Veselin Nenkov

Technical College Lovech
31 Sajko Saev St.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: vnenkov@mail.bg

Stanislav Stefanov

Technical University Sofia
E-mail: stanislav.toshkov@abv.bg

Haim Haimov

16 Bratya Shkorpil St.
9000 Varna

Abstract. The paper describes some properties of Miquel point for the complete quadrilateral and relations with other notable points of the quadrilateral.

Keywords: quadrilateral, circumcircle, Miquel point, inversion, isogonality

Точката на Микел на четириъгълника е открита през XIX век. Откриването й е свързано с една теорема, публикувана от Микел през 1838 г., откъдето идва и името ѝ. Характеризира се с различни забележителни свойства, някои от които са отбелязани в (Шарыгин, 1986, стр. 68, зад. 263). Точката на Микел, както е показано в (Haimov, 2001), е тясно свързана с брокарианите на четириъгълника. Нещо повече, при разглеждането на ред въпроси е удобно тя да се третира като трета брокариана. В настоящата статия точката на Микел е разгледана в един по-различен аспект и така са открити нейни нови свойства. Особено значение има откриването на едно преобразувание в равнината на четириъгълник, свързано с тази точка. То може да се разглежда като разширение на преобразуванието изогонална спрегнатост (Alexandrov & Haimov, 2003) в цялата равнина на четириъгълника, защото съвпада с него в дефиниционното му множество. Изобразява върховете на четириъгълника в срещуположните им върхове, а някои забележителни точки – в други. Композиция е от осева симетрия и инверсия, които имат съответно ос на симетрия и полюс и степен на инверсия, пряко свързани с четириъгълника. Благодарение на него от свойства на едни забележителни точки в четириъгълника се извеждат свойства на други – образи на първите при преобразуванието. С помощта му се получават важни връзки между някои забележителни точки в четириъгълника, като принадлежността им на една права или пък на една окръжност. Интересно е, че преобразуванието позволява да се обобщи известната теорема на Микел за пълния четириъгълник.

1. Теорема на Микел и точка на Микел. Преди да дефинираме точката на Микел, ще докажем две леми. Без ограничение на общността навсякъде по-нататък ще считаме, че продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) на разглеждания четириъгълник \(A B C D\) се пресичат в точка \(U\), а страните \(A B\) и \(C D\)– в точка \(V\) (фиг. 1). Ще считаме още, че върхът \(C\) лежи между точките \(B\) и \(U\) , както и между точките \(D\) и \(V\).

Лема 1. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Втората обща точка \(M\) на описаните окръжности \(\triangle A B U\) и \(\triangle C D U\) е единствената точка от вътрешността на \(∢ U C V\), за която е изпълнено условието \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\).

Доказателство. Първо ще докажем, че ако \(M\) е от вътрешността на ъгъл \(∢ U C V\), за която е изпълнено условието \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\), то \(M\) съвпада с втората обща точка на описаните окръжности \(\triangle A B U\) и \(\triangle C D U\) (фиг. 1). От условието \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) имаме \(∢ D A M=∢ C B M\), т.е. \(∢ U A M=∢ U B M\) . Следователно четириъгълник \(A B M U\) е вписан в окръжност. Можем да заключим, че точката \(M\) лежи на описаната окръжност на \(\triangle A B U\). От условието \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) имаме още \(∢ A D M=∢ B C M\), откъдето следва, че \(∢ U D M=∢ U C M\). Следователно четириъгълникът \(D C M U\) е вписан в окръжност, т.е. точката \(M\) лежи и на описаната окръжност на \(\triangle D C U\). Убедихме се, че \(M\) е обща точка на описаните окръжности на триъгълниците \(A B U\) и \(D C U\). С помощта на същите разсъждения, проведени в обратен ред, се доказва, че обратно, за втората обща точка \(M\) на тези окръжности е изпълнено \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\).

Забележка 1. Аналогично се доказва, че втората обща точка \(M\) на описаните окръжности на триъгълниците \(A D V\) и \(B C V\) (фиг. 1) е единствената точка от вътрешността на \(∢ U C V\), за която триъгълниците \(A B M\) и \(D C M\) са подобни.

Лема 2. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Ако за точката \(M\) от вътрешността на \(∢ U C V\) е изпълнено условието \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\), то за нея е изпълнено и \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\).

Доказателство. Тъйкато \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\), то \(\tfrac{D M}{C M}=\tfrac{A M}{B M}\) и \(∢ D M A=∢ C M B\) (фиг.

