Ivan Stefanov

Mathematics High School – Lovech
1 Acad. Urumov Str.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: vankata068068@abv.bg

Deyan Dimitrov

Mathematics High School – Lovech
1 Acad. Urumov Str.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: dido3637@gmail.com

Borislav Borisov

Mathematics High School – Lovech
1 Acad. Urumov Str.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: borislavst27@gmail.com

Abstract. The paper is an elaboration by high school students under the scientific advices of Assoc. Prof. Dr. Veselin Nenkov. The new results in it were estimated highly during its presentation at the International competition “Methodology and Information Technologies in Education” in 2018 and the work was awarded first prize. It is dedicated to a well-known problem for triangle and quadrilateral areas determined by triangle secants. A general formula is found for the area of one of the triangles. The areas of triangles are determined when obtained by isotomic and isogonal transformations in the plane of a given triangle. What is investigated is the question for equal areas of the obtained triangles and the generating ones.

Keywords: triangle; area; isotomic transformation; isogonal transformation; polynomial root

1. Триъгълник, определен от секущи, делящи страните на даден триъгълник в постоянно отношение. Една известна задача има следната формулировка: Ако страните на триъгълник се разделят с точки по на три равни части и първите (вторите) точки, взети по посока на часовниковата стрелка (или противоположната), се свържат с отсечки със срещуположните им върхове, триъгълникът се разделя на седем части, лицето на всяка от които е кратно на \(\tfrac{1}{21}\) част от лицето на триъгълника (фиг. 1).

В тази задача лицето на централния триъгълник се оказва, че е равно на \(\tfrac{3}{21}=\tfrac{1}{7}\) част от лицето на дадения триъгълник. Аналогично се разглежда случаят, при който страната на триъгълника се разделя на \(n \geq 3\) равни части. В този случай Хауърд Гросман е получил, че лицето на централния триъгълник е равно на \(\tfrac{(n-2)^{2}}{n^{2}-n+1}\) част от лицето на дадения.

Любопитният резултат, получен от Гросман, дава основание за поставяне на следната обща задача: Даден е ∆ABC . Точките \(A_1\) , \(B_1\) и \(C_1\) лежат съответно върху правите BC , CA и AB така, че \(\overline{B A_{1}}:\overline{C A_{1}}=\overline{C B_{1}}: \overline{A B_{1}}=\overline{A C_{1}}: \overline{B C_{1}}=\lambda\) \((\lambda \neq \pm 1,0)\). Ако \(A_{0}=B B_{1} \cap C C_{1}, B_{0}=C C_{1} \cap A A_{1}\) и \(C_{0}=A A_{1} \cap B B_{1}\), да се определи лицето на \(\Delta A_{0} B_{0} C_{0}\) (фиг. 2).

За да решим тази задача, ще използваме барицентрични координати спрямо \(\triangle A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\).

От дефиницията на точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) следва, че техните координати се изразяват по следния начин:

(1)\(A_{1}\left(0, \tfrac{1}{1-\lambda},-\tfrac{\lambda}{1-\lambda}\right), B_{1}\left(-\tfrac{\lambda}{1-\lambda}, 0, \tfrac{1}{1-\lambda}\right), C_{1}\left(\tfrac{1}{1-\lambda},-\tfrac{\lambda}{1-\lambda}, 0\right)\).

Като използваме координатите \((1)\) , представяме правите \(A A_{1}, B B_{1}\) и \(C C_{1}\) с помощта съответно на следните параметрични уравнения:

\(A A_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=1+(1-\lambda) t_{a}, \\ y=-t_{a}, \\ z=\lambda t_{a},\end{array} \quad B B_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda t_{b}, \\ y=1+(1-\lambda) t_{b},, C C_{1} \\ z=-t_{b},\end{array}:\left\{\begin{array}{l}x=-t_{c}, \\ y=\lambda t_{c}, \\ z=1+(1-\lambda) t_{c} .\end{array}\right.\right.\right.\)

След решаване на системите, образувани от уравненията на двойките прави, се получават координатите на точките \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) във вида:

(2)\[ \begin{aligned} & A_{0}\left(-\tfrac{\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \tfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \tfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right), \\ & B_{0}\left(\tfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1},-\tfrac{\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \tfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right), \\ & C_{0}\left(\tfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \tfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1},-\tfrac{\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right) . \end{aligned} \]

(Координатите (2) са валидни и в случая, когато \(\lambda=-1\), т.е когато \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) са средите съответно на \(B C, C A\) и \(A B\). В този случай, както трябва да се очаква, точките \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) съвпадат с медицентъра на \(\triangle A B C\).)

