Резюме. Настоящата статия предоставя сценарий за поредица от уроци през различните класове в гимназиалния етап, в който се изучават различните видове функции и техните графики – линейна, квадратна и др. Разгледан е и графичният метод за решаване на уравнения. Показани са нови интерактивни подходи за обучението по математика, използващи мобилни технологии. Предоставени са в статията системи от задачи, които могат да бъдат използвани в учебните часове.

Ключови думи: script for lessons; various types of functions; graphs; graphical method for solving equations

Един често прилаган подход в обучението е изграждането на дадено понятие или система от понятия чрез многократно връщане към него или към системата от понятия на различни етапи от обучението. Този подход на обучение се нарича спираловиден и се прилага съвместно с останалите методи за обучение. Руският психолог Виготски дава следното определение за спираловидния подход в обучението: „Постепенно разширяване и усложняване на темите и тяхното съдържание“. Според американския психолог Брунер учебното съдържание трябва да бъде структурирано в спираловидна форма, така че учениците винаги да могат да се обосновават и аргументират със знанията, които имат до момента.

Пример за такъв подход в обучението по математика е изграждането на по-нятието число. Още в I клас учениците се запознават с целите числа от 1 до 20. Във II клас те разширяват изучаването на числата от 21 до 100, в трети клас – до 1000, а в IV клас редицата на естествените числа се разширява над 1000.

В тази статия ще разгледаме изучаването на темата „Функции“ през годините в гимназиалния етап от обучението. Основните моменти, които ще засегнем, са:

– изучаването на линейната функция в VIII клас;

– изучаването на квадратната функция в X клас;

– графично решаване на уравнения и изследване броя на решенията на параметрични уравнения в X клас профилирана подготовка;

– графично решаване на показателни и логаритмични уравнения в XI клас профилирана подготовка.

Изучаването на функция започва в VIII клас. Учителят въвежда понятието функция и понятията, свързани с него, в няколко учебни часа, след което започва изучаването на линейната функция, нейната графика и свойства. Опорните знания и умения, които учениците трябва да са придобили до учебния час, в който ще се изучава линейната функция, са:

– има представа за понятието функция и за начините за задаване на функция;

– умее да намира функционална стойност, стойност на аргумента при различно задаване на функция и да установява принадлежност на точка към графика на функция.

За този учебен час на учениците трябва да имат цветни химикалки, милиметрова хартия или тетрадка с малки квадратчета, върху които да изчертават графиките от учебния час. Учителят използва компютър, на който с помощта на GeoGebra ще въведе графиката на функцията \(f(x)=a x+b\).

В началото на учебния час учителят въвежда аналитичния вид на линейната функция, понятията, свързани с коефициентите ѝ, и преминава към изчертаване на графиката на линейната функция. В учебниците по математика изчертаването на графиката на линейната функция е представено чрез съставянето на таблица, включваща произволни стойности на аргумента и намирането на функционалните ѝ стойности. Един нов интерактивен подход за изучаването на начина, по който се изчертава графиката на линейната функция, може да се представи чрез видео \({ }^{1)}\). Този нов метод предоставя на учениците възможността да изчертават графиката на линейната функция, без да е нужно да съставят таблица и да пресмятат координатите на две точки, които еднозначно определят графиката ѝ.

Следващите два учебни часа учителят използва, за да могат учениците да упражнят изчертаването на графиката на линейната функция и да затвърдят този нов момент от обучението по математика. В тези часове ролята на учителя е да задава задачите за упражнение, да напътства учениците, както и да прави заключения след изчертаването на конкретната графика. Една примерна система от задачи, която може да се използва за упражняване на метода за изчертаване графика на линейната функция, е следната:

1 зад. \(f(x)=2 x+3\)

2 зад. \(f(x)=4 x+5\)

3 зад. \(f(x)=5 x+\tfrac{1}{2}\)

4 зад. \(f(x)=\tfrac{1}{2} x+3\)

5 зад. \(f(x)=3 x-2\)

6 зад. \(f(x)=x-4\)

7 зад. \(f(x)=2 x-\tfrac{3}{2}\)

8 зад. \(f(x)=\tfrac{1}{2} x-5\)

