Abstract. The paper describes general relations between areas of sides and sections in some prisms and pyramids. The results are obtained by the use of vector product.

Keywords: vector product, pyramid, prism, parallelepiped, tetrahedron, section

В следващите редове ще покажем едно елементарно приложение на векторното произведение за доказване на зависимости между лица на стени и сечения в някои специални многостени. В началото ще припомним определението и някои основни свойства на векторното произведение.

1. Векторно произведение. Основни свойства. На векторите \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) се съпоставя вектор \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\), който се нарича векторно произведение на \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), по следния начин:

A) ако \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) са линейно зависими, то \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{o}\);

\(B)\) ако \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) са линейно независими, векторът \(\overrightarrow{p}\) притежава свойствата:

a) \(|\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \sin \varphi\), къдет о \(\varphi\) е ъгълът между \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) ;

b) \(\overrightarrow{p} \perp \overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{p} \perp \overrightarrow{b}\);

c) векторите \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{p}\), взети в този ред, образуват дясна тройка вектори.

Забележка: казваме, че векторите \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{p}\) образуват дясна тройка, взети в този ред, ако при наблюдение на тази система от три вектора срещу посоката \(\vec{p}\) на се вижда, че векторът \(\vec{a}\) се завърта на възможно най-малкия ъгъл в обратна посока на часовниковата стрелка, докато посоката му съвпадне с по-соката на \(\vec{b}\) (фиг. 1).

От определението на векторно произведение се получават следните свойства:

\(\begin{array}{lll} 1)\ \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}; &2)\ \vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a}); &3)\ (\lambda\vec{a})\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b});\\ 4)\ \vec{a}\times(\mu\vec{b})=\mu(\vec{a}\times\vec{b}); &5)\ \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}; &6)\ (\vec{b}+\vec{c})\times\vec{a}=\vec{b}\times\vec{a}+\vec{c}\times\vec{a}. \end{array}\)

Големината на векторното произведение \(\vec{a}\times\vec{b}\) е равна на лицето на успоредника, построен върху векторите \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Последното свойство на векторното произведение дава възможност да доказваме зависимости между лица в пространството само с обикновени алгебрични преобразувания.

2. Зависимости в паралелепипед. Нека е даден паралелепипед \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}\). Означаваме лицата на успоредниците \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\), \(A_{1} D_{1} D_{2} A_{2}, A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}, A_{1} D_{1} D_{2} A_{2}, B_{1} D_{1} D_{2} B_{2}, A_{1} D_{2} C_{2} B_{1}, D_{1} A_{2} B_{2} C_{1}, A_{1} B_{2} C_{2} D_{1}\) и \(B_{1} A_{2} D_{2} C_{1}\) съответно с \(S_{1}, S_{2}, S_{3}, \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{4}, \sigma_{5}\) и (фиг. 2).

Твърдение 1. \(\quad \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}=2\left(S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right), \quad \sigma_{3}^{2}+\sigma_{4}^{2}=2\left(S_{3}^{2}+S_{1}^{2}\right),\) \(\sigma_{5}^{2}+\sigma_{6}^{2}=2\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}\right).\)

Доказателство. Нека \(\overrightarrow{A_{1} B_{1}}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{A_{1} D_{1}}=\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{A_{1} A_{2}}=\overrightarrow{c}\) (фиг. 2). Тогава \[ \begin{aligned} & S_{1}^{2}=(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^{2}, S_{2}^{2}=(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^{2}, S_{3}^{2}=(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^{2} \\ & \sigma_{1}^{2}=\left(\overrightarrow{A_{1} C_{1}} \times \overrightarrow{A_{1} A_{2}}\right)^{2}=[(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}]^{2}=(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^{2}=(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}-\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^{2}= \\ = & (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^{2}-2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})+(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^{2}=S_{2}^{2}+S_{3}^{2}-2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) \\ & \sigma_{2}^{2}=\left(\overrightarrow{D_{1} B_{1}} \times \overrightarrow{D_{1} D_{2}}\right)^{2}=[(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}]^{2}=(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}-\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^{2}=(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^{2}= \\ = & (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^{2}+2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})+(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^{2}=S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) \end{aligned} \]

Чрез почленно събиране на последните две равенства получаваме \(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}=2\left(S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right)\), което е първото равенство на твърдение 1 . Аналогично се доказват и другите две равенства на твърдението.