Ориентираното лице на триъгълника с върхове \(M\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)\), \(N\left(x_{N}, y_{N}, z_{N}\right)\) и \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\) се определя по формулата

(3)\[ \tilde{S}_{M N P}=\left|\begin{array}{lll} x_{M} & y_{M} & z_{M} \\ x_{N} & y_{N} & z_{N} \\ x_{P} & y_{P} & z_{P} \end{array}\right| \cdot S \]

където \(S\) е лицето на \(\triangle A B C\).

От (2) и (3) следва, че \(\tilde{S}_{A_{0} B_{0} C_{0}}=\tfrac{(\lambda+1)^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1} \cdot S\). Тъй като коефициентът пред \(S\) е винаги положително число, то \(\Delta A_{0} B_{0} C_{0}\) е винаги еднакво ориентиран с \(\triangle A B C\). Затова в тази формула \(\tilde{S}_{A_{0} B_{0} C_{0}}=S_{A_{0} B_{0} C_{0}}\). Като вземем предвид и факта, че \(\lambda \neq-1\), горната формула може да се запише така:

(4)\[ S_{A_{0} B_{0} C_{0}}=\tfrac{(\lambda+1)^{3}}{\lambda^{3}+1} \cdot S \]

Формулата на Гросман се получава от (4) при \(\lambda=-\tfrac{1}{n-1}\) и \(\lambda=-(n-1)\). При \(\lambda=-\tfrac{1}{2}\) и \(\lambda=-2\) от (4) получаваме резултата, потвърждаващ твърдението на първоначалната задача, който е илюстриран на фиг. 1.

2. Изотомично съответствие в равнината на триъгълник. Две прави през един и същи връх на \(\triangle A B C\) се наричат изотомични, когато пресичат срещуположната на върха страна в точки, симетрични спрямо средата на тази страна (фиг. 3). Ако \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\) е точка в равнината на \(\triangle A B C\), изотомичните на правите \(A P, B P\) и \(C P\) се пресичат в една точка \(P^{\prime \prime}\). Точката \(P^{\prime \prime}\) се нарича изотомична на \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 4). Координатите на \(P^{\prime \prime}\) се изразяват по следния начин:

(5)\(P^{\prime \prime}\left(\tfrac{y_{P} z_{P}}{y_{P} z_{P}+z_{P} x_{P}+x_{P} y_{P}}, \tfrac{z_{P} x_{P}}{y_{P} z_{P}+z_{P} x_{P}+x_{P} y_{P}}, \tfrac{x_{P} y_{P}}{y_{P} z_{P}+z_{P} x_{P}+x_{P} y_{P}}\right)\).

3. Изогонално съответствие в равнината на триъгълник. Две прави през един и същ връх на \(\triangle A B C\) се наричат изогонални, когато са симетрични спрямо ъглополовящата на триъгълника през този връх (фиг. 5). Ако \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\) е точка в равнината на \(\triangle A B C\), изогоналните на правите \(A P\), \(B P\) и \(C P\) се пресичат в една точка \(P^{\prime}\). Точката \(P^{\prime}\) се нарича изогонална на \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 6). Координатите на \(P^{\prime}\) се изразяват по следния начин:

(6) \(P^{\prime}\left(\tfrac{a^{2} y_{P} z_{P}}{a^{2} y_{P} z_{P}+b^{2} z_{P} x_{P}+c^{2} x_{P} y_{P}}, \tfrac{b^{2} z_{P} x_{P}}{a^{2} y_{P} z_{P}+b^{2} z_{P} x_{P}+c^{2} x_{P} y_{P}}, \tfrac{c^{2} x_{P} y_{P}}{a^{2} y_{P} z_{P}+b^{2} z_{P} x_{P}+c^{2} x_{P} y_{P}}\right)\)

4. Триъгълници, определени от изотомичните изогонално спрегнати точки на \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) спрямо \(\triangle A B C\). Ако \(A_{0}^{\prime \prime}, B_{0}^{\prime \prime}\) и \(C_{0}^{\prime \prime}\) са точките, които са изотомични съответно на \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 7), а точките \(A_{0}^{\prime}, B_{0}^{\prime}\) и \(C_{0}^{\prime}\) са изогонално спрегнатите на същите точки спрямо \(\triangle A B C\) (фиг 8), възниква въпросът за определяне на лицата на триъгълниците \(A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) (фиг. 7, 8).

