Abstract. The article considers an extension of the concept of the Archimedes arbelos. The elliptic arbelos consists of two circles (generating circles) which define an ellipse with foci in their centers. Three types of elliptic arbeloses are considered: tangential, intersecting and non-intersecting. Basic properties of the figure are established and formed as theorems. A Sangaku-type problem in a Bulgarian mathematical journal inspired the author to examine a specific configuration of tangents and perpendicular lines and their relation to the elliptic arbelos. The concept of generalized elliptic arbelos and Archimedes’ circles in the generalized elliptic arbelos are introduced and an algorithm for their construction is designed. Some open questions are stated.

Keywords: elliptic arbelos, Sangaku, Archimedes’ circles

Увод

Традиционната японска математика Васан впечатлява с изящество и оригиналност, което е провокирало трайния интерес към нея по света и в частност у нас. На страниците на списание Математика и информатика години наред проф. Йордан Табов предлага на вниманието на читателите автентични задачи сангаку в рубриката Задача на броя. В рамките на една по-обща програма, а именно изготвяне на динамични конструкции на конфигурации сангаку, решихме да разгледаме конфигурацията от фигура 1.

Фиг. 1 Задача на броя (МИ, 2005).

Предизвикателството се състоеше в съставянето на задача по дадения чертеж. При това не са посочени връзки между отделните елементи на конструкцията. Макар чертежът да дава представа за повечето такива връзки, за най-съществената – между елипсата и двете външно допиращи се окръжности – не е казано нищо. Ясно е само, че тези окръжности допират елипсата вътрешно във върховете й.

Фигурата, съставена от елипса и две вътрешно допиращи я окръжности, които взаимно се допират външно, наподобява геометричен арбелос (Архимед, III в. пр. н. е.). Елипсата в конструкцията сангаку поема ролята на външната дъга на геометричния арбелос. Нещо повече, както се вижда на фигура 2 (снимката е от http://www.math.tamu.edu/~harold.boas/ preprints/arbelos.pdf, активна ноември, 2011), физическият арбелос има външна дъга, която е по-скоро дъга от елипса, отколкото от окръжност. Проучването в достъпните ни източници установи, че подобна фигура не е изучавана самостоятелно. Това ни даде основание да въведем понятието елиптичен арбелос, за който ще стане дума в настоящата статия.

1. Определение и основни параметри на елиптичен арбелос

Нека са дадени две окръжности \(k_{1,2}\left(A_{1,2} ; R\right)\). Означаваме \(c=A_{1} A_{2} / 2\). Окръжностите еднозначно определят елипса \(\varepsilon\) с фокуси \(A_{1} A_{2}\) и голяма полуос \(a=c+R\).

Фигурата, състояща се от \(k_{1}, k_{2}\) и \(\varepsilon\), k2 и e, ще наричаме елиптичен арбелос. По аналогия с (Гроздев & Ватанабе, 2011) елиптичния арбелос ще определяме като:

– тангенциален при \(R=c R=c\);

– пресекателен при \(R \gt c R \gt c\);

– непресекателен при \(R \lt c R \lt c\) (фиг. 3) .

Окръжностите \(k_{1}\) и \(k_{2}\) ще наричаме пораждащи окръжности на елиптичния арбелос.

Теорема 1. Елипсат а \(\varepsilon\) в елиптичния арбелос има малка полуос . (за тангенциален елиптичен арбелос \(b=\sqrt{3} R\) ).

Доказателство. Във формулата \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\) заместваме \(a=c+R\) и изразяваме \(b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{(R+c)^{2}-c^{2}}=\sqrt{R^{2}+2 c R}\).

Теорема 2. Окръжността \(i\), която се допира външно до \(k_{1}\) и \(k_{2}\), както и вътрешно до \(\varepsilon\) (фигура 4), има радиус \(r=\tfrac{c^{2}+2 c R}{2 R+2 \sqrt{2 c R+R^{2}}}\). (за тангенциален елиптичен арбелос \(r=3(\sqrt{3}-1) R / 4)\).