Почленното събиране на трите равенства в твърдение 1 води до

Следствие 1. \(4\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right)=\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}+\sigma_{4}^{2}+\sigma_{5}^{2}+\sigma_{6}^{2}\).

Последното равенство може да се разглежда като пространствен аналог на равенството, известно като теорема на Аполоний, изразяващо зависимостта между страните и диагоналите на успоредник.

3. Зависимости в призма с основа триъгълник. Нека е дадена триъгълна призма \(A_{1} B_{1} C_{1} A_{2} B_{2} C_{2}\). Означаваме лицето на основите \(A_{1} B_{1} C_{1}\) и \(A_{2} B_{2} C_{2}\) с \(S\), а лицата на околните стени \(B_{1} C_{1} C_{2} B_{2}, C_{1} A_{1} A_{2} C_{2}\) и \(A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}\) съответно с \(S_{1}, S_{2}\) и \(S_{3}\) (фиг. 3 3). Нека още \(A_{1} M_{1}, B_{1} N_{1}\) и \(C_{1} P_{1}\) са медианите на \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\), а \(A_{2} M_{2}\), \(B_{2} N_{2}\) и \(C_{2} P_{2}\) са медианите на \(\Delta A_{2} B_{2} C_{2}\). Лицата на успоредниците \(A_{1} M_{1} M_{2} A_{2}\), \(B_{1} N_{1} N_{2} B_{2}\) и \(C_{1} P_{1} P_{2} C_{2}\) означаваме съответно с \(\sigma_{1}, \sigma_{2}\) и \(\sigma_{3}\) (фиг. 3).

Твърдение 2. \(\sigma_{1}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(2 S_{2}^{2}+2 S_{3}^{2}-S_{1}^{2}\right), \sigma_{2}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(2 S_{3}^{2}+2 S_{1}^{2}-S_{2}^{2}\right)\),

\(\sigma_{3}^{2}=\cfrac{1}{4}\left(2 S_{1}^{2}+2 S_{2}^{2}-S_{3}^{2}\right) \) .

Доказателство. Нека \(\overrightarrow{A_{1} B_{1}}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{A_{1} C_{1}}=\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{A_{1} A_{2}}=\overrightarrow{c}\) (фиг. 3). Тогава

\[ \begin{aligned} & 4 S^{2}=(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^{2}, S_{2}^{2}=(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^{2}, S_{3}^{2}=(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^{2} \\ & S_{1}^{2}=\left(\overrightarrow{B_{1} C_{1}} \times \overrightarrow{B_{1} B_{2}}\right)^{2}=[(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{c}]^{2}=S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) \\ & \sigma_{1}^{2}=\left(\overrightarrow{A_{1} M_{1}} \times \overrightarrow{A_{1} A_{2}}\right)^{2}=\left[\tfrac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}\right]^{2}=\tfrac{1}{4}\left[S_{2}^{2}+S_{3}^{2}-2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})\right] . \end{aligned} \]

Следователно \(\sigma_{1}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(2 S_{2}^{2}+2 S_{3}^{2}-S_{1}^{2}\right)\), което е първото равенство на твърдение 2. Аналогично се доказват и другите две равенства на твърдението.

Равенствата в твърдение 2 са подобни на формулите за изразяване на медианите на триъгълник чрез страните му.

Чрез почленно събиране на трите равенства в твърдение 2 получаваме

Следствие 2. \(4\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2}\right)=3\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right)\).

Означаваме лицата на триъгьлниците \(B_{1} C_{1} A_{2}, C_{1} A_{1} B_{2}, A_{1} B_{1} C_{2}, B_{2} C_{2} A_{1}\), \(C_{2} A_{2} B_{1}\) и \(A_{2} B_{2} C_{1}\) съответно с \(\sigma_{11}, \sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{21}, \sigma_{22}\) и \(\sigma_{23}\) (фиг. 4).