1). Затова имаме \(∢ D M C=∢ D M A+∢ A M C=∢ C M B+∢ A M C=∢ A M B\), т.е. \(∢ D M C=∢ A M B\). Като вземем предвид и получената пропорция, се убеждаваме, че \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\).

Теорема 1 (Микел). \(A к о\) ABCD е изпъкнал четириъгълник, то описаните окръжности на четирите триъгълника \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\) имат обща точка \(M\).

Доказателство. Нека \(M\) е втората обща точка на описаните окръжности \(\triangle A B U\) и \(\triangle D C U\) (фиг. 1). По лема 1 за нея е изпълнено условието \(\triangle A D M \sim \Delta B C M\) и тя лежи в \(∢ U C V\). Тогава за нея е изпълнено и условието \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\) (по лема 2). Но единствената точка от вътрешността на \(∢ U C V\), отговаряща на последното условие, както следва от забележка 1, е втората обща точка на описаните окръжности на триъгълниците \(A D V\) и \(B C V\). Следователно \(M\) е обща точка на описаните окръжности и на четирите триъгълника \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\), DCU , ADV и BCV , с което теоремата е доказана.

Определение 1. Ако \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, общата точка \(M\)

на описаните окръжности на триъгълниците \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\) се нарича точка на Микел на четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 1).

Ще разгледаме някои свойства на точката на Микел.

Свойство 1М. Точката на Микел \(M\) за четириъгълника \(A B C D\) е единствената точка от вътрешността на \(∢ U C V\), за която триъгълниците \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\). Точката \(M\) е единствената точка от вътрешността на \(∢ U C V\), за която \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\).

Доказателство. Точката на Микел \(M\) е обща на описаните окръжности на триъгълниците \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\) (по определение 1) (фиг. 1).

В частност, тя съвпада с втората обща точка на описаните окръжности на \(\triangle A B U\) и \(\triangle D C U\). По лема 1 можем да заключим, че точката на Микел е единствената точка в \(∢ U C V\), за която \(\triangle A D M \sim \Delta B C M\). Това, че тя е единствената точка в \(∢ U C V\), за която \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\), следва от забележка 1.

Свойство 2М. Ако \(M\) е точката на Микел за четириъгълника \(A B C D\), то \(\triangle D U M \sim \triangle V B M\).

Доказателство. Точката на Микел \(M\) на четириъгълника \(A B C D\) лежи върху описаните окръжности на триъгълниците \(D C U\) и \(B C V\) (по определение 1). Следователно четириъгълниците \(D C M U\) и \(B V M C\) са вписани (фиг. 1). Тогава имаме \(∢ D U M=∢ M C V\) (от четириъгълника \(D C M U\) ) и \(\quad ∢ M C V=∢ M B V \quad\) (вписани ъгли). Следователно \(\quad ∢ D U M=∢ M B V\). От друга страна, имаме \(∢ D M U=∢ D C U=∢ B C V=∢ B M V, \quad\) т.е. \(∢ D M U=∢ B M V\). В триъгълниците \(D U M\) и \(V M B\) получихме две двойки съответно равни ъгли, следователно те са подобни.

Свойство 3М. Ако M е точката на Микел за четириъгълника \(A B C D\), то

са изпълнени равенствата:

(1) \(M A \cdot M C=M B \cdot M D=M U \cdot M V=r^{2}\),

където \(r\) е положителна константа, свързана с четириъгълника.

Доказателство. За точката на Микел \(M\) е изпълнено условието \(\triangle A D M \sim \Delta B C M\) (от свойство 1М) (фиг. 1). Тогава \(\tfrac{M A}{M D}=\tfrac{M B}{M C}\), откъдето имаме \(M A . M C=M B . M D\). MC = MB. MD . В същото време за точката на Микел е изпълнено и условието \(\triangle D U M \sim \Delta V B M\) (от свойство 2М) (фиг. 1). Тогава \(\tfrac{M D}{M U}=\tfrac{M V}{M B}\), откъдето получаваме \(M B \cdot M D=M U \cdot M V\). MD = MU. MV . Така се убедихме, че \(M A . M C=M B . M D=M U . M V\).

Определение 2. Числото \(r\) от равенство (1) ще наричаме константа на Микел за четириъгълника \(A B C D\).

Свойство 4М. Ако M е точката на Микел за четириъгълника \(A B C D\), то ъглите \(A M C, D M B\) и \(U M V\) имат обща ъглополовяща \(m\).