От (2), (5) и (6) за координатите на точките \(A_{0}^{\prime \prime}, B_{0}^{\prime \prime}, C_{0}^{\prime \prime}, A_{0}^{\prime}, B_{0}^{\prime}\) и \(C_{0}^{\prime}\) намираме

(7) \(\begin{gathered} A_{0}^{\prime \prime}\left(\cfrac{-\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right) \\ B_{0}^{\prime \prime}\left(\cfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{-\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right) \\ C_{0}^{\prime \prime}\left(\cfrac{1}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{\lambda^{2}}{\lambda^{2}-\lambda+1}, \cfrac{-\lambda}{\lambda^{2}-\lambda+1}\right) \\ \end{gathered}\)

(8) \(\begin{gathered} A_{0}^{\prime}\left(\cfrac{-\lambda a^{2}}{-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2}}, \cfrac{b^{2}}{-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2}}, \cfrac{\lambda^{2} c^{2}}{-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2}}\right) \\ B_{0}^{\prime}\left(\cfrac{\lambda^{2} a^{2}}{\lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2}}, \cfrac{-\lambda b^{2}}{\lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2}}, \cfrac{c^{2}}{\lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2}}\right) \\ C_{0}^{\prime}\left(\cfrac{a^{2}}{a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2}}, \cfrac{\lambda^{2} b^{2}}{a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2}}, \cfrac{-\lambda c^{2}}{a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2}}\right) \end{gathered}\)

От (3) и (7) следва, че лицето на \(\Delta A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) се определя по формулата

(9)\[ S_{A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}}=\tfrac{(\lambda+1)^{3}}{\lambda^{3}+1} \cdot S \]

От последната формула се вижда, че \(\Delta A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) е винаги еднакво ориентиран с \(\triangle A B C\), а от (4) и (9) следва, че триъгълниците \(A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\) са равнолицеви.

От (3) и (8) се получава, че ориентираното лице на \(\Delta A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) може да се пресметне по формулата

(10)\(\tilde{S}_{A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}}=\tfrac{\left(\lambda^{3}+1\right)^{2} a^{2} b^{2} c^{2}}{\left(-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2}\right)\left(\lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2}\right)\left(a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2}\right)} S\).

От (10) се вижда, че триъгълниците \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A B C\) са противоположно ориентирани (фиг. 9), когато имаме едно или три от неравенствата \(-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2} \lt 0, \quad \lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2} \lt 0\) и \(a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2} \lt 0\). Ако допуснем, че съществува стойност на \(\lambda\), при която са изпълнени едновременно първите две неравенства, след почленното им събиране се получава \(\left(c^{2}+a^{2}\right) \lambda^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right) \lambda+\left(b^{2}+c^{2}\right) \lt 0\). За дискриминантата на квадратния относно \(\lambda\) тричлен имаме неравенството \(-16 S^{2}-\left(5 a^{4}+2 b^{2} c^{2}+2 c^{2} a^{2}\right) \lt 0\). Но това означава, че квадратният тричлен приема положителни стойности за всички \(\lambda\), което противоречи на полученото неравенство. Следователно триъгълниците \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A B C\) са противоположно ориентирани, когато е изпълнено точно едно от горните три неравенства. Това означава, че тези случаи определят множество от триъгълници, в което съществуват триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\), противоположно ориентирани с пораждащите ги триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) (фиг. 9).