Твърдение 3. \(4\left(\sigma_{11}^{2}+\sigma_{12}^{2}+\sigma_{13}^{2}\right)=4\left(\sigma_{21}^{2}+\sigma_{22}^{2}+\sigma_{23}^{2}\right)=12 S^{2}+S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\).

Доказателство.

\(4 \sigma_{11}^{2}=\left(\overrightarrow{A_{2} B_{1}} \times \overrightarrow{A_{2} C_{1}}\right)^{2}=[(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}) \times(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})]^{2}=(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^{2}=\)

\[ \begin{aligned} = & 4 S^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})+2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})+2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \\ & 4 \sigma_{12}^{2}=\left(\overrightarrow{A_{1} B_{2}} \times \overrightarrow{A_{1} C_{1}}\right)^{2}=[(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}) \times \overrightarrow{b}]^{2}=4 S^{2}+S_{2}^{2}-2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) \\ & 4 \sigma_{13}^{2}=\left(\overrightarrow{A_{1} C_{2}} \times \overrightarrow{A_{1} B_{1}}\right)^{2}=[(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{a}]^{2}=4 S^{2}+S_{3}^{2}-2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \end{aligned} \] След почленно събиране на тези три равенства получаваме

\[ 4\left(\sigma_{11}^{2}+\sigma_{12}^{2}+\sigma_{13}^{2}\right)=12 S^{2}+2 S_{2}^{2}+2 S_{3}^{2}+2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) \]

В последното равенство заместваме скаларното произведение \(2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})\) от израза за \(S_{1}^{2}\), получен при доказателството на твърдение 2. Така получаваме равенството \(4\left(\sigma_{11}^{2}+\sigma_{12}^{2}+\sigma_{13}^{2}\right)=12 S^{2}+S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\). Аналогично се доказва, че \(4\left(\sigma_{21}^{2}+\sigma_{22}^{2}+\sigma_{23}^{2}\right)=12 S^{2}+S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\). С това твърдението е доказано.

4. Една зависимост в пирамида с основа успоредник. Нека е дадена четириъгълна пирамида \(V A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), основата на която е успоредникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) (фиг. 5). Означаваме с \(S\) лицето на основата, а с \(S_{i j}\)– лицето на \(\Delta V A_{i} A_{j}\).

Твърдение 4. \(4\left(S_{13}^{2}+\underline{S_{24}^{2}}\right)=4\left(S_{12}^{2}+S_{23}^{2}+S_{34}^{2}+S_{41}^{2}\right)-S^{2}\).

Доказателство. Нека \(\overrightarrow{A_{1} A_{2}}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{A_{1} A_{4}}=\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{A_{1}} V=\overrightarrow{c}\) (фиг. 5). Тогава

\[ \begin{aligned} & S^{2}=(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^{2}, 4 S_{41}^{2}=(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^{2}, 4 S_{12}^{2}=(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^{2} \\ & 4 S_{23}^{2}=\left(\overrightarrow{A_{2} A_{3}} \times \overrightarrow{A_{2} V}\right)^{2}=[\overrightarrow{b} \times(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})]^{2}=4 S_{41}^{2}+S^{2}+2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) \\ & 4 S_{34}^{2}=\left(\overrightarrow{A_{4} A_{3}} \times \overrightarrow{A_{4} V}\right)^{2}=[\overrightarrow{a} \times(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})]^{2}=4 S_{12}^{2}+S^{2}+2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \\ & 4 S_{24}^{2}=\left(\overrightarrow{A_{2} A_{4}} \times \overrightarrow{A_{2} V}\right)^{2}=[(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \times(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})]^{2}=4 S_{41}^{2}+4 S_{12}^{2}+2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})+ \\ & +2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})+2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \\ & 4 S_{13}^{2}=\left(\overrightarrow{A_{1} A_{3}} \times \overrightarrow{A_{1} V}\right)^{2}=[(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}]^{2}=4 S_{12}^{2}+4 S_{41}^{2}-2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) \end{aligned} \]

От тези равенства лесно се получава равенството в твърдението.