Доказателство. Тъй като за точката на Микел имаме \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) (от свойство 1М), то \(∢ D M A=∢ B M C\) (фиг. 1). Следователно ъглите \(D M B\) и \(A M C\) имат обща ъглополовяща \(m\). Понеже \(\triangle D U M \sim \triangle V B M\) (от свойство 2М), то \(∢ D M U=∢ B M V\). Следователно ъглополовящата \(m\) на \(∢ D M B\) е ъглополовяща и на \(∢ U M V\). Така се убедихме, че и трите ъгъла имат обща ъглополовяща \(m\).

Определение 3. Ако \(M\) е точката на Микел за четириъгълника \(A B C D\), общата ъглополовяща \(m\) на ъглите \(A M C, D M B\) и \(U M V\) ще наричаме ос на Микел.

2. Инверсна симетрия. Сега ще припомним едно известно преобразувание в равнината, аналитичният вид на което в комплексната равнина се дава с функцията \(\tfrac{1}{z}\). Както ще видим, то е тясно свързано с точката на

Микел.

Определение 4. Нека \(M\) е точка в равнината, \(m\)– права през \(M\), и \(r\)– дадено положително число. Композицията от симетрията \(g\) спрямо правата \(m\) и инверсията \(Y\) с полюс \(M\) и степен \(r^{2}\) се нарича инверсна симетрия с полюс \(M\), ос \(m\) и степен \(r^{2}\), която ще бележим с \(Y \circ g\).

Ще докажем няколко свойства на инверсната симетрия, които ще са ни необходими по-нататък.

Свойство 1I. Нека \(Y \circ g\) е инверсна симетрия с полюс \(M\), ос \(m\) и степен \(r^{2}\). Ако \(X_{1}\) е образът на точката \(X \neq M\) при преобразуванието \(Y \circ g\), то лъчът \(M X_{1}^{\rightarrow}\) е симетричен на лъча \(M X^{\rightarrow}\) спрямо оста \(m\) и \(M X_{1}=\tfrac{r^{2}}{M X}\).

Доказателство. Образът на точката \(X\) при инверсната симетрия \(Y \circ g\) се получава, като към \(X\) приложим първо симетрията \(g\) с ос \(m\) (фиг. 2). Получаваме точката \(X'\) от лъча \(M P^{\rightarrow}\) , симетричен на лъча \(M X^{\rightarrow}\) спрямо оста \(m\), такава, че \(M X^{\prime}=M X\). Образът на \(X\) при инверсната симетрия \(Y \circ g\) получаваме окончателно, след като към точката \(X^{\prime}\) приложим инверсията \(Y\) с полюс \(M\) и степен \(r^2\) . Получената точка \(X_1\) лежи на лъча \(M P^{\rightarrow}\) и \(M X_{1} \cdot M X^{\prime}=r^{2}\), т.е. \(M X_{1}=\tfrac{r^{2}}{M X^{\prime}}\). От последното равенство и равенството \(M X_{1}=M X^{\prime}\) следва, че \(M X_{1}=\tfrac{r^{2}}{M X}\). Така се убедихме, че лъчът \(M X_{1}^{\rightarrow}\) е симетричен на лъча \(M X \rightarrow\) спрямо оста \(m\) и \(M X_{1}=\tfrac{r^{2}}{M X}\).

Свойство 2I. Нека \(Y \circ g\) е инверсна симетрия с полюс \(M\), ос \(m\) и степен \(r^{2}\). Ако \(A\) и \(B\) са точки, нележащи на една права с точката \(M\), и техните образи при преобразованието \(Y \circ g\) са съответно \(C\) и \(D\), то \(\triangle D C M \sim \triangle A B M\).

Доказателство. Имаме \(Y \circ g(A)=C\) иY \(Y \circ g(B)=D\) (по условие) (фиг. 3). Тогава лъчите \(M C^{\rightarrow}\) и \(M D^{\rightarrow}\) са симетрични съответно на лъчите \(M A^{\rightarrow}\) и \(MB^{\rightarrow}\) спрямо оста \(m\) иMC \(M C=\cfrac{r^{2}}{M A}, M D=\cfrac{r^{2}}{M B}\) (от току-що доказаното свойство 1I). От симетрията на споменатите лъчи следва, че \(∢ C M D=∢ A M B\), а от получените равенства след почленно деление намираме пропорцията \(\tfrac{M C}{M D}=\tfrac{M B}{M A}\). Затова можем да заключим, че \(\triangle D C M \sim \triangle A B M\).

Следващото свойство на инверсната симетрия изяснява връзката на преобразуванието с точката на Микел.

