Резюме. Само четири основни положения са необходими за построяване на апарата на висшата математика – интуитивната представа на човека за скорост, математическата представа за непрекъснатост на функция и две граници, които, поради особената си роля в математиката, са означени като „забележителни“; първата забележителна граница \(\mathrm{e}(\sin \mathrm{x} / \mathrm{x})_{\mathrm{x} \rightarrow 0}=1\), а втората забележителна граница е \((1+\mathrm{x})_{x \rightarrow 0}^{1 / x}=\mathrm{e}\). Така построяването на апарата на диференциалното смятане може да се направи без особено усилие от всеки. В тази статия е показано как става това.

Ключови думи: higher mathematics, derivatives, Newton, Leibnitz

Увод

Задача на училището е да стимулира креативното мислене на учениците. Креативното мислене е критично – това означава оценка на обстоятелствата, при които се появява едно явление или протича някакъв процес с преценка на онези фактори, които са съществени, и разпознаване на факторите, които са с второстепенна роля. Много са хората, които мислят с образи – това са хората с хуманитарна нагласа на съзнанието. По-малко са носителите на аналитичното мислене – те мислят с числа и могат с абстрактни конструкции да формализират това, което наблюдават; успехът на тези хора в природните науки най-често е гарантиран. Има обаче и трета категория хора – хората с имитация на мислене; човек е устроен така, че може да комбинира образци-клишета, които получава от околната среда, и по този начин да имитира мисловен процес. Тази имитация е особено важна, защото чрез комбинацията на клишетата, които той получава от обкръжението си – от близките, улицата, училището, медиите, познатите, всеки човек може да си осигури комфорт в минисредата, в която живее.

Описаните по-горе различия са вродени белези на личността и на тях училището не би могло да влияе особено съществено. Училището обаче трябва да полага грижи за преодоляването на натрупани личностни предубеждения. Едно от тези предубреждения е широко ширещата между хората нагласа, че математиката е особено трудна и не е за всеки.

Математиката наистина е трудна, защото борави с числа, за които човек няма интуитивна представа; дори преценката дали едно число е малко, или голямо създава затруднения. Ето пример от химията – най-важното число в химията е числото на Авогадро \(-6,02.10^{23}\), което дава броя частици в 1 мол вещество. Декларира се, че това число е много голямо, но усещането за това, че този брой частици наистина е огромен, обикновено липсва. Това усещане ще се появи, ако на обучаемите се предложи например следното разсъждение. Да допуснем, че на Земята живеят 5 милиарда хора. Да допуснем, че във Вселената има 5 милиарда планети и на всяка от тях живеят по 5 милиарда хора. Тогава общият брой на хората, които „населяват“ Вселената, ще бъде \(5.10^{9} \times 5.10^{9}=2,5.10^{19}\). В молекулната физика това число (на Лошмит) дава броя на молекулите в \(1 \mathrm{~cm}^{3}\) газ при температура \(0^{\circ} \mathrm{C}\) и налягане 101325 Па (1 атм.). След това разсъждение всеки ще разбере, че числото 25 милиарда наистина е много голямо. А числото на Авогадро е около 30 000 пъти по-голямо от числото на Лошмит.

Човек няма интуиция за числа, но има интуиция за скорост – всеки усеща дали едно тяло се движи бързо, или бавно. Това е достатъчно, за да се достигне с лекота до основното понятие на диференциалното смятане – понятието „производна“. Ако към интуитивната представа за скорост се добави допълнителна математическа информация, която се изчерпва само в три пункта, тогава построяването на апарата на висшата математика ще се окаже възможно и не особено трудно. В тази статия е описано как става това.

Производна на функция

Величините са постоянни и променливи. Променливите величини се изменят по-бързо или по-бавно, т.е. промяната на стойностите на тези величини може да става с различна скорост.

Едно тяло се движи, когато променя положението си спрямо други тела. Казваме, че познаваме закона на движение на едно тяло (масова точка), когато знаем как на всяка стойност на времето \(x\) може да се съпостави определен път \(y\) :

(11) \[ y=f(x) \]

Тук буквата \(f\) символизира въпросното правило.

Ако е известно правилото, посредством което на всяка стойност на променливата \(x\) се поставя в съответствие определена стойност на променливата \(y\), тогава се казва, че про менливата \(y\) е функция на променливата \(x\).

Така, абстрахирайки се от конкретното физическо съдържание на израза (1), се достига до началното понятие в математиката – функция. При това \(x\) е аргументът на функцията, а \(y\) е частната стойност на функцията в точката x.

