Abstract. The article examines the concepts of cevian, symmedian, Stewart’ s theorem and some of their applications in simple tasks. The aim is an appropriate upgrade of students geometric knowledge related to the median, the angle bisector and the altitude in the triangle. The proposed research is directed to High school teachers looking for opportunities to develop one of the key competences – the mathematical one.

Keywords: mathematical competence, cevian, symmedian, Stewart’ s theorem

В отговор на очакванията към българското училищно образование и преосмисляне на философията му основна задача на българския учител е да формира у учениците не просто знания и умения, а ключови компетентности, ориентирани към личностно развитие на ученика през целия му живот. Основните начини за развитие на компетентностите са обогатяване на знанията, усъвършенстване на уменията и придобиване на опит. Предложената разработка е в помощ на учителите, търсещи възможности за разширяване на математическата ключова компетентност. Понятията медиана, ъглополовяща и височина в триъгълник са основни геометрични понятия в прогимназиален и гимназиален етап на обучението по математика. Запознаването на учениците от гимназиален етап в ЗИП/ПП, СИП или извънкласните форми на работа по математика с понятията чевиана, симедиана, теоремата на Стюарт и някои техни приложения е подходящо разширяване на тези геометрични познания.

Определение 1. Чевиана \({ }^{1)}\) от даден връх в триъгълник се нарича всяка отсечка, която съединява върха с точка от срещулежащата му страна или нейното продължение.

В някои източници вместо понятието чевиана се използва понятието недиана (Коларов et al. 1989, с.18), (Гроздев & Лесов, 2012), (Гроздев et al., 2012), (Grozdev, 2007), (Grozdev & Nenkov, 2010).

В разработката ще използваме термина недиана, синоним на термина чевиана.

На черт. 1 отсечката \(C D\), където \(D\)– произволна точка от страната \(A B\) или продължението є, е недиана от върха \(C\) в \(\triangle A B C\).

Определение 2. Симедиана от даден връх в триъгълник се нарича отсечка, която съединява върха с точка от срещулежащата му страна и сключва с ъглополовящата от същия връх ъгъл, равен на ъгъла между ъглополовящата и медианата на триъгълника от дадения връх.

На черт. 2 са построени симедианата \(C C_{1}\left(C_{1} \in A B\right)\), ълополовящата \(C L\) на \(\angle A C B=\gamma(L \in A B)\), медианата \(C M(M \in A B)\) и съгласно определението \(\angle C_{1} C L=\angle L C M=\varphi\).

От определенията за медиана, ъглополовяща и височина в даден триъгълник и дадените по-горе определения следва, че можем да разглеждаме медианата, ъглополовящата, височината и симедианата от даден връх в произволен триъгълник като частни случаи на недианата от този връх.

При означенията на черт. 1:

1) ако точката \(D\) е среда на \(A B \Leftrightarrow A D=D B\), то отсечката \(C D\) е медианата \(m_{c}\) от върха \(C\) в \(\triangle A B C\);

2) ако точката \(D\) лежи на страната \(A B\) и \(\angle A C D=\angle B C D=\tfrac{\gamma}{2}\), то отсечката \(C D\) е ъглополовящата \(l_{c}\) на \(\angle A C B=\gamma\) в \(\triangle A B C\);

3) ако точката \(D\) лежи на страната \(A B\) и \(C D \perp A B\), то отсечката \(C D\) е височината \(h_{c}\) от върха \(C\) в \(\triangle A B C\);

4) ако точката \(D\) лежи на страната \(A B\) и \(\angle\left(C D, l_{c}\right)=\angle\left(l_{c}, m_{c}\right)\), където \(l_{c}\) и \(m_{c}\) са съответно ъглополовящата и медианата от върха \(C\), то отсечката \(C D\) е симедианата от върха \(C\) в \(\triangle A B C\).

Теорема (аналог на теоремата за ъглополовящата). Всяка вътрешна симедиана в триъгълник дели срещулежащата страна на отсечки, пропорционални на квадратите на дължините на прилежащите към тях страни.