Свойство 3I. Нека \(Y \circ g\) е инверсна симетрия с полюс \(M\), ос \(m\) и степен \(r^{2}\), а \(A\) и \(B\) са точки, нележащи на една права с точката \(M\). Ако \(C\) и \(D\) са образите съответно на точките \(A\) и \(B\) при преобразованието \(Y \circ g\), а полюсът му \(M\) лежи в \(∢ U C V(U=A D \cap B C, V=A B \cap C D)\), то \(M\) е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\).

Доказателство. Понеже \(Y \circ g(A)=C, Y \circ g(B)=D\) и точките \(A\) и \(B\) не лежат на една права с полюса \(M\) (по условие), имаме \(\triangle D C M \sim \triangle A B M\) (от току-що доказаното свойство 2I) (фиг. 3). Но единствената точка \(M\) в \(∢ U C V\) с това свойство е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) (от свойство 1М). С това се убедихме, че полюсът \(M\) на инверсната симетрия \(Y \circ g\) е точка на Микел на четириъгълника \(A B C D\).

3. Инверсна изогоналност. Сега ще дефинираме една специална инверсна симетрия в равнината на изпъкнал четириъгълник.

Определение 5. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, а \(M, m\) и \(r\) са съответно точката, оста и константата на Микел за \(A B C D\). Инверсната симетрия \(Y \circ g\) с полюс \(M\), ос \(m\) и степен \(r^{2}\) ще наричаме инверсна изогоналност относно \(A B C D\).

Както ще видим, инверсната изогоналност изобразява свързания с нея четириъгълник в себе си.

Свойство 4I (Пл. Александров). Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Ако \(Y \circ g\) е инверсната изогоналност спрямо него, то \(Y \circ g(B)=D\), \(Y \circ g(A)=C\) и \(Y \circ g(U)=V\).

Доказателство. Ще докажем, че \(Y \circ g(B)=D\) (фиг. 3). Другите две релации се доказват аналогично. Инверсната изогоналност \(Y \circ g\) спрямо четириъгълника \(A B C D\) е инверсна симетрия с ос - оста \(m\) на Микел на четириъгълника (по определение 5). Последната е ъглополовяща на \(∢ D M B\) (определение 3). Следователно лъчът \(M D \rightarrow\) е симетричен на лъча \(M B \rightarrow\) относно оста \(m\). Тогава, ако \(Y \circ g(B)=B_{1}\), точката \(B_{1}\) лежи на лъча \(M D^{\rightarrow}\) (от свойство 1 M ). От същото свойство имаме \(M B_{1}=\tfrac{r^{2}}{M B}\), където \(r^{2}\) е степента на инверсната симетрия \(Y \circ g\),или с други думи - константата на Микел на \(A B C D\). Последната дефинирахме в определение 2 с равенствата \(M A \cdot M C=M B \cdot M D=M U \cdot M V=r^{2}\). Оттук в частност имаме \(M B \cdot M D=r^{2}\) и \(M D=\tfrac{r^{2}}{M B}\). От получените равенства следва, че \(M B_{1}=M D\). Като вземем предвид, че при това точката \(B_1\) лежи на лъча \(MD^{\rightarrow}\) (по доказаното по-горе), заключаваме, че \(B_{1} \equiv D\). Следователно \(Y \circ g(B)=D\).

Ако две точки се изобразяват една в друга при инверсната изогоналност, ще ги наричаме инверсно изогонални. Както ще видим, разстоянията от инверсно изогоналните точки до върховете на четириъгълника са свързани с прости зависимости.

Теорема 2. Нека дължините на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) на четириъгълника \(A B C D\) са съответно \(a, c\) и \(d\). Ако точките \(X_{1}\) и \(X_{2}\) са инверсно изогонални, то са изпълнени равенствата:

(2) \(\tfrac{A X_{2}}{B X_{2}}=\tfrac{C X_{1}}{D X_{1}} \cdot \tfrac{d}{b}, \tfrac{B X_{2}}{C X_{2}}=\tfrac{D X_{1}}{A X_{1}} \cdot \tfrac{a}{c}, \tfrac{C X_{2}}{D X_{2}}=\tfrac{A X_{1}}{B X_{1}} \cdot \tfrac{b}{d}, \tfrac{D X_{2}}{A X_{2}}=\tfrac{B X_{1}}{C X_{1}} \cdot \tfrac{c}{a}\).