Доказателство. При означенията на фигура 4 имаме \(A_{1} I=R+r, O I=b-r\). От Питагорова теорема за \(\Delta A_{1} O I\), отчитайки теорема 1, последователно получаваме

\[ A_{1} I^{2}=A_{1} O^{2}+O I^{2} \Rightarrow(R+r)^{2}=c^{2}+\left(\sqrt{R^{2}-2 c R}-r\right)^{2} \] Решаваме горното уравнение относно \(r\) и получаваме:

\[ r=\tfrac{c^{2}+2 c R}{2 R+2 \sqrt{2 c R+R^{2}}} \] Окръжността \(i\) от теорема 2 ще наричаме вписана окръжност в елиптичния арбелос. Следват три примера, описващи конкретни конфигурации в духа на Сангаку.

Пример 1. Ще намерим \(R\) за елиптичен арбелос, на който \(c=1\), и вписаните окръжности взаимно се допират (фиг. 5).

Решение: Поради симетрията относно \(A_{1} A_{2}\) двете вписани окръжности се допират помежду си точно когато се допират до правата \(A_{1} A_{2}\).

Конфигурацията се реализира точно когато диаметърът на вписаната окръжност \(i\) е равен на малката полуос на елипсата \(\varepsilon\). Съгласно теореми 1 и 2 при \(c=1\) за \(R\) получаваме уравнението

\[ 2 \cdot \tfrac{1+2 R}{2 R+2\sqrt{2 R+R^{2}}}=\sqrt{R^{2}+2 R} . \] След съкращаване на 2 отляво решаваме горното уравнение с пакета MATHEMATICA (за изчертаването приемаме приближението \(R \approx 0,56\) ).

Пример 2. Ще намерим \(R\) на елиптичен арбелос с \(c=1\), за който вписаните и пораждащите окръжности са еднакви (фиг. 6) .

Решение: Позовавайки се на теорема 2, решаваме уравнението \(r(R)=R\) при \(c=1\) с пакета MATHEMATICA:

\[ \begin{gathered} R=\tfrac{1+2 R}{2 R+2 \sqrt{2 R+R^{2}}} \\ R=\tfrac{1}{48}(3456-384 \sqrt{33})^{1 / 3}+\tfrac{(9+\sqrt{33})^{1 / 3}}{2 \cdot 6^{2 / 3}} \end{gathered} \]

Тази конфигурация се реализира в непресекателен елиптичен арбелос.

Пример 3. Ще намерим \(R\) на елиптичен арбелос с \(c=1\), вписаната окръжност на който има център върху \(A_{1} A_{2}\) (фиг. 7).

Решение: Конфигурацията се реализира точно когато радиусът на вписаната окръжност \(i\) е равен на малката полуос на елипсата \(\varepsilon\). Съгласно теореми 1 и 2 при \(c=1\), за \(R\) получаваме уравнението

\[ \tfrac{1+2 R}{2 R+2\sqrt{2 R+R^{2}}}=\sqrt{R^{2}+2 R} . \]

Решаваме горното уравнение с пакета MATHEMATICA и получаваме \(\mathrm{R}=1 / 4\).

Трябва да отбележим, че коректното прилагане на теорема 2 в този случай изисква внимание, тъй като \(\Delta A_{1} O I\) от доказателството на теорема 2 се изражда в отсечка.

2. Помощна конструкция

Конфигурацията на фигура 1 ни насочи към разглеждането на следната помощна конструкция.

Дадени са две точки \(A_{1,2}\) и отсечка R. Нека \(c=\tfrac{A_{1} A_{2}}{2}\). Построяват се окръжностите \(k_{1}\left(A_{1} ; R\right)\) и \(k_{2}\left(A_{2} ; R\right)\). Нека \(V_{1,2}\) са онези пресечни точки на правата \(A_{1} A_{2}\) съответно с \(k_{1,2}\), за които \(A_{1}\) и \(A_{2}\) са от отсечката \(V_{1} V_{2}\). Нека \(t_{1,2}\) са допирателните през \(V_{1,2}\) към \(k_{2,1}\), които се допират до съответните окръжности в една полуравнина относно \(A_{1} A_{2}\). Нека \(p_{2}\) е перпендикулярът през \(A_{2}\) към \(t_{2}\) и \(s_{2}\) е перпендикулярът през \(A_{2}\) към \(t_{1}\). Нека накрая \(E_{2}=p_{2} \cap t_{1}\) (фиг. 8).