9 зад. \(f(x)=\tfrac{1}{3} x-\tfrac{5}{2}\)

10 зад. \(f(x)=-4 x+1\)

11 зад. \(f(x)=-2 x+3\)

12 зад. \(f(x)=-\tfrac{1}{2} x+2\)

13 зад. \(f(x)=-\tfrac{1}{3} x+5\)

14 зад. \(f(x)=-4 x-1\)

15 зад. \(f(x)=-2 x-3\)

16 зад. \(f(x)=-\tfrac{1}{2} x+\tfrac{1}{3}\)

17 зад. \(f(x)=-\tfrac{1}{4} x-\tfrac{2}{3}\)

18 зад. \(f(x)=(x-1)^{2}-(x-7)(x-3)\)

19 зад. \(f(x)=\tfrac{x-1}{7}-\tfrac{5-12 x}{14}\)

20 зад. \(f(x)=\tfrac{1}{3}(x-1)^{2}-(-x-2)^{2}+\tfrac{2}{3} x^{2}\)

След провеждането на тази серия от учебни часове учениците трябва да покрият резултата, записан в учебната програма по математика за VIII клас, а именно „знае линейна функция и умее да чертае графиката ѝ“.

Следващата функция, която се изучава в училищния курс по математика, е квадратната. Функцията \(f(x)=a x^{2}+b x+c\) се изучава в X клас ЗП и ПП. В един учебен час учителят въвежда аналитичния вид на квадратната функция и понятията, свързани с нея. Предварително учителят съставя алгоритъм за изчертаването графиката на квадратната функция, който раздава на учениците в часа, и следвайки го, изчертава графиката на квадратната функция на дъската.

Часът продължава с видео \({ }^{2}\) ). Ролята на учителя е да направи обобщение и да поставя задачи за решаване на учениците. Той контролира тяхната работа, напътства ги и при нужда коригира тяхното решение по време на урока. Една примерна система от задачи, служеща за упражняване и затвърждаване на метода за изчертаване графиката на квадратната функция, е следната:

1 зад. \(f(x)=x^{2}-6 x+5\)

2 зад. \(f(x)=x^{2}-2 x+1\)

3 зад. \(f(x)=x^{2}+2 x+3\)

4 зад. \(f(x)=-x^{2}+4 x-3\)

5 зад. \(f(x)=-\tfrac{1}{4} x^{2}+2 x+1\)

Следващите два учебни часа е препоръчително учителят да отдели за упражнение върху изчертаването на графиката на квадратната функция. След тази серия от уроци учениците трябва да покрият резултата, записан в учебната програма по математика за X клас \(3 П\) и \(П П-\) „умее да построява с елементарни средства графика на квадратна функция“.

В X клас ПП учениците трябва да могат да решават графично уравнения и да изследват броя на решенията на параметрични уравнения. Това са поредица от уроци за упражнение, в които не се въвеждат нови знания, а се развиват уменията на учениците да чертаят графики на функции и да ги разчитат. Основната цел на тези уроци е да дадат една перспектива за изученото до момента за квадратната функция и за взаимното положение на две графики върху координатната система. За графично решаване на уравнения в учебната програма са записани:

– Цел – „усвояване на свойствата на квадратната функция и на графичния подход като метод на разсъждение“.

– Стандарт – „умее да построява графика на квадратна функция и да я използва“.

– Очаквани резултати от обучението – „умее да използва графики на функции за решаване на уравнения със или без параметър“ и „умее да използва нагледните възможности на графичния метод в конкретни ситуации“.

– Опорните знания и умения, които учениците трябва да имат, са:

– знае линейната функция и умее да чертае графиката ѝ;

– умее да построява с елементарни средства графика на квадратна функция;

– умее да построява графика на квадратна функция и на функция, зададена с модули чрез основните трансформации.

С помощта на GeoGebra и използването на функцията „анимация“, която се предлага в този софтуерен продукт, представянето на изследване броя на решенията на параметрично уравнение става по-лесно и достъпно за учениците. Добра педагогическа практика е серията от уроци да се проведе в учебна стая, оборудвана с таблети. По този начин ще се даде възможност всеки ученик сам да изследва броя на решенията на дадено параметрично уравнение чрез подходяща анимация на слайдер в GeoGebra. С използването на таблети учениците ще могат да развиват две ключови компетентности, записани в Закона за предучилищното и училищното образование – дигитална компетентност и математическа компетентност.

