Резюме. Често пъти в преподавателската си практика сме попадали в ситуацията на задоволство от това, че сме разказали дадена тема прекрасно, упражнили сме основите понятия достатъчно, направили сме крачка в по-дълбоки води и сме поставили домашна работа, чрез която ще потвърдим общата картина, че всичко е разбрано и усвоено както го усещаме. …Докато не се окаже, че сме сбъркали в преценката си не защото не сме обективни към себе си, а защото сме субективни към обратната страна – тази на ученика.

Ключови думи: research approach, dynamic software

Идеята, която искам да споделя с вас, е как да организираме един урок по математика на тема „Построение с линийка и пергел чрез използване на геометрични места от точки“, но… с използване на динамичната компютърна среда GeoGebra. Tемата е трудна за усвояване в осми клас, особено в онази част, в която трябва да се изследва броят на възможните решения за построения обект. Когато построението е в динамичната среда, учениците осмислят условията за наличие или отсъствие на търсения обект, по-лесно се справят с цялостната концепция за съществуване на решение на построителната задача.

За конкретност ще разгледам тема с три построителни задачи.

1. Постройте триъгълник по дадени две страни с различни дължини и ъгъл, равен на 30°, лежащ срещу по-малката страна.

2. Постройте триъгълник по дадена страна, ъгъл срещу нея и радиус на вписаната му окръжност.

3. Постройте ромб по дадена страна и радиус на вписаната му окръжност.

Да започнем с предварителната подготовка за урока. Предполагам, че ще желаете да създадете собствена обучителна система от примери, съдържанието на които ще е необходимо да подготвите технологично, за което смятам да по-могна с идейната ѝ реализация чрез избраните от мен три построителни задачи!

Първа стъпка. Подготвям следните четири файла с помощта на GeoGebra –menu1.ggb (фигура 1), menu2.ggb (фигура 2), menu3.ggb (фигура 3) и menu.ggb (фигура 4). В първите три от тях формулирам всяка задача за построение и подготвям дадените елементи, като дължините на страните и ъглите са параметризирани чрез стойности на плъзгачи в подходящо избрани според типа на данните интервали.

В примера menu1. ggb (фигура 1) дължината на страната c∈[0.1;10], а на b∈(0;30]. Нищо особено не се изисква като умение, но една много важна подробност никога не забравяйте. Когато сте готови с разположението на елементите по екрана, не забравяйте да фиксирате тяхната позиция там. Има две възможности и всяка от тях е важна за по-нататъшното използване на въведената от вас информация. Ако използвате „фиксирай“ обекта, то позицията, на която е фиксиран, ще се запази, но ще може да се премества с помощта на мишката. Ако използвате „абсолютно фиксиран“, то елементът не може да се премества с мишката – позицията му е абсолютно зададена. Двете опции могат да бъдат използвани едновременно и това е удобно, когато искате картинката ви да изглежда като „замръзнала“ при опити да се „скролва“ с мишката.

Подгответе файла menu.ggb, който да съдържа обобщената информация по темата – условията на задачите и упътванията, които ще бъдат полезни за учениците.

Втора стъпка. Подгответе инструменти – геометрично място от точки, от които дадена отсечка се вижда под даден ъгъл, и геометрично място от точки на равни разстояния от дадена права. Тези инструменти представляват готови команди с разширение *. ggt. Добавят се в средата GeoGebra, като се избере меню Open и се опише пътят до папката, в която са съхранени. Логично е тя да е същата, където са останалите ви файлове на проекта. Вече усещам въпроса: „Но защо е необходимо ние да ги създаваме, няма ли такива?“. Отговорът ми е – в системите за динамична геометрия няма команди за автоматично построяване на тези две множества. Освен това упражненията, върху които се съсредоточавам, не са само със средствата на елементарните построителни ГМТ – симетрала, ъглополовяща и т.н.

След като сте създали новите инструменти, добавете ги към menu1.ggb, menu2. ggb и menu3. ggb, при което ще се появи специална икона в реда с командите, а при кликване върху тази икона ще се появи падащо меню, в което те са изредени. Може би е интересно да спомена и как точно се създава инструмент. Влезте в системата GeoGebra. Ще създадем заедно геометрично място от точки, от които дадена отсечка се вижда под даден ъгъл. Подсказвам алгоритъма за построяването му.

Постройте отсечка с краища две точки. Нека имат етикети A и B. Тази отсечка и крайните точки ще наричаме начални обекти.

Добавете плъзгач, чийто тип е ъгъл a, с диапазон a ∈[0°;180°]. Тази стойност на ъгъла се нарича начална стойност, т.е. чрез плъзгача сме определили още един начален обект.