Нека отново (1) е законът на движение на една масова точка и да изчислим средната скорост, с която тя се движи в промеждутъка от време от \(x\) до \(x+\Delta x\) :

(2) \[ \tfrac{\Delta y}{\Delta x}=\tfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

В общия случай изразът (2) зависи както от избраната стойност на \(x\), така и от избрания интервал от време \(\Delta x\). Тази двойна зависимост може да се отстрани, като се устреми интервалът от време към нула:

(3) \[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \tfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \tfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

Така се въвежда моментната скорост, с която се движи масовата точка – скоростта, която има тялото в даден момент \(x\).

Ако отново се абстрахираме от конкретното физическо съдържание на горните изрази и (1) е запис на някаква функция, тогава (3) е нейната производна в точката x, която е прието да се означава като \(y^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)\) или \(\mathrm{d} y / \mathrm{d} x\).

Понятието производна е основно понятие във висшата математика. Дефиницията (3) веднага разкрива и физическия смисъл на производната – моментната скорост, с която променя стойностите си някаква величина. В нашия пример тази величина е път, който изминава едно тяло при движението си. Но в израза (3) \(y\) може да бъде всяка друга променлива величина. Например това би могло да бъде концентрацията \(c\) на някакво вещество, което участва в химическа реакция. Тогава скоростта на реакцията в даден момент \(t\) (моментна скорост) трябва да се определи, като \(\pm \tfrac{d c}{d t}\); за да бъде скоростта на реакцията винаги с положителна стойност, знакът \((+)\) се използва, когато \(c\) е концентрацията на продукт на реакцията, а знакът (-) тогава, когато \(c\) е концентрацията на изходно вещество, което се изчерпва в хода на реакцията.

Описаният тук „физичен“ подход в построяването на апарата на диференциалното смятане е предложен от Нютон (фиг. 1).

Пресмятане на производни

Нека да изчислим производната на функцията \(y=x^{n}\). За да приложим формула (2), най-напред трябва да пресметнем \(\Delta y\), след което ще разделим полученото на \(\Delta x\) :

(4) \[ \Delta y=(x+\Delta x)^{n}-x^{n} \]

При пресмятането на (4) трябва да се използва биномът на Нютон:

(5) \[ (x+\Delta x)^{n}=x^{n}(\Delta x)^{0}+n x^{n-1}(\Delta x)+\tfrac{n(n-1)}{2} x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots+x^{0}(\Delta x)^{n} \]

Биномът на Нютон се изучава в средното училище. Учениците познават добре тази формула при \(n=2\) във вида \((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\) и при \(n=3\) във вида \((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\). За друго n определянето на т.нар. биномиални коефициенти може да стане чрез триъгълника на Паскал:

Не може да не се забележи, че формула (5) съдържа събираеми, всяко от които е произведение от две величини със степенни показатели, които, сумирани, винаги трябва да дават \(n\left((\Delta x)^{0}=1\right.\) и \(\left.x^{0}=1\right)\). Така за (4) получаваме

(6) \[ \Delta y=n x^{n-1}(\Delta x)+\tfrac{n(n-1)}{2} x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots+(\Delta x)^{n} \]

За да намерим производната на функцията \(y=f(x)\) по формула (3), трябва да разделим израза (6) на (\(\Delta x\) ) след което трябва да извършим граничния преход \((\Delta x) \rightarrow 0\). Тогава в израза \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \tfrac{\Delta y}{\Delta x}\) последното събираемо ще бъде със степенен показател \(n-1\) и при \((\Delta x) \rightarrow 0\) ще клони бързо към нула, особено когато \(n\) е достатъчно голямо. Останалите събираеми с (\(\Delta x\) ) също ще клонят към нула, но по-бавно от последното; първото събираемо обаче няма да съдъжа (\(\Delta x\) ).

Така за проиводната на степенната функция \(y=x^{n}\) получаваме

(7) \[ y^{\prime}=n x^{n-1} \]

Ако пътят и времето са в правопропорционална зависимост, \(y=k x(k=\) const), тогава тялото се движи с постоянна скорост и средната и моментната скорост са неразличими. Наистина, в този случай от (2) следва:

(8) \[ y^{\prime} \equiv \tfrac{\Delta y}{\Delta x}=\kappa \]

Единственото, което бе нужно за пресмятането на тези производни, бе представата за скорост. Ще бъде прибързано обаче да мислим, че по този начин ще можем да изчисляваме и производните на други функции. За построяването на апарата на диференциалното смятане имаме нужда от допълнителна математическа информация – две граници и една важна математическа представа – представата за непрекъснатост на функция.

