Abstract. The paper proposes combinations of exponential and trigonometric functions, which are included in transcendental equations. Approaches for their solutions are considered.

Keywords: transcendental equation, exponential equation, trigonometric equation, problem solving

В училищния курс по математика се изучават показателна, логаритмична и тригонометрична функция, а след това и решаване на показателни, логаритмични и тригонометрични уравнения и неравенства. В настоящата статия разглеждаме комбинация от показателна функция и тригонометрична функция в основата на показателно уравнение. Предложените задачи са подходящи за ученици, проявяващи интерес към математиката, и спомагат за повишаване нивото на подготовка за различни математически конкурси, олимпиади и други. За да се решат тези задачи, необходимо е много добро владеене на решаването на различните групи показателни и тригонометрични уравнения. Освен това ученикът трябва да знае свойствата на показателната и тригонометричната функция. На вниманието на читателя предлагаме част от задачите, които сме използвали в час. Разгледаните задачи допринасят за усъвършенстване уменията на учениците; усвояване от тях на различни математически дейности в различни ситуации; повишаване на математическата култура и интелектуалното им развитие. Целта е обвързване на знанията за показателната и тригонометричната функция със съответните групи уравнения. Формират се умения за пренос на знания и обратно, т.е. показателно уравнение – тригонометрично уравнение – показателно уравнение. Освен това, за да открият различните връзки, учениците упражняват методи на научно познание, убеждават се в тяхното значение и у тях се поражда стремеж за овладяването им. Всичко това е необходимо на творческата личност в условията на съвременния живот, когато трябва умело да се използват знанията от една област на науката в друга.

Задача 1. Да се реши уравнението \(9^{\sin ^{2} x}+4.9^{\cos ^{2} x}=15\).

Решение: използваме, че \(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\) и преобразуваме уравнението до вида \(9^{\sin ^{2} x}+4.9^{1-\sin ^{2} x}=15 \Leftrightarrow 9^{\sin ^{2} x}+\tfrac{36}{9^{\sin ^{2} x}}-15=0\). Полагаме \(9^{\sin ^{2} x}=y\), като \(x \in R\) и \(y \in[1 ; 9]\). Получаваме квадратното уравнение \(y^{2}-15 y+36=0\) с корени \(y_{1}=3 \in[1 ; 9]\) и \(y_{2}=12 \notin[1 ; 9]\). Тогава \(9^{\sin ^{2} x}=3 \Leftrightarrow 3^{2 \sin ^{2} x}=3 \Leftrightarrow\) \(2 \sin ^{2} x=1 \Leftrightarrow 1-\cos 2 x=1 \Leftrightarrow \cos 2 x=0\), откъдето \(x=\tfrac{(2 k+1) \pi}{4}, k \in Z\).

Задача 2. Да се реши уравнението \(4.16^{\cos ^{2} x}-17.4^{\cos ^{2} x}+4=0\).

Решение: полагаме \(4^{\cos ^{2} x}=y\), като \(x \in R\) и \(y \in[1 ; 4]\). Получаваме квадратното уравнение \(4 y^{2}-17 y+4=0\) с корени \(y_{1}=4 \in[1 ; 4]\) и \(y_{2}=\tfrac{1}{4} \notin[1 ; 4]\). Тогава \(4^{\cos ^{2} x}=4 \Leftrightarrow \cos ^{2} x=1 \cos x= \pm 1\), т. е. \(x=k \pi, k \in Z\).

Задача 3. Да се реши уравнението \(2^{\sin ^{2} x}+5.2^{\cos ^{2} x}=7\).