5. Зависимости в тетраедър. Нека е даден тетраедър . Нека е даден тетраедър \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Означаваме лицата на триъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4}, A_{3} A_{4} A_{1}, A_{4} A_{1} A_{2}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3}\) съответно с \(S_{1}, S_{2}, S_{3}\) и \(S_{4}\). Освен това с \(\varphi_{i j}\) означаваме двустенния ъгъл на тетраедъра при рьба \(A_{i} A_{j}\) (фиг. 6).

Твърдение 5.

\(S_{4}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}-2 S_{1} S_{2} \cos \varphi_{43}-2 S_{2} S_{3} \cos \varphi_{41}-2 S_{3} S_{1} \cos \varphi_{42}\).

Доказателство. Нека \(\quad \overrightarrow{S_{1}}=\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A_{4} A_{2}} \times \overrightarrow{A_{4} A_{3}}\right), \quad \overrightarrow{S_{2}}=\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A_{4} A_{3}} \times \overrightarrow{A_{4} A_{1}}\right)\), \(\overrightarrow{S_{3}}=\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A_{4} A_{1}} \times \overrightarrow{A_{4} A_{2}}\right)\) и \(\overrightarrow{S_{4}}=\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A_{3} A_{2}} \times \overrightarrow{A_{3} A_{1}}\right)\) (фиг. 6). Тогава \(\overrightarrow{S_{1}}+\overrightarrow{S_{2}}+\overrightarrow{S_{3}}+\overrightarrow{S_{4}}=\) \(=\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A_{4} A_{2}} \times \overrightarrow{A_{4} A_{3}}+\overrightarrow{A_{2} A_{3}} \times \overrightarrow{A_{4} A_{1}}+\overrightarrow{A_{3} A_{2}} \times \overrightarrow{A_{3} A_{1}}\right)=\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A_{4} A_{2}} \times \overrightarrow{A_{4} A_{3}}+\overrightarrow{A_{2} A_{3}} \times \overrightarrow{A_{4} A_{3}}\right)=\)

\(=\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{A_{4} A_{3}} \times \overrightarrow{A_{4} A_{3}}\right)=\tfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{o}=\overrightarrow{o}\). Следователно \(\overrightarrow{S_{1}}+\overrightarrow{S_{2}}+\overrightarrow{S_{3}}+\overrightarrow{S_{4}}=\overrightarrow{o}\). Това равенство се нарича още теорема за таралежа. Като запишем последното равенство във вида \(-\overrightarrow{S_{4}}=\overrightarrow{S_{1}}+\overrightarrow{S_{2}}+\overrightarrow{S_{3}}\) и повдигнем двете му страни в квадрат, получаваме \(S_{4}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+2 \overrightarrow{S_{1}} \cdot \overrightarrow{S_{2}}+2 \overrightarrow{S_{2}} \cdot \overrightarrow{S_{3}}+2 \overrightarrow{S_{3}} \cdot \overrightarrow{S_{1}}\). Тъй като \(∢\left(\overrightarrow{S_{1}}, \overrightarrow{S_{2}}\right)=\pi-\varphi_{43}\), \(∢\left(\overrightarrow{S_{2}}, \overrightarrow{S_{3}}\right)=\pi-\varphi_{41}\) и \(∢\left(\overrightarrow{S_{3}}, \overrightarrow{S_{1}}\right)=\pi-\varphi_{42}\), от определението за скаларно произведение на вектори получаваме равенството в твърдение 5.

Твърдение 5 се нарича косинусова теорема за тетраедъра.

Нека \(M_{i j}\) е средата на ръба \(A_{i} A_{j}\). С \(\sigma_{14}, \sigma_{24}, \sigma_{34}, \sigma_{12}, \sigma_{13}\) и \(\sigma_{23}\) означаваме лицата съответно на триъгълниците \(A_{1} A_{4} M_{23}, A_{2} A_{4} M_{31}, A_{3} A_{4} M_{12}\), \(A_{1} A_{2} M_{34}, A_{1} A_{3} M_{24}\) и \(A_{2} A_{3} M_{41}\) (фиг. 7).