Примерна система от задачи, която да подпомогне работата на учителя, е:

1 зад. Да се реши уравнението \(\left|x^{2}-4 x+3\right|=3-|x|\) .

2 зад. Да се реши уравнението \(\left|x^{2}+4 x+3\right|=3-|x|\) .

3 зад. Да се реши уравнението \(\left|x^{2}+4 x+3\right|=1-|x+2|\) .

4 зад. Да се реши уравнението \(\left|x^{2}+4 x+3\right|=5-|x+2|\) .

5 зад. Да се определи броят на решенията на уравнението \(|x-2|-1=a\) в зависимост от стойностите на параметъра a .

6 зад. Да се определи броят на решенията на уравнението \(\left|x^{2}-4 x+3\right|=a\) в зависимост от стойностите на параметъра \(a\).

7 зад. Да се определи броят на решенията на уравнението \(\left|x^{2}-2 x-3\right|=a\) в зависимост от стойностите на параметъра \(a\).

8 зад. Да се определи броят на решенията на уравнението \(\left|x^{2}-6 x-7\right|+1=a\) в зависимост от стойностите на параметъра \(a\).

9 зад. Да се определи броят на решенията на уравнението \(|x-2|=a x\) в зависимост от стойностите на параметъра \(a\).

10 зад. За кои стойности на параметъра \(a\) уравнението \(\left|2 x^{2}-4 x\right|=a\) има четири различни корена?

11 зад. За кои стойности на параметъра \(a\) уравнението \(|x-1|=a x\) има точно две решения?

12 зад. За кои стойности на параметъра \(a\) уравнението \(\left|x^{2}-5 x+6\right|=a x\) има три различни корена?

След провеждането на тези уроци учениците трябва да покрият резултатите „умее да използва графики на функции за решаване на уравнения със или без параметър“ и „умее да използва нагледните възможности на графичния метод в конкретни ситуации“, записани в учебната програма за X клас ПП.

В XI клас ПП учениците изучават графично решаване на уравнения и неравенства, свързани с показателни и логаритмични уравнения. Опорните знания и умения, необходими за учебния час, са:

– знае понятието показателна функция, графиката ѝ и умее да я използва за определяне свойствата на функцията и да ги прилага;

– знае понятието логаритмична функция, графиката ѝ и умее да я използва за определяне свойствата на функцията и да ги прилага;

– умее да построява графики на показателна и логаритмична функция чрез основните трансформации.

Примерна система от задачи за графично решаване на показателни и логаритмични уравнения е следната:

1 зад. Да се определи броят на корените на уравнението \(2^{x}=-\tfrac{3}{2} x+3\).

2 зад. Да се определи броят на корените на уравнението \(\log _{3} x=-\tfrac{x}{2}+1\).

3 зад. Да се определи броят на корените на уравнението \(\log _{2} x=x^{2}-5 x+6\).

4 зад. Да се определи броят на решенията на уравнението \(2^{x}=a\) в зависимост от стойностите на параметъра \(a\).

След провеждането на учебния час учениците трябва да са покрили резултата от учебната програма по математика за XI клас ПП, а именно „умее да намира стойност на параметър при предварително зададени условия в показателни и логаритмични уравнения и неравенства“.

Идеите, които сме разгледали, се фокусират върху различните дейности, които се извършват в учебните часове през годините, когато се изучават функции. Ролята на учителя в часа е медиатор. Той поставя учениците в центъра на събитията през урока, поставя ги в ситуации, използвайки нови мобилни технологии, да откриват свойствата и закономерностите на изучаваните функции. Индиректно учениците развиват математическа компетентност и основни компетентности в областта на природните науки и на технологиите. Както знаем от Европейската референтна рамка с ключови компетентности, математическата компетентност е способността да се развие и прилага математическо разсъждаване за решаване на различни проблеми в ежедневния живот. Математическата компетентност включва способността и желанието да се използват математически методи на мислене и разсъждение в ежедневни ситуации. С внедряването на ИКТ в учебния час се създава нова атмосфера, където най-важните елементи са култът към знанието и критичното мислене на учениците.