Доказателство. Ще докажем теоремата за симедианата \(C C_{1}\) при означенията на черт. 2, т. е. ще докажем, че \(\tfrac{A C_{1}}{B C_{1}}=\tfrac{A C^{2}}{B C^{2}}=\tfrac{b^{2}}{a^{2}}\) Аналогично теоремата се доказва и за останалите симедиани.

За лицата на \(\triangle A C_{1} C\) и \(\triangle B M C\) е в сила равенството

(1) \[ \tfrac{S_{\triangle A C_{1} C}}{S_{\triangle B M C}}=\tfrac{\tfrac{1}{2} \cdot A C_{1} \cdot h_{A C_{1}}}{\tfrac{1}{2} \cdot B M \cdot h_{B M}}=\tfrac{\tfrac{1}{2} \cdot A C \cdot C C_{1} \cdot \sin \left(\tfrac{\gamma}{2}-\varphi\right)}{\tfrac{1}{2} \cdot B C \cdot C M \cdot \sin \left(\tfrac{\gamma}{2}-\varphi\right)}, \text { но } h_{\mathrm{AC}_{1}}=h_{\mathrm{BM}} \Rightarrow \tfrac{A C_{1}}{B M}=\tfrac{A C \cdot C C_{1}}{B C \cdot C M} \]

Аналогично за лицата на \(\triangle \mathrm{AMC}\) и \(\Delta \mathrm{BC}_{1} \mathrm{C}\) имаме

(2) \[ \tfrac{S_{\triangle A M C}}{S_{\triangle B C_{1} C} C}=\tfrac{\tfrac{1}{2} \cdot A M \cdot h_{A M}}{\tfrac{1}{2} \cdot B C_{1} \cdot h_{B C_{1}}}=\tfrac{\tfrac{1}{2} \cdot A C \cdot C M \cdot \sin \left(\tfrac{\gamma}{2}+\varphi\right)}{\tfrac{1}{2} \cdot B C \cdot C C_{1} \cdot \sin \left(\tfrac{\gamma}{2}+\varphi\right)}, \text { но } h_{\mathrm{AM}}=h_{\mathrm{BC}_{1}} \Rightarrow \tfrac{A M}{B C_{1}}=\tfrac{A C \cdot C M}{B C \cdot C C_{1}} \]

От \(A M=B M\) (\(C M\)– медиана) и почленното умножаване на (1) и (2) получаваме \(\tfrac{A C_{1}}{B C_{1}}=\tfrac{A C^{2}}{B C^{2}}=\tfrac{b^{2}}{a^{2}}\).

Теорема на Стюарт \({ }^{2)}\). Нека е даден \(\triangle A B C\) със страни \(A B=c, B C=a\), \(A C=b\) и произволна точка \(D\), лежаща на страната \(A B\). Ако \(C D=d, A D=m\), и \(D B=n\), то \(c .\left(d^{2}+m n\right)=m \cdot a^{2}+n \cdot b^{2}\) (черт.3).

Доказателство. Нека \(\angle A D C=\varphi\). От косинусова теорема за \(\triangle A D C\) и \(\triangle B D C\) получаваме \(A C^{2}=C D^{2}+A D^{2}-2 . A D . C D . \cos \varphi\) (1) и \(B C^{2}=C D^{2}+D B^{2}-2 \cdot D B \cdot C D \cdot \cos \left(180^{0}-\varphi\right)\).

Но \(\cos \left(180^{\circ}-\varphi\right)=-\cos \varphi\), откъдетоследва \(B C^{2}=C D^{2}+D B^{2}+2 . D B . C D . \cos \varphi\) (2).

Умножаваме двете страни на първото и второто равенство съответно с \(D B\) и \(A D\) и събираме почленно, в резултат на което по-лучаваме последователно

\[ \begin{aligned} & A C^{2} \cdot D B+B C^{2} \cdot A D=C D^{2} \cdot D B+A D^{2} \cdot D B+C D^{2} \cdot A D+D B^{2} \cdot A D= \\ & =C D^{2} \cdot(A D+D B)+A D \cdot D B \cdot(A D+D B)=C D^{2} \cdot A B+A D \cdot D B \cdot A B=A B \cdot\left(C D^{2}+A D \cdot D B\right) \end{aligned} \]

Окончателно получаваме \(c .\left(d^{2}+m n\right)=m . a^{2}+n . b^{2} \Leftrightarrow d^{2}=\tfrac{m . a^{2}+n . b^{2}}{c}-m . n\)

(последното равенство е известно още като уравнение на вятърната мелница).