Твърдение 6. \(4\left(\sigma_{12}^{2}+\sigma_{13}^{2}+\sigma_{14}^{2}\right)=3\left(S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+S_{4}^{2}\right)-S_{1}^{2}\),

\[ 4\left(\sigma_{21}^{2}+\sigma_{23}^{2}+\sigma_{24}^{2}\right)=3\left(S_{3}^{2}+S_{4}^{2}+S_{1}^{2}\right)-S_{2}^{2}, \] \[ \begin{aligned} & 4\left(\sigma_{31}^{2}+\sigma_{32}^{2}+\sigma_{34}^{2}\right)=3\left(S_{4}^{2}+S_{1}^{2}+S_{2}^{2}\right)-S_{3}^{2} \\ & \quad 4\left(\sigma_{41}^{2}+\sigma_{42}^{2}+\sigma_{43}^{2}\right)=3\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right)-S_{4}^{2} \end{aligned} \]

Доказателство. Нека \(\overrightarrow{A_{1} A_{2}}=\overrightarrow{a} \quad \overrightarrow{A_{1} A_{3}}=\overrightarrow{b}\) и \(\overrightarrow{A_{1} A_{4}}=\overrightarrow{c}\) (фиг. 7). Тогава \(4 S_{2}^{2}=(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})^{2}, 4 S_{3}^{2}=(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})^{2}, 4 S_{4}^{2}=(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})^{2}\), \(4 S_{1}^{2}=[(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})]^{2}=4 S_{2}^{2}+4 S_{3}^{2}+4 S_{4}^{2}+2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})+2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})+2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})\)

\(4 \sigma_{41}^{2}=\left(\overrightarrow{M_{23} A_{1}} \times \overrightarrow{M_{23} A_{4}}\right)^{2}=\tfrac{1}{16}[(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \times(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c})]^{2}=\tfrac{1}{4}\left[4 S_{2}^{2}+4 S_{3}^{2}-2(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})\right]\),

\(4 \sigma_{42}^{2}=\left(\overrightarrow{M_{13} A_{2}} \times \overrightarrow{M_{13} A_{4}}\right)^{2}=\tfrac{1}{16}\left[(\overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{a})_{\times}(\overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c})\right]^{2}=\)

\(=\tfrac{1}{4}\left[4 S_{2}^{2}+16 S_{3}^{2}+4 S_{4}^{2}+2(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})+4(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})+4(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})\right]\),

\(4 \sigma_{43}^{2}=\left(\overrightarrow{M_{12} A_{4}} \times \overrightarrow{M_{12} A_{3}}\right)^{2}=\tfrac{1}{16}[(\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{c}) \times(\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b})]^{2}=\) \(=\tfrac{1}{4}\left[16 S_{2}^{2}+4 S_{3}^{2}+4 S_{4}^{2}+4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})+4(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})+2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})\right]\).

От тези равенства лесно се получава \(4\left(\sigma_{41}^{2}+\sigma_{42}^{2}+\sigma_{43}^{2}\right)=3\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right)-S_{4}^{2}\), което е четвъртото равенство в твърдение 6. Другите три равенства се доказват аналогично.

Чрез почленно събиране на четирите равенства в твърдение 6 получаваме следното

Следствие 3. \(\sigma_{12}^{2}+\sigma_{13}^{2}+\sigma_{14}^{2}+\sigma_{23}^{2}+\sigma_{24}^{2}+\sigma_{34}^{2}=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}+S_{4}^{2}\).

REFERENCES

Martinov N. (1989). Analytical geometry. Sofia: Nauka I izkustvo. [Мартинов, Н. (1989). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]

Modenov P. (1969). Analytical geometry. Moscow: Moscow University Press. [Моденов, П. (1969). Аналитическая геометрия. Москва: Московского университета.]

Stanilov G. (1979). Analytical geometry. Sofia: Nauka I izkustvo. [Станилов, Г.(1979). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]