot \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}-a+b-c}{c\left(a \cdot e^{i \cdot \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}-b\right)}(\text { четно } n) . \end{aligned} \]

Сега да определим на какъв ъгъл \(\psi\) трябва да се завърти правата \(A C\) около \(A\), така че да се получи правата \(A W_{m}\). За целта е необходимо да е изпълнено равенството \(\tfrac{c-a}{|c-a|} \cdot e^{-i . \psi}=\tfrac{w_{m}-a}{\left|w_{m}-a\right|}\). Оттук, като използваме горните равенства, намираме \(e^{i .2 ψ}=-e^{i . \tfrac{2 m \pi}{n}}=e^{i .\left(\tfrac{2 m \pi}{n}+\pi\right)}\) (нечетно \(n\) ) и \(e^{i .2 \psi}=-e^{i . \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}=e^{i .\left(\tfrac{(2 m+1) \pi}{n}+\pi\right)}\) (четно \(n\) ). Следователно \(\psi=\tfrac{m \pi}{n}+\tfrac{\pi}{2}\) (нечетно \(n)\) и \(\psi=\tfrac{(2 m+1) \pi}{2 n}+\tfrac{\pi}{2}(\) четно \(n)(m=0,1, \ldots, n-1)\). Така стигаме до следните изводи.

7) Ако \(n\) е нечетно и правата \(q_{m}\) се получава чрез ротация на правата \(A C\) около точката \(A\) в положителна посока на ъгъл \(\tfrac{m \pi}{n}+\tfrac{\pi}{2}\), то \(W_{m}=q_{m} \cap \tau(m=0,1, \ldots, n-1)(\) фиг. 9, 11, 15).

8) Ако \(n\) е четно и правата \(q_{m}\) се получава чрез ротация на правата AC около точката \(A\) в положителна посока на ъгъл \(\tfrac{(2 m+1) \pi}{2 n}+\tfrac{\pi}{2}\), то \(W_{m}=q_{m} \cap \tau(m=0,1, \ldots, n-1)\) (фиг. 8, 10, 14, 16).

От всички изследвания следва, че общите точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) са \(A, A_{0} \equiv C, A_{1}, \ldots, A_{n-1}, B, W_{0}(\equiv T), W_{1}, \ldots, W_{n-1}\). Следователно кривите имат \(2 n+2\) общи точки.

В свойство 5) установихме, че точката \(T\) от описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\) принадлежи на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\). Върховете \(A, B\) и \(C\) също са общи точки на тези криви с \(\Gamma\). Затова е любопитно да се определят всички общи точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с окръжността \(\Gamma\). От \(z \bar{z}=1\) и (6) получаваме, че общите точки на \(k_{+}(n)\) и \(\Gamma\) удовлетворяват равенството \((z-a)^{n}(z-b)\left(z^{n+1}-c^{n+1}\right)=0\). Първите два множителя водят до вече известните решения. Остава да разгледаме уравнението \(z^{n+1}-c^{n+1}=0\). Това уравнение записваме във вида \(\left(\tfrac{z}{c}\right)^{n+1}=1\). Последното е уравнение на деление на окръжността на \(n+1\) равни части. Следователно неговите решения са \(u_{m}=c . e^{i . \tfrac{2 m \pi}{n+1}}\), които са върхове на правилен \(n+1\)-ъгълник, един от върховете на който е точката \(C\). Аналогично се намират общите точки \(v_{m}=c . e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n-1}}\) на \(k_{-}(n)\) и \(\Gamma\), които са върхове на правилен \(n-1\) ъгълник, един от върховете на който е \(C\). Така установихме следното:

9) Общите точки на \(k_{+}(n)\) с \(\Gamma\) са \(A, B\) и върховете на правилен \(n+1\) ъгълник, един от върховете на който е точката \(C\) (фиг. 8, 9, 14, 15, 16).

10) Общите точки на \(k_{-}(n)\) с \(\Gamma\) са \(A, B\) и върховете на правилен \(n-1\) ъгълник, един от върховете на който е точката \(C\) (фиг. 14, 15, 16).

Накрая ще добавим още две свойства, свързани с точката \(T\).

11) Ако \(n\) е нечетно число, правилните многоъгълници имат общ връх в точката \(T\), който е противоположен на \(C\) (фиг. 15).

12) Ако \(n\) е четно число, правилните многоъгълници имат страни, които са успоредни на допирателната към \(\Gamma\) в точката \(T\) (фиг. 14, 16).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Balk, M., G. Balk & A. Poluhin (1988). Real applications of imaginary numbers. Kiev: Radjanskaja Shkola. [Балк, М., Г. Балк & А. Полухин (1988). Реальные применения мнимых чисел. Киев: Радянськая школа.]

Grozdev, S. V. & Nenkov (2012). About the orthocenter in the plane and the space. Sofia: Archimedes. [Гроздев, С. & В. Ненков (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед.]

Martinov, N. (1989). Analytical Geometry. Sofia: Nauka I Izkustvo. [Мартинов, Н. (1989). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]

Modenov, P. (1969). Analytical Geometry. Moscow: Moscow University. [Моденов, П. (1969). Аналитическая геометрия. Москва: Московский университет.]

Nenkov, V. (2005). Some loci in the plane of a triangle, Мathematics Plus, 1, 53 – 59 (ISSN 0861-8321). [Ненков, В. (2005). Някои геометрични места в равнината на триъгълника, Математика плюс, 1, 53 – 59 (ISSN 0861-8321).]

Stanilov, G. (1979). Analytical Geometry. Sofia: Nauka I Izkustvo. [Станилов, Г. (1979). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics: The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE (ISBN 978-954-921391-1).

Sergeeva, T., M. Shabanova, & S. Grozdev (2014). Foundations of Dynamic Geometry. Moscow: ASOU (in Russian). [Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.]