Ще се ограничим със случая \(E_{2}\) да е в полуравнината с контур \(A_{1} A_{2}\), в която са допирните точки на \(t_{1,2}\) съответно с \(k_{2,1}\).

По-нататък ще работим в Декартова координатна система, за която \(A_{1,2}=(\mp c, 0)\), като приемем \(c=1\), което описва общия случай с точност до подобие. Навсякъде ще следваме означенията, въведени в конструкцията.

Лема 1. Уравненията на \(t_{1,2}\) са

\[ \begin{gathered} t_{1}: y=\tfrac{R}{2 \sqrt{1+R}}(x+1+R) \\ t_{2}: y=-\tfrac{R}{2 \sqrt{1+R}}(x-1-R) \end{gathered} \]

Доказателство. Ъгловия коефициент на \(t_{1}\) намираме от правоъгълния триъгълник с хипотенуза \(V_{1} A_{2}=2+R\) и катет \(R\).

Лема 2. Уравненията на \(\mathrm{p}_{2}\) и \(\mathrm{s}_{2} \mathrm{ca}\)

\[ \begin{gathered} p_{2}: y=\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R}(x-1) \\ s_{2}: y=-\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R}(x-1) \end{gathered} \]

Доказателство. От \(p_{2} \perp t_{2}\) следва, че ъгловият коефициент на \(p_{2}\) е

\[ -\tfrac{1}{-\tfrac{R}{2 \sqrt{1+R}}}=\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R} \] Сега от условието \(A_{2}(1 ; 0) \in p_{2}\) получаваме

\[ y-0=-\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R}(x-1) \]

От \(s_{2} \perp t_{1}\) следва, че ъгловият коефициент на \(s_{2}\) е

\[ -\tfrac{1}{\tfrac{R}{2 \sqrt{1+R}}}=-\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R} \]

Сега от условието \(A_{2}(1 ; 0) \in S_{2}\) получаваме

\[ y-0=-\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R}(x-1) . \]

Лема 3. Координатите на \(\mathrm{E}_{2}\) са

\[ \left(\tfrac{4+4 R+R^{2}+R^{3}}{4+4 R-R^{2}} ; \tfrac{2 R^{2} \sqrt{1+R}(2+R)}{4+4 R-R^{2}}\right) . \]

Доказателство. Решаваме системата

\[ \begin{gathered} y=\tfrac{R}{2 \sqrt{1+R}}(x+1+R) \\ y=\tfrac{2 \sqrt{1+R}}{R}(x-1) \\ \end{gathered} \]

и получаваме

\[ \begin{gathered} x=\tfrac{4+4 R+R^{2}+R^{3}}{4+4 R-R^{2}} \\ y=\tfrac{2 R^{2} \sqrt{1+R}(2+R)}{4+4 R-R^{2}} . \end{gathered} \]

От изразите за координатите на \(E_{2}\) става ясно, че \(E_{2}\) е в разглежданата полуравнина за \(R \in 2(1+\sqrt{2})\). При \(R=2(1+\sqrt{2})\) правите \(t_{1}\) и \(p_{2}\) са успоредни, а за \(R \gt 2(1+\sqrt{2})\) те се пресичат в противоположната на разглежданата полуравнина спрямо \(A_{1} A_{2}\).

Лема 4. Фокалните радиуси на \(E_{2}\) са

\[ \begin{gathered} E_{2} A_{1}=\tfrac{\sqrt{64+128 R+80 R^{2}+48 R^{3}+36 R^{4}-4 R^{5}+R^{6}}}{4+4 R-R^{2}} \\ E_{2} A_{2}=\tfrac{R(2+R)^{2}}{4+4 R-R^{2}} . \end{gathered} \]

Доказателство. От лема 3 за \(E_{2} A_{1}{ }^{2}\) извеждаме

\[ \tfrac{64+128 R+80 R^{2}+48 R^{3}+36 R^{4}-4 R^{5}+R^{6}}{\left(4+4 R-R^{2}\right)^{2}} \]

3a \(E_{2} A_{2}{ }^{2}\) имаме

\[ \tfrac{R^{2}(2+R)^{4}}{\left(-4-4 R+R^{2}\right)^{2}} \]

3. Връзка на конструкцията с елиптичния арбелос

Теорема 3. За тангенциален елиптичен арбелос точката \(E_{2}\) лежи на \(\varepsilon\) (фиг. 9).