Какво още е нужно

Несъмнено представата за непрекъснатост на функция е с ключово значение за построяването на апарата на диференциалното смятане. Затова математиците разглеждат тази тема с особено внимание (вж. напр. Смирнов, 1967) и правят това дори в университетските си курсове за студенти от други специаности.

Една функция \(f(x)\) се нарича непрекъсната в една точка \(x_{\mathrm{o}}\) от дефиниционната си област, когато на всяко положително число \(\varepsilon\) може да се съпостави положително число \(\delta\) (евентуално зависещо от \(\varepsilon\) ) така, че за всички точки \(x\) от дефиниционната област на функцията, за които \(\left|x-x_{o}\right| \lt \delta\) да е изпълнено неравенството \(\left|f(x)-f(x)_{o}\right| \lt \varepsilon\) (Тагамлицки, 1967).

Тъй като целта на тази статия е да покаже на непосветения в математиката ученик или студент как сам да изчислява производни и по този начин да се докосне до висшата математика, ние ще изоставим полето на строгия анализ и ще направим следната декларация, която се очаква да предизвика възмущението на професионалните математици: непрекъснати са функциите, за които е изпълнено условието

(9) \[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} f(x+\Delta x)=f(x) \]

т.е. когато аргументът на функцията се стреми към числото \(x\), то стойността на функцията се стреми към числото \(f(x)\)-тогава функцията е непрекъсната в точката \(x\).

За да продължим по-нататък, е нужно да запомним без доказателство две граници. Те са толкова важни за математиката, че някои ги означават като първа забележителна граница и втора забележителна граница (Ильин & Позняк, 1965).

Първа забележителна граница

(10) \[ \lim _{x \rightarrow 0} \tfrac{\sin x}{x}=1 . \]

Тази граница се изучава в курса по математика в средното училище. Едно просто доказателство на този резултат ще видите в края на настоящата статия (Приложение).

Втора забележителна граница

(11) \[ \lim _{x \rightarrow o}(1+x)^{\tfrac{1}{x}}=e \]

Ирационалното число \(e=2,718281828 \ldots\) се = 2,718281828... се нарича Неперово (или Ойлерово) число. То е основа на натуралните логаритми. Навярно числата \(e\) и \(\pi=3,141592653 \ldots\) са най-важните числа в математиката.

Изчисляване на други производни

Сега вече можем да намерим производната на \(y=\sin x\). Тригонометричните функции са много важни за физиката, химията и биологията. Трептеливите движения се описват с тях.

Най-напред пишем

(12) \[ \left.\Delta y=\sin (x+\Delta x)-\sin x=2 \cos \left(x+\tfrac{\Delta x}{2}\right) \sin \tfrac{\Delta x}{2}\right) \]

После

(13) \[ \tfrac{\Delta y}{\Delta x}=\cos \left(x+\tfrac{\Delta x}{2}\right) \tfrac{\sin \tfrac{\Delta x}{2}}{\tfrac{\Delta x}{2}} \]

Остава да намерим \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \tfrac{\Delta y}{\Delta x}\), съобразявайки, че функцията \(y=\sin x\) е непрекъсната и вземайки под внимание границата (10). Следователно

(14) \[ y^{\prime}=(\sin x)^{\prime}=\cos x \]

Вторият пример е логаритмичната функция (при основа \(a) y=\log _{a} x\) :

(15) \[ \Delta y=\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a} x=\log _{a}\left(1+\tfrac{\Delta x}{x}\right) \]

Тогава

(16) \[ \tfrac{\Delta y}{\Delta x}=\tfrac{1}{\Delta x} \log _{a}\left(1+\tfrac{\Delta x}{x}\right)=\tfrac{1}{x}\left[\tfrac{x}{\Delta x} \log _{a}\left(1+\tfrac{\Delta x}{x}\right)\right]=\tfrac{1}{x} \log _{a}\left[\left(1+\tfrac{\Delta x}{x}\right)^{\tfrac{x}{\Delta x}}\right] \]

Остава да намерим \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \tfrac{\Delta y}{\Delta x}\), съобразявайки, че логаритмичната функция е непрекъсната и вземайки под внимание границата (11). Следователно

(17) \[ y^{\prime}=\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\tfrac{1}{x} \log _{a} e \]

Ако логаритъмът е при основа \(a=e\), той се нарича натурален и се означава като \(\ln x\). Тогава производната на функцията \(y=\ln x\) в съгласие с (17) ще бъде

