Резюме. Разработката съдържа наблюдения, свързани с Константата на Капрекар. В изследването е обяснен начинът, по които се намират константите за двуцифрени, трицифрени и четирицифрени числа. Търсят се константи при петцифрени, шестцифрени, седемцифрени, осемцифрени и деветцифрени числа. Тези наблюдения водят до някои интересни изводи. Всички представени резултати са получени с помощта на компютърна програма, написана на Java.

Ключови думи: Kaprekar’s constant; research

За Константата на Капрекар

Прочитът на статията (Grozdev & Nenkov, 2014) на проф. С. Гроздев и доц. В. Ненков провокира у нас интерес към темата Константа на Капрекар.

Датарейя Капрекар е индийски математик. Роден е през 1905 година и умира през 1986. Работил е като учител. Занимавал се е в сферата на естествените числа, а най-голямото му откритие е именно константата, наречена на него.

Съществува интересна закономерност, свързана с четирицифрените числа, открита от Капрекар. Изследването, което е направил Капрекар, е свързано с образуването на най-голямото и най-малкото число от цифрите на произволно четирицифрено число. След това се намира тяхната разлика. С полученото число се повтаря същата операция и т.н. Ще наричаме това преобразувание на Капрекар. Оказва се, че след краен брой стъпки винаги се получава числото 6174. След повтаряне на споменатата операция то се превръща в себе си. Това число се нарича Константа на Капрекар. В споменатата публикация (Grozdev & Nenkov, 2014) e доказано, че за всички четирицифрени числа, които имат поне две различни цифри, след повтаряне на операцията най-много седем пъти се получава Константата на Капрекар.

В настоящата разработка се изследва, с помощта на компютърна програма, какво се получава при прилагането на преобразуванието на Капрекар за многоцифрени числа. При преобразуванието на Капрекар две числа с едни и същи цифри се преобразуват в едно и също число. Такива числа наричаме еквивалентни спрямо преобразуванието на Капрекар.

Двуцифрени и трицифрени числа

За двуцифрени числа няма определена константа, тъй като винаги се стига до повторението на редицата 45, 9, 81, 63, 27, 45, ... .

Числото 495 е константа за всички трицифрени числа и се получава след най-много пет стъпки.

Наблюдения

От направените наблюдения се установява, че такава константа за числата с брой на цифрите, по-голям от четири и по-малък от десет, няма. Получават се някои интересни ситуации. Стига се до число, което след краен брой стъпки се превръща в себе си. Такова число ще наричаме константа. При петцифрените числа има десет константи, при шестцифрените – девет, при седемцифрените – осем, при осемцифрените – дванадесет, при деветцифрените – шестнадесет.

Получават се следните резултати.

Резултати при петцифрени числа

При петцифрените числа се разглеждат 1974 нееквивалентни числа с поне две различни цифри, като при тях се получават десет константи.

На първия ред на таблицата са константите (К). На втория ред е броят на числата, от които се получава съответната константа (Б.Ч).

След наблюдения се забелязва, че при прилагането на операцията за намиране на константи върху самите константи се получават интересни резултати.

Първите две константи се преобразуват от една в друга след една стъпка, а след две се връщат в себе си. Третата, шестата, осмата и деветата константа след не повече от три преобразувания се превръщат от една в друга. След четири преобразувания се връщат в себе си. Аналогично се получава за константи четири, шест, седем и десет. Това е илюстрирано в следната таблица.

Числата, отбелязани в съответните цветове, след съответен брой стъпки се преобразуват от едно в друго, с което константите намаляват до три:

– константа A (59994, 53955).

– константа B (61974, 63954, 75933, 82962).

– константа C (62964, 71973, 74943, 83952).

Резултати при шестцифрени числа

При шестцифрените числа се разглеждат 4977 нееквивалентни числа с поне две различни цифри, като при тях се получават девет константи.

Втората и третата константа се превръщат в себе си. Първата, четвъртата, петата, шестата, седмата и осмата константа след не повече от шест преобразувания се превръщат от една в друга. След седем преобразувания се връщат в себе си.

Числата, отбелязани в съответните цветове, след съответен брой стъпки се преобразуват от едно в друго, с което константите намаляват до три:

– константа A (420876, 642654, 750843, 840852, 851742, 860832, 862632).

– константа B (549945).

– константа C (631764).

Резултати при седемцифрени числа

При седемцифрените числа се разглеждат 11412 нееквивалентни числа с поне две различни цифри, като при тях се получават осем константи.

В този случай се получава най-интересният резултат. Всяка константа се преобразува във всяка друга, т.е. има само една константа:

– константа A (7509843, 7519743, 7619733, 8429652, 8439552, 8649432, 8719722, 9529641).

Резултати при осемцифрени числа

При осемцифрените числа се разглеждат 24282 нееквивалентни числа с поне две различни цифри, като при тях се получават дванадесет константи.

Втората и дванадесетата константа се превръщат само в себе си. Първата, четвъртата, петата, седмата, осмата, деветата и десетата константа след не повече от шест преобразувания се превръщат от една в друга. След седем преобразувания се връщат в себе си. Третата, шестата и единадесетата константа след не повече от две преобразувания се превръщат от една в друга. След три преобразувания се връщат в себе си.

– константа A (43208766, 64326654, 75308643, 84308652, 85317642, 86308632, 86326632).

– константа B (64308654, 83208762, 86526432).

– константа C (63317664).

– константа D (97508421).

Резултати при деветцифрени числа

При деветцифрените числа се разглеждат 48592 нееквивалентни числа с поне две различни цифри, като при тях се получават шестнадесет константи.

Първата и седмата константа се превръщат само в себе си. Втората, третата, четвъртата, петата, шестата, осмата, деветата, десетата, единадесетата, дванадесетата, тринадесетата, четиринадесетата, петнадесетата и шестнадесетата константа след не повече от тринадесет преобразувания се превръщат от една в друга. След четиринадесет преобразувания се връщат в себе си.

– константа A (554999445).

– константа B (864197532).

– константа C (753098643, 762098733, 763197633, 844296552,863098632, 865296432, 865395432, 873197622, 874197522, 883098612, 954197541, 964395531, 965296431, 976494321).

NOTES/БЕЛЕЖКИ

1. http://en.wikipedia.org/wiki/6174_%28number%29

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Grozdev, S. & Nenkov. V. (2014). Konstanta na Kaprekar. Matematika+, 1, 65 – 68. [Гроздев, С. & Ненков. В. (2014). Константа на Капрекар. Математика+, 1, 65 – 68].