Постройте ъгъл с дадена големина a, като първото му рамо съвпада с направлението на построената отсечка. Посоката на въртене при построяване на ъгъла отбележете – „по часовниковата стрелка“. Забележка: в едната по-луравнина на построената отсечка ще се появи помощна точка, която показва направлението на второто рамо на ъгъла. Ако големината на ъгъла е 0, то помощната точка може да съвпадне с точка B. Променете стойността на слайдера и ще видите ефекта от построението.

Постройте лъч през А и помощната точка – второто рамото на ъгъла.

Постройте перпендикулярна права през точка А на второто рамо.

Постройте симетралата на отсечката AB.

Постройте пресечната точка на симетралата и перпендикулярната права. Сложете етикет – нека това е точка О.

Постройте окръжност с център точка O и радиус – ОА. Използвайте средството Compasses от менюто за чертаене на окръжност.

Постройте пресечната точка на окръжността със симетралата на AB – точка C.

Постройте дъга от окръжност по три точки, като ги посочите в този ред – А, C и B. Това е търсеният обект – ГМТ, който ще наричаме краен. Забележка: можете да намерите образа му при симетрия с права, определена от отсечката AB.

Отворете меню Tools/Create new. В следните менюта

Output objects – посочвате крайния обект – дъга от окръжност;

Input Objects – началните обекти на конструкцията – краищата на отсечката, точките A и B;

Name&Icon:

Tool Name – име, чрез което ще се „разпознава“ в главното меню;

Command Name – име, с което ще се появява в конструкция;

Tool Help – обяснение към обекта в главното меню;

Icon – икона, с която в главното меню ще се изобрази новото средство. В противен случай ще се присвои стандартна икона.

След потвърждаване в лентата с инструментите ще се появи вашият инструмент с иконата, която сте задали, или с тази по подразбиране на системата – във вид на гаечен ключ.

Трета стъпка (не е задължителна). Експортирайте създадените от вас файлове във формат . html. След това отворете всеки от тях с текстов редактор и задайте хипервръзки към останалите. Форматът на връзката е <a href = “menu.html” _target=””> Към главното меню </а>. Спазвайте изискването името на всеки файл да се изписва точно така, както е в папката ви. Освен това тук по подразбиране всички файлове на системата са в една папка – текущата. Моята обучителна система има логическата структура, дадена на фигура 5.

В нея със стрелки съм пояснила как се преминава от един файл в друг. Логиката е, че ученикът първо ще изпълни първа задача с помощта на „учител“, т.е. ще проследи стъпките на построението в динамичната среда, втората ще разработи самостоятелно, а третата ще изпълни за домашна работа.

След като системата е готова със съответните вградени препратки между отделните менюта, мисля, че можете да подходите с прилагането ѝ в час. Успех!

Опитът ми показва, че построенията с линийка и пергел са умения, които трябва да бъдат отработени в началото, когато се изучават елементарните построения на права, успоредна на дадена, ъгъл, равен на даден ъгъл, симетрала, ъглополовяща на ъгъл и подобни. След като тези умения са вече факт, следва да се акцентува на решаване на задачи, в които се използва комбинация от ГМТ. Този преход винаги е бил труден заради абстрактното съществуване на дадени елементи, от които учениците трябва да сътворят реален модел. Липсата на практически умения най-ясно се изразява в този дял от математическото знание. В този смисъл, смятам, че е полезно използването на динамичен софтуер, защото осигурява възможност всеки ученик със собствено темпо да подходи към анализ и построение, да се „докосне“ до проблема, както и сам да експериментира, достатъчно и задълбочено в изводите за съществуване на търсения обект. „Приятелският“ модел, чрез който се изпълняват всички построения нa основни обекти в GeoGebra, позволява на преподавателя да прояви творчество при конструиране не само на допълнителни математически обекти, но и да пресъздаде собствен сценарий на обучението в динамична среда.

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Chehlarova, T., Gachev, G., Kenderov, P. & Sendova, E. (2014). A Virtual School Mathematics Laboratory. In: V Nacional coference in Elearning, Ruse, pp.146 – 151. [Chehlarova, T., Gachev, G., Kenderov, P. & Sendova, E. (2014). A Virtual School Mathematics Laboratory. In: V Национална конференция по електронно обучение. Русе, 16 – 17. 06.2014. стр.146 – 151].

Kenderov P., Chehlarova, T. & Ganchev, G. (2015). Izsledovatelski podhod v matematicheskoto obrazovanie (pomagalo za obuchenie na obuchiteli). [Кендеров, П., Чехларова, Т. & Ганчев, Г. (2015). Изследователски подход в математическото образование (помагало за обучение на обучители) ].

Lozanov, Ch., Vitanov, T. & Nedevski, P. (1999). Matematika 8 klas. Sofia: Anubis. [Лозанов, Ч. Витанов, Т. & Недевски, П. (1999). Математика VIII клас. София: Анубис].