(18) \[ y^{\prime}=(\ln x)^{\prime}=\tfrac{1}{x} \]

Разгледаните примери показват пътя, по който се изгражда апаратът на диференциалното смятане. Ако се налага диференциране на различни функции, операциите изискват известна рутина, която включва и запомняне на производните на основните елементарни функции. Към получените вече производни (7), (14), (17) и (18) следва да добавим:

(19) \(\begin{aligned} (\cos x)^{\prime} & =-\sin x \\ \end{aligned}\)

(20) \(\begin{aligned} (\operatorname{tg} x)^{\prime} & =\tfrac{1}{\cos ^{2} x} \\ \end{aligned}\)

(21) \(\begin{aligned} (\operatorname{ctg} x)^{\prime} & =-\tfrac{1}{\sin ^{2} x} \end{aligned}\)

А правилата за диференциране на сложни функции – сума, разлика, произведение и частно на две функции, са:

(22) \(\begin{gathered} {[u(x) \pm v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x)} \\ \end{gathered}\)

(23) \(\begin{gathered} {[u(x) v(x)]^{\prime}=u(x) v^{\prime}(x)+u^{\prime}(x) v(x)} \\ \end{gathered}\)

(24) \(\begin{gathered} {\left[\tfrac{u(x)}{v(x)}\right]^{\prime}=\tfrac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^{2}(x)}} \end{gathered}\)

Геометричен подход на Лайбниц

На \(y=f(x)\) може да се гледа и по друг начин – това не е закон на движението на едно тяло, а е уравнение на крива в равнината.

Разгледайте този чертеж (фиг. 2).

Ясно се виждат геометричните аналози на средната скорост (формула (2) и на моментната скорост (формула (3)). На средната скорост отговаря тангенсът на ъгъла на секущата на кривата \(y=f(x)\), която права минава през точките \(M\) и \(P\) на фигурата (този тангенс (\(\Delta y / \Delta x\) ) в аналитичната геометрия се нарича ъглов коефициент на права, \(\kappa=\operatorname{tg} \varphi\) ). Когато \(\Delta x\) намалява (\(\Delta x \rightarrow 0\) ), ъгълът φ се променя, достигайки до \(\varphi_{\mathrm{o}}\), когато секущата се превръща в допирателна (тангента) към кривата \(y=f(x)\) в точката \(M\). Следователно геометричният аналог на моментната скорост (формула (3) е тангенсът на ъгъла, който сключва допирателната към кривата в дадена нейна точка с положителната посока на абсцисната ос \(\left(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \tfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)\) (фиг. 3).

Ако за всички точки в интервала от \(x\) до \(x+\Delta x\), ъглите \(\varphi_{\mathrm{o}}\) между съответните допирателни и положителната посока на оста \(x\) са \(o c m p u\), тогава стойностите на техните тангенси са положителни числа. Това е така, защото в този интервал функцията \(y=f(x)\) е монотонно растяща. Ако в този интервал тези тангенси на ъгли \(\varphi_{o}\) бяха отрицателни числа, тогава функцията \(y=f(x)\) щеше да бъде монотонно намаляваща (вж. тригонометричната окръжност с оста на тангенсите на фиг. 4).

Следователно запазването на положителни стойности на прозводните на дадена функция в някакъв интервал от точки на аргумента е индикация, че в този интервал функцията е монотонно растяща. Обратно, при отрицателни стойности на тези производни функцията ще бъде монотонно намаляваща. Ако функцията най-напред е растяла и после е започнала да намалява, то има точка, в която производната на функцията ще смени знака си от положителен в отрицателен. Ако функцията най-напред е намалявала и после е започнала да расте, то има точка, в която производната на функцията ще смени знака си от отрицателен в положителен.

Това е много важно наблюдение, което показва, че условието за екстремум на функция (максимум или минимум) може да бъде намерено чрез

(25) \[ y^{\prime}=f^{\prime}\left(x_{m}\right)=0 \]

Числен пример

На един майстор железар са дали ламаринен лист с правоъгълна форма и с размери \(a \mathrm{~m} \times b \mathrm{~m}\). От него поискали да направи правоъгълна лабораторна вана, но дълбочината ѝ \(x\) бъде такава, че съдът да има възможно най-голям обем. Изготвянето на такава вана чрез изрязване и подгъване на краищата, както е показано на фиг. 5, е съвсем просто. За да прецени каква да бъде дълбочината на ваната \(x\), майсторът провел следните пресмятания.