Трябва да се отбележи още, че е възможно квадратните тричлени \(-\lambda a^{2}+b^{2}+\lambda^{2} c^{2}, \lambda^{2} a^{2}-\lambda b^{2}+c^{2}\) и \(a^{2}+\lambda^{2} b^{2}-\lambda c^{2}\) да приемат едновременно положителни стойности при всички реални значения на \(\lambda\). Такъв е случаят, когато са изпълнени едновременно неравенствата \(a^{2}-2 b c \lt 0\), \(b^{2}-2 c a \lt 0\) и \(c^{2}-2 a b \lt 0\). Тези неравенства са в сила, когато съответните дискриминанти на квадратните тричлени са отрицателни. Един триъгълник, за който са изпълнени едновременно последните неравенства, е триъгълникът със страни \(a=3, b=4\) и \(c=4,5\) (имаме \(a^{2}-2 b c=-27, b^{2}-2 c a=-11\) и \(c^{2}-2 a b=-3,75\) ). Следователно за този триъгълник не съществуват триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\), които са противоположно ориентирани с него. Това означава, че съществува множество от триъгълници, в което всеки триъгълник \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) е еднакво ориентиран с пораждащия го триъгълник \(A_{0} B_{0} C_{0}\). Лесно се забелязва, че равностранните триъгълници принадлежат на това множество.

5. Равнолицевост на триъгълниците \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\). Беше отбелязано, че триъгълниците \(A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\) винаги са равнолицеви. Така възниква въпросът за определяне на стойностите на \(\lambda\), при които триъгълниците \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\) са равнолицеви. Възможни са два основни случая.

5.1. Триъгълниците \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) са еднакво ориентирани. От (4) и (10) следва, че стойностите на \(\lambda\), при които \(\tilde{S}_{A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}}=S_{A_{0} B_{0} C_{0}}\), са корени на полинома

(11)\[ \varphi(\lambda)=M \lambda^{4}-2 N \lambda^{3}+K \lambda^{2}-2 M \lambda+N, \]

където

(12)\[ \begin{gathered} M=a^{4} b^{2}+b^{4} c^{2}+c^{4} a^{2}-3 a^{2} b^{2} c^{2}, N=a^{2} b^{4}+b^{2} c^{4}+c^{2} a^{4}-3 a^{2} b^{2} c^{2}, \\ K=a^{6}+b^{6}+c^{6}-3 a^{2} b^{2} c^{2} . \end{gathered} \]

Оказва се, че за всички реални стойности на \(a, b, c\) и \(\lambda\) е изпълнено неравенството \(\varphi(\lambda) \geq 0\), като равенство се достига само при \(a=b=c\). Следователно еднакво ориентираните триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) са равнолицеви само когато \(\triangle A B C\) е равностранен. Нещо повече, в този случай \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) са еднакви равностранни триъгълници с обща описана окръжност (фиг. 10).

5.2. Триъгълниците \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) са противоположно ориентирани. От \((4)\) и \((10)\) следва, че стойностите на \(\lambda\), при които \(\tilde{S}_{A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}}=-S_{A_{0} B_{0} C_{0}}\), са корени на полинома

(13)\[ \psi(\lambda)=T \lambda^{6}-U \lambda^{5}+2 V \lambda^{4}-W \lambda^{3}+2 U \lambda^{2}-V \lambda+T \]

където

(14)\[ \begin{gathered} T=2 a^{2} b^{2} c^{2}, U=a^{4} b^{2}+b^{4} c^{2}+c^{4} a^{2}+3 a^{2} b^{2} c^{2} \\ V=a^{2} b^{4}+b^{2} c^{4}+c^{2} a^{4}+3 a^{2} b^{2} c^{2}, W=a^{6}+b^{6}+c^{6}+11 a^{2} b^{2} c^{2} \end{gathered} \]

Оказва се, че в зависимост от \(a, b, c\) полиномът \(\psi(\lambda)\) има най-много четири реални корена. Това означава, че има следните възможности.

1) Съществуват триъгълници \(A B C\), които притежават по четири двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) (фиг. 11).

2) Съществуват триъгълници \(A B C\), които притежават по две двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) (фиг. 12).

3) Съществуват триъгълници \(A B C\), които не притежават нито една двойка равнолицеви триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\). Такъв е триъгълникът \(A B C\) със страни \(a=3,31, b=2,02\) и \(c=0,97\).