Решение: като използваме, че \(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\), последователно получаваме \(2^{\sin ^{2} x}+5.2^{1-\sin ^{2} x}=7,2^{\sin ^{2} x}+5.2 \cdot \tfrac{1}{2^{\sin ^{2} x}}=7,\left(2^{\sin ^{2} x}\right)^{2}-7.2^{\sin ^{2} x}+10=0\). Полагаме \(2^{\sin ^{2} x}=y, y \gt 0\) и решаваме уравнението \(y^{2}-7 y+10=0\), чиито корени са числата 2 и 5 . Тьй като \(0 \leq \sin ^{2} x \leq 1\), то \(2^{0} \lt 2^{\sin ^{2} x} \leq 2^{1}\), т.е. \(1 \lt y \leq 2\). Числото 5 не отговаря на това условие. Тогава \(2^{\sin ^{2} x}=2 \Leftrightarrow \sin ^{2} x=1\), \((\sin x-1)(\sin x+1)=0\). Оттук \(\sin x=1\) и \(x=\tfrac{\pi}{2}+2 k \pi, \quad \sin x=-1\) и \(x=-\tfrac{\pi}{2}+2 k \pi\) са решения на даденото уравнение.

Задача 4. Да се реши уравнението \(49^{\cos x}=49^{\sin x} \cdot 7^{\tfrac{2}{\cos x}}\).

Решение: уравнението може да се запише във вида \(7^{2 \cos x}=7^{2 \sin x} \cdot 7^{\tfrac{2}{\cos x}}\). \(2 \cos ^{2} x=2 \sin x \cos x+2,1+\cos 2 x=\sin 2 x+2, \cos 2 x-\sin 2 x=1\). Полученото уравнение се удовлетворява:

а) от ъглите, за които \(\cos 2 x=1\), а \(\sin 2 x=0\), т.е. от ъглите \(x=k \pi\), където \(k \in Z\).

б) от ъглите, за които \(\cos 2 x=0, \mathrm{a} \sin 2 x=-1\), т.е. от ъглите \(x=\tfrac{3 \pi}{4}+k \pi\), където \(k \in Z\). Непосредствено се проверява, че и двете намерени групи ъгли \(x=k \pi\) и \(x=\tfrac{3 \pi}{4}+k \pi\) удовлетворяват даденото уравнение.

Задача 5. Да се реши уравнението \(10\left(25^{\cos \pi x}-4^{\cos \pi x}\right)=7\left(5^{\cos \pi x}-2^{\cos \pi x}\right)\).

Решение: преобразуваме даденото уравнение във вида \(\left(5^{\cos \pi x}-2^{\cos \pi x}\right)\left[10\left(5^{\cos \pi x}+2^{\cos \pi x}\right)-7\right]=0\). От \(5^{\cos \pi x}-2^{\cos \pi x}=0\) намираме, че \(\cos \pi x=0\), откъдето \(x=\tfrac{2 k+1}{2}, k \in Z\). От \(10\left(5^{\cos \pi x}+2^{\cos \pi x}\right)-7=0\), като използваме, че \(\cos \pi x \geq-1\), получаваме \(5^{\cos \pi x}+2^{\cos \pi x} \geq \tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{2}\). Равенство се достига само за \(\cos \pi x=-1\). Тогава \(x=2 l+1, l \in Z\).

Задача 6. Да се реши уравнението \(2^{\sin ^{2} x} \cdot 2^{\sin ^{2} 2 x} \cdot 2^{\sin ^{2} 3 x}=\sqrt{8}\).

Решение: даденото уравнение записваме във вида \(2^{\sin ^{2} x+\sin ^{2} 2 x+\sin ^{2} 3 x}=2^{\tfrac{3}{2}}\). Оттук получаваме тригонометричното уравнение

\[ \begin{gathered} \sin ^{2} x+\sin ^{2} 2 x+\sin ^{2} 3 x=\tfrac{3}{2} \Leftrightarrow 1-\cos 2 x+1-\cos 4 x+1-\cos 6 x=3 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \cos 2 x+\cos 4 x+\cos 6 x=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \cos 4 x+2 \cos 4 x \cdot \cos 2 x=0 \Leftrightarrow \cos 4 x(1+2 \cos 2 x)=0 \end{gathered} \]

Тогава \(\cos 4 x=0\) или \(\cos 2 x=-\tfrac{1}{2}\). Следователно \(4 x=(2 k+1) \tfrac{\pi}{2}\) или \(2 x= \pm \tfrac{2 \pi}{3}+2 s \pi\), откъдето получаваме, че решенията на даденото уравнение са \(x=(2 k+1) \tfrac{\pi}{8}, k \in Z\) и \(x= \pm \tfrac{\pi}{3}+s \pi, s \in Z\). Задача 7. Да се реши уравнението \(2^{2 \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}-\cos x}=4\).