Обемът на ваната се изчислява по:

(26) \[ V=(a-2 x)(b-2 x) x \]

За да се намери дълбочината x, при която ваната ще има най-голям обем, трябва да се използва условието (25). Затова намираме прозводната на \(V\) по \(x\) и я приравняваме на нула. Така получаваме квадратното уравнение

(27) \[ 12 x^{2}-4(a+b) x+a b=0 \]

Корените на това уравнение са два и се намират по формула, която всеки ученик знае

(28) \[ x_{1,2}=\tfrac{a+b \pm \sqrt{a^{2}-a b+b^{2}}}{6} \]

Майсторът не е съвсем сигурен в математическите си познания и решава да спре анализа на задачата тук. Той обаче трябва да прецени коя от двете стойности на х в \((28)\) осигурява максималния обем на ваната. При известните размери на ламаринения лист-например \(\mathrm{a}=2 \mathrm{~m}\) и \(\mathrm{b}=1 \mathrm{~m}\), той ще пресметне \(\mathrm{x}_{1}\) и \(\mathrm{x}_{2}\) и после по (26) ще изчисли два обема. Тогава ще избере онова x, което дава по-голям обем.

Ето резултата от неговите пресмятания: \(x_{1}=0,79 \mathrm{~m}\) и \(x_{2}=0,34 \mathrm{~m}\). Първият резултат обаче не е физичен резултат, защото с него обемът на съда, изчислен по формула (26), се оказва с отрицателна стойност. Тогава майсторът ще направи ваната с дълбочина 34 см, при което нейният обем ще бъде \(0,14 \mathrm{~m}^{3}=140 \mathrm{~L}\).

Заключение

Ще бъде заблуда, ако някой, прочитайки тази статия, остане с мисълта, че вече може да изчислява производни на различни функции. Задачата на този увод в математиката е много по-скромна – да покаже, че построяването на апарата на висшата математика е достъпно и за хора без специални математически наклонности. Ако статията постигне целта си, тогава са нужни по-сериозни занимания и, разбира се, трябва да се започне с книги за основите на висшата математика за начинаещи. Между най-добрите книги от този вид е тази на Зелдович (1968). Съветът към учителите е да полагат грижи за поддържане на интереса на учениците към математиката както в клас, и особено в извънкласната работа, с помощта на книги с разкази за математиката и математиците и с любопитни занимателни задачи и главоблъсканици. Такива са книгите на Перелман (1067), Гарднер (1967), Димовски (1981) и Ганчев et al. (1990). A особена популярност в англосаксонския свят има книгата на Dudeney (1917).

ПРИЛОЖЕНИЕ

При търсенето на граници понякога се появяват неопределености от вида \(\tfrac{0}{0}\) или \(\tfrac{\infty}{\infty}\) и други подобни комбинации. Разкриването на тези неопределености става лесно с т.нар. правило на Лопитал – диференцира се числителят, после знаменателят и се проверява дали неопределеността е изчезнала; ако това не се случило, операцията се повтаря до получаване на резултат. Вижте как се доказва границата (10):

Начало: \(\lim _{x \rightarrow ο} \tfrac{\sin x}{x}=\tfrac{0}{0}\), защото при \(\mathrm{x} \rightarrow 0, \sin x \rightarrow 0\).

Първа стъпка: \(\tfrac{\cos x}{1}=\tfrac{1}{1}\), защото при \(\mathrm{x} \rightarrow 0, \cos x \rightarrow 1\).

Резултат: \(\lim _{x \rightarrow 0} \tfrac{\sin x}{x}=1\).

NOTES

1. Уикипедия

ЛИТЕРАТУРА

Ганчев, И., Чимев, К. & Стоянов, Й. (1990). Математически фолклор. София: Народна просвета.

Гарднер, М. (1967). Математические чудеса и тайны: математические фокусы и головоломки. Москва: Наука.

Димовски, И. (1981). За математиката и математиците: над 1700 мисли, афоризми, анекдоти случки и др. София: Наука и изкуство.

Зельдович, Я.Б. (1968). Высшая математика для начинающих. Москва: Наука.

Ильин, В.А. & Позняк, Э.Г. (1965). Основы математического анализа. Москва: Наука.

Перельман, Я.И. (1967). Живая математика: математические рассказы и головоломки. Москва: Наука.

Смирнов, В.И. (1967). Курс высшей математики – том I. Москва: Наука.

Тагамлицки, Я. (1967). Диференциално смятане. София: Наука и изкуство.

Dudeney, H.E. (1917). Amusements in mathematics. London: Thomas Nelson & Sons.