Доказателство. Нека \(Y \circ g\) е инверсната изогоналност относно \(A B C D\). Следователно \(Y \circ g\left(X_{1}\right)=X_{2}, Y \circ g(C)=A\) и \(Y \circ g(D)=B\) (от свойство 4I) (фиг. 4). Тогава \(Y \circ g\left(C X_{1}\right)=A X_{2}\) и \(Y \circ g\left(D X_{1}\right)=B X_{2}\). По формулата за преобразуване на разстоянията при инверсия получаваме \(A X_{2}=\tfrac{C X_{1} \cdot r^{2}}{C M \cdot X_{1} M}\), \(B X_{2}=\tfrac{D X_{1} \cdot r^{2}}{D M \cdot X_{1} M}\). Разделяме почленно тези равенства и получаваме \(\tfrac{A X_{2}}{B X_{2}}=\tfrac{C X_{1}}{D X_{1}} \cdot \tfrac{D M}{C M}\). Понеже \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) (от свойство 1М), същевременно имаме \(\tfrac{D M}{C M}=\tfrac{A D}{B C}\), т.е. \(\tfrac{D M}{C M}=\tfrac{d}{b}\). Заместваме в последното равенство и получаваме \(\tfrac{A X_{2}}{B X_{2}}=\tfrac{C X_{1}}{D X_{1}} \cdot \tfrac{d}{b}\). С това доказахме първото от равенствата (2). Аналогично се доказват и останалите равенства.

Както ще видим сега, ъглите, под които срещуположните страни на четириъгълника се виждат от две инверсно изогонални точки, са тясно свързани.

Свойство 5I. Ако \(X\) и \(X_{1}\) са инверсно изогонални точки в четириъгълника \(A B C D\) и \(∢ A U B=\varphi, ∢ A V D=\psi\), , то са изпълнени равенствата:

(3) \[ ∢ A X_{1} B=∢ D X C+\varphi, ∢ A X D=∢ B X_{1} C+\psi . \]

Доказателство. Нека \(M\) е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 5). Ще разгледаме случая, когато точката \(X\) не лежи на правата \(M C\). Имаме \(Y \circ g(X)=X_{1}\) (по условие) и \(Y \circ g(D)=B\) (от свойство 4I). Към точките \(X\) и \(D\), които не могат да лежат на една права с точката на Микел \(M\), защото \(M\) лежи в \(∢ U C V\), а \(X\) - в четириъгълника, прилагаме свойство 2I на инверсната симетрия и получаваме, че \(\triangle B X_{1} M \sim \triangle X D M\). Следва, че

(4) \[ ∢ M B X_{1}=∢ M X D . \]

Аналогично от \(Y \circ g(X)=X_{1}\) (по условие) и \(Y \circ g(C)=A\) (от свойство 4I), като вземем предвид, че точките \(X\) и \(C\) не лежат на една права с точката на Микел \(M\) (според направената уговорка), получаваме \(\Delta X_{1} A M \sim \Delta C X M\) (от свойство 2I). Следва, че

(5) \[ ∢ M A X_{1}=∢ M X C . \]

Точката на Микел \(M\) на четириъгълника \(A B C D\) лежи върху описаната окръжност на \(\triangle A B U\) (по определение 1), следователно \(∢ A M B=∢ A U B=\varphi\). Като вземем предвид равенства (4) и (5), последното равенство и означим с \(P\) произволна точка от продължението на отсечката \(M X_{1}\), получаваме:

\[ \begin{aligned} & ∢ A X_{1} B=∢ A X_{1} P+∢ B X_{1} P=\left(∢ A M X_{1}+M A X_{1}\right)+\left(∢ B M X_{1}+∢ M B X_{1}\right)= \\ & =\left(∢ A M X_{1}+∢ B M X_{1}\right)+∢ M A X_{1}+∢ M B X_{1}=∢ A M B+∢ M X C+∢ M X D= \\ & =∢ A M B+(∢ M X C+∢ M X D)=∢ A U B+∢ D X C=\varphi+∢ D X C . \end{aligned} \] Така се убедихме, че \(∢ A X_{1} B=∢ D X C+\varphi\), с което първото от равенствата (3) е доказано. Аналогично се доказва и второто равенство.

Преди да разгледаме други важни свойства на инверсната изогоналност, ще приведем още едно определение.

Определение 6. Нека \(A B\) е произволна отсечка в равнината. Ще казваме, че точките \(X\) и \(Y\) са изогонални спрямо отсечката \(A B\), ако те лежат на окръжност, минаваща през точките \(A\) и \(B\).