NOTES/БЕЛЕЖКИ

1. https://www.youtube.com/watch?v=2BHzXItkByU

2. https://www.youtube.com/watch?v=X79b8mXsRak

3. Закон за предучилищното и училищното образование, 13 октомври 2015 год.

4. Стратегия за ефективно прилагане на информационни и комуникационни технологии в образованието и науката на Република България (2014 – 2020 год.), 31 януари 2014 год.

5. Учебна програма по математика за VIII клас, <http://www.mon. bg/?h=downloadFile&fileId=643>, 23 февруари 2016 год.

6. Учебна програма по математика за X клас, <http://www.mon. bg/?h=downloadFile&fileId=737>, 23 февруари 2016 год.

7. Учебна програма по математика за XI клас, <http://www.mon. bg/?h=downloadFile&fileId=773>, 23 февруари 2016 год.

8. GeoGebra v 5.0.207.0-3D software, <https://www.geogebra.org/ >, 20 февруари 2016 г.

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Petkova, S., Ganchev, G. i dr. (2009). Matematika za VIII klas. Sofia: Prosveta [Петкова, С., Ганчев, Г. и др. (2009). Математика за VIII клас. София: Просвета]

Lozanov, Ch., Vitanov, T. & Nedevski, P. (2009). Matematika za VIII klas. Sofia: Anubis [Лозанов, Ч., Витанов, Т. & Недевски, П. (2009). Математика за VIII клас. София: Анубис]

Paskaleva, Z., Paskalev, G. & Alashka, M. (2009). Matematika za VIII klas. Sofia: Arhimed [Паскалева, З., Паскалев, Г. & Алашка, М. (2009). Математика за VIII клас. София: Архимед]

Zapryanov, Z., Ganchev, G. & Georgiev, I. (2012). Matematika za X klas zadalzhitelna podgotovka. Sofia: Prosveta [Запрянов, З., Ганчев, Г. & Георгиев, И. (2012). Математика за \(X\) клас задължителна подготовка. София: Просвета]

Zapryanov, Z., Ganchev, G. & Georgiev, I. (2002). Matematika za X klas profilirana podgotovka. Sofia: Prosveta [Запрянов, З., Ганчев, Г. & Георгиев, И. (2002). Математика за \(X\) клас профилирана подготовка. София: Просвета]

Lozanov, Ch., Vitanov, T. & Nedevski, P. (2001). Matematika za Х klas profilirana podgotovka. Sofia: Anubis [Лозанов, Ч., Витанов, Т. & Недевски, П. (2001). Математика за Х клас профилирана подготовка. София: Анубис]

Petkova, St., Petkov, P. & Prodanova, Kr. (2001). Matematika za XI klas profilirana podgotovka. Sofia: Prosveta [Петкова, Ст., Петков, П. & Проданова, Кр. (2001). Математика за XI клас профилирана подготовка. София: Просвета]

Lozanov, Ch., Vitanov, T. & Nedevski, P. (2001). Matematika za XI klas profilirana podgotovka. Sofia: Anubis [Лозанов, Ч., Витанов, Т. & Недевски, П. (2001). Математика за XI клас профилирана подготовка. София: Анубис]

Ganchev, I., Kolyagin, Yu., Kuchinov, Y., Portev, L. & Sidorov, Yu. (1996). Metodika na obuchenieto po matematika ot VIII do XI klas I chast, Modul [Ганчев, И., Колягин, Ю., Кучинов, Й., Портев, Л. & Сидоров, Ю. (1996). Методика на обучението по математика от VIII до XI клас I част, Модул]

Ganchev, I., Kolyagin, Yu., Kuchinov, Y., Portev, L. & Sidorov, Yu. (1998). Metodika na obuchenieto po matematika ot VIII do XI klas II chast, Modul [Ганчев, И., Колягин, Ю., Кучинов, Й., Портев, Л. & Сидоров, Ю. (1998). Методика на обучението по математика от VIII до XI клас II част, Модул]