Доказателство. За тангенциален елиптичен арбелос \(R=\tfrac{A_{1} A_{2}}{2}=c=1\).От лема 4 получаваме \(E_{2} A_{1}=\tfrac{19}{7}, E_{2} A_{2}=\tfrac{9}{7}\) и \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2}=4=V_{1} V_{2}\), , следователно \(E_{2}\) лежи на \(\varepsilon\).

Теорема 4. За непресекателен елиптичен арбелос \(E_{2}\) лежи извън \(\varepsilon\); за пресекателен елиптичен арбелос \(E_{2}\) е извън \(\varepsilon\) (фиг. 10) .

Доказателство. Сравняваме сумата от фокалните радиуси \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2}\) с голямата ос \(2 a=2(1+R)\). Изследваме неравенството \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2} \lt 2(1+R)\) графично, построявайки с пакета MATHEMATICA двете графики:

1) на \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2}\) като функция на \(R\) съгласно Лема 4

2) на \(2(1+R)(\) фиг. 11).

В интервала \((0 ; 2(1+\sqrt{2}))\) графиките се пресичат при \(R=1\). Дясната фигура по-казва взаимното положение на графиките в интервала \((0 ; 1,2)\).

• За непресекателен елиптичен арбелос \(\mathrm{R} \in(0 ; 1)\). В този случай графиката на \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2}\) е под тази на голямата ос, т.е. \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2} \lt 2(1+R)\) и \(E_{2}\) е вътрешна точка за \(\varepsilon\).

• За пресекателен елиптичен арбелос \(R \in(1 ; 2(1+\sqrt{2}))\). В този случай графиката на \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2}\) е над тази на \(2(1+R)\), т.е. \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2} \gt 2(1+R)\) и \(E_{2}\) е външна точка за елипсата.

Аналитично решение на неравенството ни беше предоставено от проф. Николай Николов. Той преобразува неравенството \(E_{2} A_{1}+E_{2} A_{2} \lt 2(1+R)\) в еквивалентното му \(64+128 R+80 R^{2}+48 R^{3}+36 R^{4}+4 R^{5}+4 R^{6}-\left(2(1+R)\left(4+4 R-R^{2}\right)-R(2+R)^{2}\right)^{2} \lt 0\).

След разлагане на полинома от лявата страна на неравенството той получава

\[ -8(-1+R) R(1+R)(2+R)\left(-4-4 R+R^{2}\right) . \]

Прилагайки метода на интервалите, Николай Николов стига до извода, че решенията на неравенството в интервала \((0 ; 2(1+\sqrt{2}))\) съответстват на нашето графично решение.

4. Връзка на конструкцията с вписаната окръжност

Наблюденията, направени на основата на динамични GeoGebra конструкции върху взаимното положение на \(s_{2}\) и вписаната окръжност, ни подсказват следната

Хипотеза. За тангенциален елиптичен арбелос \(s_{2}\) допира \(i\); за пресекателен елиптичен арбелос \(s_{2}\) пресича \(i\); за непресекателен елиптичен арбелос \(s_{2}\) и \(i\) нямат общи точки (фиг. 12).

За да потвърдим или отхвърлим хипотезата, първо ще установим следната

Лема 5. Уравнението на \(i\) e

\[ x^{2}+(y-b+r)^{2}=r^{2} \]

Доказателство. Центърьт на \(i\) е точката с координати \(I(0 ; b-r)\).