Решение: допустимите стойности на \(x\) се определят от \(\cos \tfrac{x}{2} \neq 0\). Записваме уравнението във вида \(\quad 2^{2 \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}-\cos x}=2 \Leftrightarrow 2 \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}-\cos x=2\) \(\tfrac{2(1-\cos x)}{\sin x}-\cos x-2=0\). Следователно \(\quad 2-2 \cos x-\sin x \cos x-2 \sin x=0\) \(\Leftrightarrow 2-2(\cos x+\sin x)-\sin x \cos x=0\) (1). Полагаме \(\cos x+\sin x=y\), тогава \(\cos ^{2} x+\sin ^{2} x+2 \sin x \cos x=y^{2} \quad 2 \sin x \cos x=y^{2}-1\). Заместваме в (1) и уравнението спрямо \(y\) приема вида \(y^{2}+4 y-5=0\), корените на което са \(y_{1}=-5\) и \(y_{2}=1\). От \(2 \sin x \cos x=y^{2}-1\) и \(y_{1}=-5\) получаваме \(\sin 2 x=24\), което няма решение. От \(2 \sin x \cos x=y^{2}-1\) и \(y_{2}=1\) получаваме \(\sin 2 x=0\), тогава \(x=\cfrac{k \pi}{2}, k \in Z\) .

Задача 8. Да се реши уравнението \(2 \cos ^{2} \tfrac{x}{2}=3^{x}+3^{-x}\).

Решение: това уравнение е нестандартно, тъй като съдържа функции от различен тип. Могат да се използват оценки на областите от стойности на функциите. Областта на изменение на лявата страна е интервалът \([2 ;+\infty)\) (защото \(3^{x}+3^{-x} \geq 2.3^{\tfrac{x}{2}} .3^{-\tfrac{x}{2}}=2\) ), а на дясната страна е интервалът [ \(0 ; 2\) ], т.е. най-малката стойност отляво е равна на най-голямата стойност отдясно. Следователно уравнението може да има решение само тогава, когато двете му страни едновременно достигнат стойността 2 . Това води до следната система уравнения \(\left\lvert\, \begin{aligned} & 3^{x}+3^{-x}=2 \\ & 2 \cos ^{2} \tfrac{x}{2}=2 .\end{aligned}\right.\)

Първото равенство е възможно само ако \(3^{\tfrac{x}{2}}=3^{-\tfrac{x}{2}}\), т.е. \(x=0\). Чрез непосредствена проверка се установява, че \(x=0\). удовлетворява и второто уравнение в системата. Следователно \(x=0\). е единственото решение на трансцендентното уравнение.

Задача 9. Да се реши уравнението \(2 \cos ^{2}\left(\tfrac{x^{2}+x}{6}\right)=2^{x}+2^{-x}\).

Решение: като използваме, че \(\cos ^{2} \alpha=\tfrac{1+\cos 2 \alpha}{2}\), даденото уравнение записваме във вида \(1+\cos \left(\tfrac{x^{2}+x}{3}\right)=2^{x}+2^{-x}\) (1). Тъй като \(\cos \alpha \in[-1 ; 1]\), то лявата страна на (1) е \(0 \leq 1+\cos \left(\tfrac{x^{2}+x}{3}\right) \leq 2\). Тогава \(2^{x}+2^{-x} \leq 2\) (2), но \(2^{x}+2^{-x} \gt 0\) и следователно можем да умножим двете страни на неравенството (2) с \(2^{x}\). Получаваме \(2^{2 x}-2.2^{x}+1 \leq 0\), т.е. \(\left(2^{x}-1\right)^{2} \leq 0 \Rightarrow\left(2^{x}-1\right)^{2}=0\) \(\Rightarrow 2^{x}=1 \quad x=0\).