Освен споменатите случаи е възможно \(\psi(\lambda)=0\) да има корен при \(\lambda=1\). Нека представим \(\psi(\lambda)\) във вида \(\psi(\lambda)=\psi_{1}(\lambda)(\lambda-1)+U+V-W+2 T\), където

\[ \begin{aligned} & \psi_{1}(\lambda)=T \lambda^{5}-(U-T) \lambda^{4}+(2 V-U+T) \lambda^{3}- \\ & -(U-2 V+W-T) \lambda^{2}+(U+2 V-W+T) \lambda+V+U-W+T \end{aligned} \]

Ако \(r=0\), то \(\lambda=1\) е корен на \(\psi(\lambda)=0\), който няма геометричен смисъл. Тогава според казаното за \(\psi(\lambda)\) полиномът от пета степен \(\psi_{1}(\lambda)\) има най-много три реални корена. Следователно имаме следните възможности.

4) Съществуват триъгълници \(A B C\), които притежават по три двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) (фиг. 13).

5) Съществуват триъгълници \(A B C\), които притежават по една двойка равнолицеви триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) и \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) (фиг. 14).

6. Основни изводи

1) Триъгълникът \(A_{0} B_{0} C_{0}\) е еднакво ориентиран с \(\triangle A B C\) за всички реални стойности на \(\lambda(\lambda \neq \pm 1,0)\).

2) Триъгълниците \(A_{0}^{\prime \prime} B_{0}^{\prime \prime} C_{0}^{\prime \prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\) са еднакво ориентирани и равнолицеви за всички реални стойности на \(\lambda(\lambda \neq \pm 1,0)\).

3) Ако триъгълниците \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\) са еднакво ориентирани, те са равнолицеви тогава и само тогава, когато \(A B C\) е равностранен триъгълник.

4) Множеството на триъгълниците \(A B C\), в което съществуват триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\), противоположно ориентирани с пораждащите ги триъгълници \(A_{0} B_{0} C_{0}\) според броя на двойките равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\), се разлага на пет непресичащи се подмножества:

- подмножество на триъгълниците \(A B C\), които не притежават нито една двойка равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\);

- подмножество на триъгълниците \(A B C\), които притежават точно една двойка равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\);

- подмножество на триъгълниците \(A B C\), които притежават точно две двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\);

- подмножество на триъгълниците \(A B C\), които притежават точно три двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\);

- подмножество на триъгълниците \(A B C\), които притежават точно четири двойки равнолицеви триъгълници \(A_{0}^{\prime} B_{0}^{\prime} C_{0}^{\prime}\) и \(A_{0} B_{0} C_{0}\).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Gardner, M. (1980). Mathematical recreations (In Bulgarian). Tom 3. Sofia: Nauka i Izkustvo. [Гарднер, М. (1980). Математически развлечения. Том 3. София: Наука и изкуство.]

Paskalev, G. & P. Penchev (1983). Problems for mathematical Olympiad preparation (In Bulgarian). Sofia: Narodna Prosveta. [Паскалев, Г. & П. Пенчев. (1983). Задачи за подготовка за математически олимпиади. София: Народна просвета.]

Paskalev, G. & I. Chobanov (1985). Notable points in the triangle (In Bulgarian). Sofia: Narodna Prosveta. [Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна прос вета.]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE. (ISBN 978-954-92139-1-1), 295 pages

Grozdev, S. & Nenkov V. (2012). Three notable points on the medians of a triangle (In Bulgarian). Sofia: Arhimedes 2000. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника. София: Архимед 2000.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). Around the orthocenter in the plain and the space (In Bulgarian). Sofia: Arhimedes 2000. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед 2000.]

Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska, K. (2015). Geometry of complex numbers, Sofia: Arhimedes 2000. (ISBN 978-954-779-1886)

Grozdev, S. & V. Nenkov (2017). Some constructions, generated by the duality principle (In Bulgarian). Mathematics and informatics, 4, 391 – 400. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2017). Няколко конструкции, породени от принципа за дуалност, Математика и информатика, 4, 391 – 400.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2018). Second degree curves and triangles generated by isogonality (In Bulgarian). Mathematics Plus, 1. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2018). Криви от втора степен и триъгълници, породени от изогоналност, Математика плюс, 1.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2018). Counting real zeroes of polynomials by Sturm’s method. Mathematics Plus, 1. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2018). Преброяване на реалните корени на полиноми по метода на Щурм, Математика плюс, 1.]