Проверка на хипотезата: Тангенциален елиптичен арбелос се получава при \(R=1\), а тогава според теореми 1 и 2 имаме \(b=\sqrt{3}\) и \(r=\tfrac{3(\sqrt{3}-1)}{4}\). Съгласно леми 2 и 5 трябва да установим, че системата

\[ \begin{gathered} x^{2}+\left(y-\sqrt{3}+\tfrac{3(\sqrt{3}-1)}{4}\right)^{2}=\tfrac{3(\sqrt{3}-1)^{2}}{4} \\ y=-2 \sqrt{2}(x-1) \end{gathered} \] има единствено решение. Решавайки системата с пакета MATHEMATICA, се оказва, че тя има две реални решения:

\[ \begin{gathered} x_{1,2}=\tfrac{1}{18}(16-3 \sqrt{2}-\sqrt{6} \pm \sqrt{2(23+6 \sqrt{2}-21 \sqrt{3}+2 \sqrt{6})}), \\ y_{1,2}=\tfrac{2}{9}(3+\sqrt{2}+\sqrt{3} \mp \sqrt{23+6 \sqrt{2}-21 \sqrt{3}+2 \sqrt{6}}) . \end{gathered} \]

По този начин хипотезата е отхвърлена в случая тангенциален елиптичен арбелос. От съображения за непрекъснатост може да се заключи, че тя не е в сила и за непресекателен елиптичен арбелос.

5. Обобщен елиптичен арбелос

Определението на елиптичен арбелос визира конфигурация от еднакви окръжности и еднозначно определена елипса с фокуси в центровете им. Това е в духа на обикновения арбелос, където външната дъга е еднозначно определена от двете по-малки дъги. Естествен е въпросът за обобщаване на това определение. За тази цел обаче подходът трябва да се смени.

Нека \(\varepsilon\) е елипса с фокуси \(F_{1,2}\) и върхове \(V_{1,2}, F_{1}\) се намира между \(V_{1}\) и \(F_{2}\left(V_{1} V_{2}\right.\) е голямата ос на \(\varepsilon\) ). Нека точките \(O_{1,2}\) са от отсечката \(V_{1} V_{2}\); разглеждаме окръжностите \(k_{1,2}\left(O_{1,2} ; R_{1,2}\right)\). С \(O\) означаваме средата на \(F_{1} F_{2}\). Нека \(\rho=\tfrac{O V_{1}{ }^{2}-O F_{1}{ }^{2}}{O V_{1}}\). Когато \(R_{1,2} \in(0 ; \rho]\) имаме обобщен елиптичен арбелос. Типовете тангенциален, пресекателен и непресекателен се запазват (фиг. 13).

Аналогичен е случаят, когато \(V_{1} V_{2}\) е малката ос на \(\varepsilon\).

Елиптичен арбелос имаме при \(R_{1}=R_{2}\) и \(O_{1,2} \equiv F_{1,2}\). Случаите, в които някоя от окръжностите е окръжност на кривина за елипсата във върховете \(V_{1} V_{2}\), се явяват гранични (\(R_{1}=\rho\) или \(R_{2}=\rho\) ). Ако \(R_{1} \gt \rho\) или \(R_{2} \gt \rho\), съответната окръжност пресича елипсата и аналогията с арбелоса се прекъсва, както е показано на фиг. 14.

6. Допълнение

Обичайният подход при изследване на (кръгов) арбелос е с инверсия относно окръжност с център допирната точка на вътрешните окръжности. В резултат на това се получават удобни за изследване конфигурации от успоредни прави и окръжности (Прасолов, 1986).

При елиптичния арбелос обаче образът на елипсата при инверсия в общия случай е линия от четвърта степен (Rangel-Mondragon, 2012). Например образът на елипсата на тангенциален елиптичен арбелос при инверсия относно единичната окръжност е кривата с уравнение

\[ \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{3}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} . \]

На фигура 15 са показани образите на две семейства елипси при инверсия относно окръжност с център върху голямата ос на елипсата (отляво) и център, съвпадащ с центъра на елипсата (отдясно).

7. Архимедови окръжности в обобщен елиптичен арбелос

Въпросът за Архимедовите окръжности-близнаци ни беше поставен от проф. Сава Гроздев на Националния кръг на конкурса „Математика и проектиране“ през 2012 г. Следват няколко резултата в тази насока.

По аналогия с (Гроздев&Ватанабе, 2011) построяваме радикалната ос \(a\) на по-раждащите окръжности в обобщен елиптичен арбелос. Окръжностите, допиращи се до \(a, \varepsilon, k_{1}\) и \(a, \varepsilon, k_{2}\), , наричаме Архимедови. Приближени пресмятания показват, че за разлика от окръжностите-близнаци в обобщения арбелос Архимедовите окръжности в обобщения елиптичен арбелос не са еднакви (фиг. 16).