Задача 10. Да се реши уравнението \(3^{\left|1-4 x^{2}\right|}=\sin \pi x\).

Решение: от \(\left|1-4 x^{2}\right| \geq 0\) следва \(3^{\left|1-4 x^{2}\right|} \geq 1\), но \(|\sin x| \leq 1\). Тогава записваме системата \(\left\lvert\, \begin{aligned} & \left|1-4 x^{2}\right|=0 \\ & \sin \pi x=1\end{aligned}\right.\) и намираме, че \(x=\tfrac{1}{2}\).

Задача 11. Да се реши уравнението \(\left(4-x^{2}\right)^{-\tfrac{\cos ^{2} x}{1+\cos x}}=\left(4-x^{2}\right)^{-\tfrac{1}{2}}\).

Решение: допустимите стойности на уравнението са \(4-x^{2} \gt 0\) и \(1+\cos x \neq 0\), т.е при \(|x| \lt 2\). Нека \(4-x^{2} \neq 1\), т.е. \(x \neq \pm \sqrt{3}\). Тогава \(-\tfrac{\cos ^{2} x}{1+\cos x}=-\tfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2 \cos ^{2} x-\cos x-1=0\), откъдето намираме, че \(\cos x=1\) или \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\). Единственото решение на уравнението \(\cos x=1\) в интервала \((-2 ; 2)\) е \(x=0\) а уравнението \(\cos x=-\tfrac{1}{2}\). няма решение в този интервал. Равенството \(4-x^{2}=1\) е изпълнено тогава и само тогава, когато \(x \neq \pm \sqrt{3}\). Числата \(\sqrt{3}\) и \(-\sqrt{3}\) удовлетворяват даденото уравнение, защото са от интервала \((-2 ; 2)\). Следователно решенията на даденото уравнения са числата \(x_{1}=0\), \(x_{2}=\sqrt{3}\) и \(x_{3}=-\sqrt{3}\).

Задача 12. Дадено е уравнението \(2^{2 \cos x}-3 a .2^{\cos x}+2 a^{2}=0\), където \(a\) е параметър. a ) Да се реши уравнението при \(a=1\).

б) За кои стойности на \(a\) уравнението има решение?

Решение. а) Заместваме \(a=1\) и полагаме \(2^{\cos x}=y\), като \(y \in\left[\tfrac{1}{2} ; 2\right]\). Получаваме квадратното уравнение \(y^{2}-3 y+2=0\) с корени \(y_{1}=1\) и \(y_{2}=2\). От \(2^{\cos x}=1\) следва \(\cos x=0\), откъдето \(x=\tfrac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\). От \(2^{\cos x}=2\) следва, че е изпълнено \(\cos x=1\), тогава \(x=2 k \pi, k \in Z\).

б) Полагаме \(2^{\cos x}=y\), като \(y \in\left[\tfrac{1}{2} ; 2\right]\). Заместваме и получаваме \(y^{2}-3 a y+2 a^{2}=0\). За всяко \(a\) корените са \(y_{1} \doteq a\) и \(y_{2}=2 a\). Сега от неравенствата \(\tfrac{1}{2} \leq a \leq 2\) и \(\tfrac{1}{2} \leq 2 a \leq 2\) следва, че уравнението има решение, когато \(a \in\left[\tfrac{1}{4} ; 2\right]\).

Задача 13. Дадено е уравнението \(3^{2 \cos x}-(a+9) \cdot 3^{\cos x}+9 a=0\), където \(a\) е параметър.

a) Да се реши уравнението при \(a=3\).

б) За кои стойности на \(a\) уравнението има корен \(x=\tfrac{\pi}{2}\) ?