Лема 3. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, а \(Y\) е произволна точка в него. Нека \(X\) е точката, изогонална на \(Y\) спрямо всяка от страните \(A D\) и \(B C\), а \(X_{1}\)– точката, изогонална на \(Y\) спрямо всяка от страните \(A B\) и \(D C\). Ако точките \(X\) и \(X_{1}\) лежат в четириъгълника и \(∢ A U B=\varphi, ∢ A V D=\psi\), , то са изпълнени равенствата:

(6) \[ ∢ A X_{1} B=∢ D X C+\varphi, ∢ A X D=∢ B X_{1} C+\psi . \]

Доказателство. Точките \(X_{1}\) и \(Y\) са изогонални спрямо страната \(A B\) и лежат в четириъгълника (по условие). Следователно те лежат на дъга от окръжност с краища точките \(A\) и \(B\) (фиг.6). Тогава имаме:

(7) \[ ∢ A Y B=∢ A X_{1} B . \]

Точките \(X\) и \(Y\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\) и лежат в четириъгълника (по условие). Следователно те лежат на дъга от окръжност с краища точките \(A\) и \(D\) и на дъга от окръжност с краища точките \(B\) и \(C\). Означаваме с \(P\) произволна точка от продължението на отсечката \(X Y\). От вписаните четириъгълници \(A Y X D\) и \(B Y X C\) имаме:

\[ \begin{aligned} & ∢ A Y B=∢ A Y P+∢ B Y P=∢ A D X+∢ B C X=(∢ D X U+∢ D U X)+(∢ C X U+∢ C U X)= \\ & =(∢ D X U+∢ C X U)+(∢ D U X+∢ C U X)=∢ D X C+∢ D U C=∢ D X C+\varphi . \end{aligned} \] От полученото равенството \(∢ A Y B=∢ D X C+\varphi\) и (7) следва \(∢ A X_{1} B=∢ D X C+\varphi\), т.е. първото от равенства (6). Аналогично се доказва и второто равенство.

Следващата теорема дава достатъчно условие две точки в четириъгълника да са инверсно изогонални.

Теорема 3. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, а \(X\) и \(X_{1}\) са две точки в него, за които съществува точка \(Y\), изогонална на \(X\) спрямо страните \(A D\) и \(B C\) и изогонална на \(X_{1}\) спрямо страните \(A B\) и \(C D\). Ако точката \(Y\) и инверсно изогоналната точка \(X^{*}\) на \(X^{*} \equiv X_{1}\) лежат в четириъгълника, то \(X^{*} \equiv X_{1}\), т.е. точката \(X_{1}\) е инверсно изогонална на \(X\).

Доказателство. Означаваме \(∢ A U B=\varphi\) и \(∢ A V D=\psi\) (фиг. 6). Точката \(X\) в четириъгълника е изогонална на \(Y\) спрямо всяка от страните \(A D\) и \(B C\), а точката \(X_{1}\) е изогонална на \(Y\) спрямо всяка от страните \(A B\) и \(C D\) (по условие). Затова според лема 3 са изпълнени равенствата:

(8) \[ ∢ A X_{1} B=∢ D X C+\varphi, ∢ A X D=∢ B X_{1} C+\psi . \]

Точката \(X\) и инверсно изогоналната ѝ \(X^{*}\) лежат в четириъгълника (по условие). Затова от свойство 5I следват равенствата:

(9) \[ ∢ A X^{*} B=∢ D X C+\varphi, ∢ A X D=∢ B X^{*} C+\psi . \]

От (8) и (9) следват равенствата \(∢ A X_{1} B=∢ A X^{*} B\) и \(∢ B X_{1} C=∢ B X^{*} C\). Освен това точките \(X\) и \(X^{*}\) лежат по условие в четириъгълника. Оттук заключаваме, че те лежат на дъга от окръжност с краища точките \(A\) и \(B\) и върху дъга от окръжност с краища точките \(B\) и \(C\). Освен точката \(B\) тези дъги имат още само една обща точка, поради което \(X^{*}\) и \(X_{1}\) съвпадат. Следователно инверсно изогоналната точка \(X^{*}\) на \(X\) съвпада с \(X_{1}\), т.е. \(X_{1}\) е инверсно изогонална на \(X\).

Следващата теорема, както ще видим, е обобщение на теоремата на Микел за пълния четириъгълник (теорема 1).

Теорема 4. Нека \(X\) и \(X_{1}\) са инверсно изогонални точки в изпъкналия четириъгълник \(A B C D\).