За построяването им са ни необходими геометричното място на точки, равно отдалечени от пораждащите окръжности и радикалната ос, както и геометричното място на точките, равно отдалечени от радикалната ос и елипсата. Центърът на Архимедова окръжност е измежду общите точки на двете ГМТ, а радиусът може да се определи като разстоянието от центьра до \(a\).

Лема 6. Геометричното място на точки, равно отдалечени от права и окръжност, е парабола.

Доказателство. Нека са дадени правата \(a\) и окръжността \(k(O ; R)\). Разглеждаме правата \(d\), която е успоредна на \(a\) и е на разстояние \(R\) от нея, както е показано на фигура 17. Означаваме с П параболата с фокус \(O\) и директриса \(d\).

По-нататък със \(Z z\) ще означаваме разстоянието от точка \(Z\) до фигура \(z\). \(X k=X O-R, X a=X d-R\). Тогава \(X \in \Pi \Leftrightarrow X O=X d \Leftrightarrow X k=X a\).

Конструкция на точка, равно отдалечена от \(a\) и \(\varepsilon\).

1. Построяваме допирателна \(t\) към елипсата през точка \(\mathrm{P} \in \varepsilon\).

2. Построяваме ъглополовяща \(l\) на ъгъла между \(t\) и \(a\).

3. Построяваме нормалата \(n\) към \(\varepsilon\) през \(P\) и пресечната точка \(A\) на \(n\) и \(a\).

4. Построяваме окръжност \(a\) с център \(A\) и радиус \(A P\).

Лема 7. При горните означения, ако единствената обща точка на \(a\) и \(\varepsilon\) е \(P\), то тя е равно отдалечена от \(a\) и \(\varepsilon\).

Доказателство. \(A \in l \Rightarrow A a=A t, A \in n \Rightarrow A t=A P\). Щом \(P\) е единствената обща точка на \(a\) и \(\varepsilon\), то \(A \varepsilon=A P\) и \(A a=A \varepsilon\).

Извод. В условията на лема 7, когато точката \(P\) описва дъга от елипсата, точката \(A\) описва съответна дъга от \(L-\Gamma\) МТ, равно отдалечени от елипсата \(\varepsilon\) и правата \(a\) (фиг. 18).

За построяването на Архимедовите окръжности трябва да се построи окръжност с радиус \(A P\) и център пресечната точка на \(L\) и П.

8. Отворени въпроси

1) Въпросът за допирането на \(s_{2}\) и \(i\) е отворен и се свежда до изследване на знака на дискриминантата

\(-24 R^{3}-20 R^{4}+52 R^{5}+64 R^{6}+16 R^{7}+16 R^{4} \sqrt{1+R}+40 R^{5} \sqrt{1+R}+16 R^{6} \sqrt{1+R}-\) \(32 R^{3} \sqrt{2 R+R^{2}}-32 R^{4} \sqrt{2 R+R^{2}}+8 R^{4} \sqrt{(1+R)\left(2 R+R^{2}\right)}+16 R^{5} \sqrt{(1+R)\left(2 R+R^{2}\right)}\)

Възможен подход е приложеният в доказателството на теорема 4.

2) Видът на ГМТ \(L\) не ни е известен. Следва скицирана идея, която води до параметрично представяне на \(L\). Взимаме произволна точка \(\mathrm{P} \in \varepsilon\), зададена параметрично от \(\varphi: P\left(x_{\mathrm{p}} ; y_{\mathrm{p}}\right)\), където \(x_{\mathrm{p}}=a \cos \varphi x_{\mathrm{p}}, x_{\mathrm{p}}=b \sin \varphi y_{\mathrm{p}}\). Допирателната през \(P\) към \(\varepsilon\) е с уравнение \[ t: \tfrac{x_{P}}{a^{2}} x+\tfrac{y_{P}}{b^{2}} y=1 \] което записваме във вида

\[ t: y=\tfrac{b^{2}}{y_{P}}\left(1-\tfrac{x_{P}}{a^{2}} x\right)=\tfrac{b^{2}}{y_{P}}-\tfrac{x_{P} b^{2}}{y_{P} a^{2}} x \] Уравнението на нормалата \(n\) през \(P\) е

\[ n: \tfrac{y_{P} a^{2}}{x_{P} b^{2}}\left(x-x_{P}\right)+y_{P} \] За да получим уравнението на ъглополовящата \(l\), ни е необходимо нормалното уравнение на \(t\) : \[ t: \tfrac{\tfrac{x_{P}}{a^{2}} x+\tfrac{y_{P}}{b^{2}} y-1}{\sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}}=0 \]