Решение: полагаме \(3^{\cos x}=t\). Тъй като показателната функция при основа 3 е растяща и \(|\cos x| \leq 1\), то \(t \in\left[\tfrac{1}{3} ; 3\right]\). Така получаваме уравнението \(t^{2}-(a+9) \mathrm{t}+9 a=0\).

a) При \(a=3\) уравнението приема вида \(t^{2}-12 \mathrm{t}+27=0\), чиито решения са \(t_{1}=9 \notin\left[\tfrac{1}{3} ; 3\right] \quad\) и \(\quad t_{2}=3 \in\left[\tfrac{1}{3} ; 3\right]\). Следователно \(\quad 3^{\cos x}=3 \Rightarrow \cos x=1\), т.е \(x=2 k \pi, k \in Z\) .

б) Ако \(x=\tfrac{\pi}{2}\) е корен на уравнението, то \(3^{2 \cos \tfrac{\pi}{2}}-(a+9) \cdot 3^{\cos \tfrac{\pi}{2}}+9 a=0\). Тъй като \(\cos \tfrac{\pi}{2}=0\), получаваме \(1-(a+9)+9 a=0\), откъдето намираме, че \(a=1\).

В заключение можем да отбележим, че с помощта на предложените задачи учениците се научават да свързват знания от една тема от училищния курс по математика с друга. По този начин се стимулира разширяването на интереса им, тъй като учебната дейност придобива изследователски характер. Освен това се допринася за: съзнателното и трайно усвояване на знанията; формиране у учениците на умения самостоятелно да получават правдоподобни твърдения от известните им вече знания. Решаването на предложените уравнения подобряват значително логическото мислене, съобразителността, досетливостта и комбинативността – полезни качества за решаване на задачи с повишена трудност. Системното използване на задачи от посочените видове създава условия за активизиране и развитие на познавателните възможности и способности на учениците; съдейства за развитие на творческото им мислене; повишава качеството на математическата им подготовка; позволява им по-уверено да се ориентират в различни закономерности от действителността и да използват активно математически знания.

ЛИТЕРАТУРА

Borodulja, I. (1968). Exponential and logarithmic equations (in Russian). Moscow: Prosveshtenie. [Бородуля, И. (1968). Показателни и логаритмични уравнения и неравенства. Москва: Просвещение.]

Vavilov, V. et al. (1987). Mathematics problems (in Russian). Moscow: Nauka. [Вавилов, В. и др. (1987). Задачи по математика. Москва: Наука.]

Zapryanov, Z., V. Vakarelova & B. Dimitrov (1996). Mathematics for 10-th grade (in Bulgarian). Sofia: Prosveta. [Запрянов, З., В. Вакарелова & Б. Димитров (1996). Математика \(X\) клас. София: Просвета.]

Zapryanov, Z. & N. Raikov (2012). How to solve difficult problems easily (in Bulgarian). Sofia: Prosveta. [Запрянов, З. & Н. Райков (2012). Как да решаваме лесно трудни задачи. София: Просвета.]

Mavrova, R. & D. Boikina (2011). Using extremal values of transcendental functions in solving algebra problems (in Bulgarian). Mathematics Plus, 19 (74), 2, 43 – 46. [Маврова, Р. & Д. Бойкина (2011). Използване на екстремалните стойности на трансцендентни функции при решаване на задачи по алгебра. Математика плюс, 19(74), 2, 43 – 46.]

Stefanova, D. & P. Penev (2016). One more idea for solving trigonometric equations (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 59, 2, \(170-182\). [Стефанова, Д. & П. Пенев (2016). Още една идея за решаване на тригонометрични уравнения. Математика и информатика, 59, 2, 170 – 182. ]

Stefanova, D. & P. Penev (2016). Excel helps in solving some exponential equations (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 59, 5, 368 – 380. [Стефанова, Д. & П. Пенев (2016). Excel в помощ при решаване на някои показателни уравнения. Математика и информатика, 59, 5, 368 – 380. ]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice) . Sofia: ADE. (ISBN 978-954-921391-1), 295 pages.