а) Описаните окръжности на триъгълниците \(A X_{1} B, C X_{1} D, A X D\) и \(C X B\) се пресичат в една точка.

б) Описаните окръжности на триъгълниците \(A X_{1} D, B X_{1} C, A X B\) и \(C X D\) се пресичат в една точка.

Доказателство. Означаваме втората обща точка на описаните окръжности \(k_{1}\) и \(k_{2}\) съответно на \(\triangle A X_{1} B\) и \(C X_{1} D\) с \(Y\) (фиг. 6). Ще покажем, че през нея минават и описаните окръжности \(k_{3}\) и \(k_{4}\) съответно на \(\triangle A X D\) и \(\triangle C X B\), с което ще бъде доказано, че и четирите описани окръжности \(k_{1}, k_{2}, k_{3}\) и \(k_{4}\) минават през една точка. Точката \(Y\) е изогонална на \(X\) спрямо страните \(A B\) и \(C D\) (по определение 6). Нека \(X^{\prime}\) е изогоналната точка на \(Y\) спрямо страните \(A D\) и \(B C\). За точките \(X_{1}\) и \(X^{\prime}\) съществува точка, а именно точката та \(Y\) такава, че \(X_{1}\) и \(Y\) са изогонални спрямо страните \(A B\) и \(C D\), а \(X^{\prime}\) и \(Y\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\). По теорема 3 можем да заключим, че инверсно изогоналната точка на \(X\) съвпада с \(X^{\prime}\). Но точката \(Y\) бе изогонална на \(X^{\prime}\) спрямо страните \(A D\) и \(B C\) и затова тя е изогонална на \(X\) спрямо тези страни. Следователно описаните окръжности на \(\triangle A X D\) и \(\triangle B X C\) също минават през \(Y\). С това твърдение а) е доказано. Аналогично се доказва б).

Забележка. От свойство 4I на инверсната изогоналност имаме, че в частност точките \(U\) и \(V\) са инверсно изогонални (фиг. 6). Като приложим токущо доказаната теорема 4 към тези точки, получаваме, че описаните окръжности на четирите триъгълника \(A B U, C D U, A D V\) и \(B C V\) минават през една точка. Но това е точно формулировката на теорема 1 (теоремата на Микел). Виждаме, че теоремата на Микел за пълния четириъгълник е частен случай от теорема 4, т.е. теорема 4 е обобщение на теоремата на Микел.

Както ще видим сега, някои забележителни точки в четириъгълника се изобразяват при инверсната изогоналност в други. Ще ни е необходима следната

Лема 4. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник с пресечна точка на диагоналите \(T\). Ако \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са брокарианите, а \(O\) е псевдоцентърът на \(A B C D\), то са изпълнени следните свойства.

а) Точките \(K_{1}\) и \(T\) са изогонални спрямо страните \(A B\) и \(C D\), а точките \(K_{2}\) и \(T\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\).

б) Точките \(O\) и \(K_{1}\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\), а точките \(O\) и \(K_{2}\) са изогонални спрямо страните \(A B\) и \(C D\).

Доказателство. Брокарианата \(K_{1}\) е втората обща точка на описаните окръжности за \(A B T\) и \(\triangle C D T\)– по определение 1 от (Haimov, 2005) (фиг. 7). Затова точките \(K_{1}\) и \(T\) са изогонални спрямо страните \(A B\) и \(C D\) (по определение 6). Аналогично се доказва, че точките \(K_{2}\) и \(T\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\). Псевдоцентърьт \(O\) и брокарианата \(K_{1}\) лежат на окръжност, минаваща през точките \(A\) и \(D\), и на окръжност, минаваща през точките \(B\) и \(C\)– според забележката след теорема 1 от (Хаимов, 2010). Това означава, че точките \(O\) и \(K_{1}\) са изогонални спрямо страните \(A D\) и \(B C\). Аналогично се доказва, че точките \(O\) и \(K_{2}\) са изогонални спрямо страните \(A B\) и \(C D\).