Нека радикалната ос на пораждащите окръжности \(a: x=q\). Тогава уравнението на \(l\) е

\[ l:\left(\tfrac{\tfrac{x_{P}}{a^{2}}}{\sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}} \pm 1\right) x+\tfrac{\tfrac{y_{P}}{b^{2}}}{\sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}} y-\tfrac{1}{\sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}} \mp q=0 . \]

Координатите на центъра \(A_{2}\left(x_{\mathrm{P}} ; y_{\mathrm{P}}\right)\) на Архимедовата окръжност \(\mathrm{a}_{2}\) са решенията на система от уравненията на \(l\) и \(n\) \[ \left\{\begin{array}{c} x=\tfrac{\left(a^{2}-b^{2}\right) x_{P}}{a^{2}}, \\ \left.y=\tfrac{b^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right) x_{P} \sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}\left(1-\tfrac{x_{P}}{a^{2} \sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}}\right)}{a^{2} y_{P}}+\tfrac{b^{2}\left(-1+q \sqrt{\tfrac{x_{P}{ }^{2}}{a^{4}}+\tfrac{y_{P}{ }^{2}}{b^{4}}}\right)}{y_{P}}\right) \end{array}\right\} \]

След като заместим \(x_{\mathrm{p}}\) и \(y_{\mathrm{p}}\) с параметричната им форма, получаваме изразите

\[ \left\{\begin{array}{c} x=\tfrac{\left(a^{2}-b^{2}\right) \cos \varphi}{a}, \\ y=\tfrac{b}{a}\left(a^{2}-b^{2}\right) \operatorname{cotg} \varphi \sqrt{\tfrac{\cos ^{2} \varphi}{a^{2}}+\tfrac{\sin ^{2} \varphi}{b^{2}}}\left(1-\tfrac{\cos \varphi}{a \sqrt{\tfrac{\cos ^{2} \varphi}{a^{2}}+\tfrac{\sin ^{2} \varphi}{b^{2}}}}\right)+\tfrac{b\left(-1+q \sqrt{\tfrac{\cos ^{2} \varphi}{a^{2}}+\tfrac{\sin ^{2} \varphi}{b^{2}}}\right)}{\sin \varphi} \end{array}\right\} \]

Това би трябвало да са параметричните уравнения на търсеното ГМТ \(L\).

Благодарности

Резултатите са получени под ръководството на доц. Борислав Лазаров.

Авторът благодари на проф. Сава Гроздев за съдържателните въпроси и положителното отношение, на г-н Явор Джонев – основател на Сирма Груп Холдинг и председател на Надзорния съвет на Холдинга, за моралната и финансовата подкрепа, оказана при работата по темата, както и на проф. Йордан Табов за оказаното съдействие.

БЕЛЕЖКИ

Rangel-Mondragon,J. (2012). Inverting an Ellipse. http://demonstrations.wolfram. com/InversiveGeometryIIIInvertingAnEllipse (active in Feb 2012)

ЛИТЕРАТУРА

Архимед (III в. пр.н.е.). Книга лемм. В Архимед. Сочинения. Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962, 393–395

Гроздев, С.& М. Ватанабе (2011). Обобщеният арбелос като примерен инструментариум за развиващо обучение в Япония. Сборник с доклади на Четиридесета юбилейна пролетна конференция на СМБ, Боровец, 5–9 април 2011 г., 380–386

МИ (2005). Задачата на броя (редакционна). Математика и информатика, vol. XLVIII [4]

Прасолов, В. (1986). Задачи по планиметрии, часть II. Наука, Москва, 212–214.