Теорема 5. Нека \(Y \circ g\) е инверсната изогоналност спрямо изпъкналия четириъгълник \(A B C D\). Ако \(T\) е пресечната точка на диагоналите, \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са\(Y \circ g(T)=O\) брокарианите, . а \(O\) е псевдоцентърът на \(A B C D\), то \(Y \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) и

Доказателство. Ще разгледаме случая, когато точките \(K_{1}, K_{2}\) и \(Y \circ g\left(K_{1}\right)\) лежат в четириъгълника (фиг. 7). Другите случаи се разглеждат аналогично. За точките \(K_{1}\) и \(K_{2}\) съществува точка (а именно точката Т), изогонална на \(K_{1}\) спрямо страните \(A B\) и \(C D\) и изогонална на \(K_{2}\) спрямо страните \(A D\) и \(B C\) (по лема 4). При това точките \(K_{1}, K_{2}\) и \(Y \circ g\left(K_{1}\right)\) според направената уговорка лежат в четириъгълника. По теорема 3 можем да заключим, че \(Y \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\). Аналогично се доказва, че \(Y \circ g(T)=O\).

Следствие. Нека \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са брокарианите на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\). Ако четириъгълникът \(A K_{2} C K_{1}\) е изпъкнал, неговата точка на Микел съвпада с точката на Микел за \(A B C D\).

Доказателство. Ще разглеждаме случая, когато точките \(A\) и \(K_{1}\) не лежат на една права с точката на Микел \(M\) за четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 7). Нека \(Y \circ g\) е инверсната изогоналност спрямо \(A B C D\). Имаме \(Y \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (по теорема 5) и \(Y \circ g(A)=C\) (свойство 4I). При това \(Y \circ g\) е инверсна симетрия с полюс \(M\). Можем да използваме свойство 3I на инверсната симетрия и да заключим, че полюсът \(M\) на инверсната симетрия \(Y \circ g\) е точка на Микел на четириъгълника \(A K_{2} C K_{1}\). Следователно точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) е точка на Микел и за четириъгълника \(A K_{2} C K_{1}\).

Накрая с помощта на инверсната изогоналност ще докажем една връзка между две забележителни точки в четириъгълника.

Теорема 6. Нека \(M\) е точката на Микел за изпъкналия четириъгълник \(A B C D\). Ако правите \(A C\) и \(B D\) не минават през \(M\), то точката \(M\) и псевдоцентърът \(O\) на \(A B C D\) лежат на окръжност, минаваща през точките \(A\) и \(C\), и на окръжност, минаваща през точките \(B\) и \(D\).

Доказателство. При инверсната изогоналност \(Y \circ g\) права, не минаваща през полюса \(M\), се изобразява в окръжност, минаваща през \(M\) (от известно свойство на инверсията). Понеже \(Y \circ g(A)=C\) и \(Y \circ g(C)=A\) (свойство 4I) (фиг. 8), правата \(A C\) се изобразява в окръжност, минаваща през \(C, A\) и \(M\), т.е. в описаната окръжност \(k_{1}\) на \(\triangle A C M\). Аналогично правата \(B D\) се изобразява в описаната окръжност \(k_{2}\) на \(\triangle B D M\). Общата точка \(T\) на правите \(A C\) и \(B D\) се изобразява при преобразуванието \(Y \circ g\) в обща точка на окръжностите \(k_{1}\) и \(k_{2}\). Но точката \(T\) се изобразява при инверсната изогоналност \(Y \circ g\) в псевдоцентъра \(O\) (по теорема 5). Следователно именно псевдоцентърът \(O\) е втората обща точка на описаните окръжности \(k_{1}\) и \(k_{2}\) на триъгълниците \(A C M\) и \(B D M\). Следователно точките \(O\) и \(M\) лежат на окръжност.

REFERENCES / литература

Sharigin, I. (1986). Geometry problems. Plane geometry. Moscow: Nauka. [Шарыгин, И. (1986). Задачи по геометрии. Планиметрия. Москва: Наука.]

Haimov, H. (2001). The Brocardians – notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 6. [Хаимов, Х. (2001). Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6.]

Alexandrov, P. & H. Haimov (2003). Geometry of the Quadrangle Isogonal Conjugated Points. Proceedings of the the International Congress of MASSEE 2003, 141.

Haimov, H. (2005). Brocardian points of a quadrilateral, Mathematics Plus, 5. [Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълник, Математика плюс, 5.]

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral, Mathematics Plus, 2, 28 – 50. [Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника, Математика плюс, 2, 28 – 50.]

Georgieva, M. & S. Grozdev (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4{ }^{\text {th }}\) ed.). Sofia: Publ. House “Iztok-Zapad”. (ISBN 978-619-152-869-1). 327 pages [Георгиева М., Гроздев С. (2016). [Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4то изд.) София: Издателство „Изток – Запад“]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE. (ISBN 978-954-921391-1), 295 pages

Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska (2015). Geometry of complex numbers, Sofia: Arhimedes 2000. (ISBN 978-954-779-1886)