Твърдението може да бъде доказано и с теоремата на Питагор (задача № 8).

Отделно ще разгледаме теоремата на Стюарт в случаите, когато точката D е от продължението на страната AB (задачи № 9 и № 10).

Чрез теоремата на Стюарт може да се намери дължината на всяка недиана в триъгълник.

Следствия от теоремата на Стюарт

Даден е \(\triangle A B C\) съе страни \(A B=c, B C=a, A C=b\) и точка \(D\), лежаща на страната \(A B\), като \(C D=d, A D=m\) и \(D B=n\).

(1) Нека точката \(D\) е среда на \(A B, A D=D B\) (т. е. \(C D\)– медиана) \(\Leftrightarrow m=n=\tfrac{c}{2}\) \(\Rightarrow C D^{2}=d^{2}=\tfrac{m \cdot a^{2}+n \cdot b^{2}}{c}-m \cdot n=\tfrac{\tfrac{c}{2} \cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)}{c}-\tfrac{c^{2}}{4}=\tfrac{2 \cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)-c^{2}}{4} \Rightarrow\) медианата \(C D=m_{c}=\tfrac{1}{2} \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}\right)-c^{2}}\), което учениците знаят от Х клас.

(2) Нека точката \(D\) лежи на страната \(A B\) и \(\tfrac{A D}{D B}=\tfrac{A C}{B C} \Leftrightarrow \tfrac{m}{n}=\tfrac{b}{a}\) (т.е. \(C D\)– ъглополовяща) и тъй като \(A D+D B=A B \Leftrightarrow m+n=c \Rightarrow m=\tfrac{b c}{a+b}, n=\tfrac{a c}{a+b} \Rightarrow\)

\[ C D^{2}=d^{2}=\tfrac{m \cdot a^{2}+n \cdot b^{2}}{c}-m \cdot n=\tfrac{\tfrac{b c}{a+b} \cdot a^{2}+\tfrac{a c}{a+b} \cdot b^{2}}{c}-\tfrac{a b c^{2}}{(a+b)^{2}}=a b-\tfrac{a b c^{2}}{(a+b)^{2}} \quad \Rightarrow \]

ъглополовящата \(C D=l_{c}=\sqrt{a b-\tfrac{a b c^{2}}{(a+b)^{2}}}\), което учениците знаят от Х клас.

(3) Нека точката \(D\) лежи на страната \(A B\) и \(\mathrm{CD} \perp A B\) (т. е. \(C D\)– височина) \(\Rightarrow\)

\[ \begin{aligned} & A D=A C \cdot \cos \angle C A D \Leftrightarrow m=b \cdot \cos \alpha \text { и } D B=B C \cdot \cos \angle C B D \Leftrightarrow n=a \cdot \cos \beta \Rightarrow \\ & C D^{2}=d^{2}=\tfrac{m \cdot a^{2}+n \cdot b^{2}}{c}-m \cdot n=\tfrac{b \cdot \cos \alpha \cdot a^{2}+a \cdot \cos \beta \cdot b^{2}}{c}-a \cdot b \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta, \end{aligned} \] но от косинусова теорема \(\cos \alpha=\tfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b}\) и \(\cos \beta=\tfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a}\), откъдето следва, че \(C D^{2}=d^{2}=\tfrac{b \cdot \tfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \cdot a^{2}+a \cdot \tfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c} \cdot b^{2}}{c}-a \cdot b \cdot \tfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \cdot \tfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\)

\( =\cfrac{2 \cdot a^{2} \cdot b^{2}+2 \cdot a^{2} \cdot c^{2}+2 \cdot b^{2} \cdot c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{4 \cdot c^{2}} \Rightarrow \) височината CD = \( =h_{c}=\cfrac{1}{2 \cdot c} \sqrt{2 \cdot\left(a^{2} \cdot b^{2}+a^{2} \cdot c^{2}+b^{2} \cdot c^{2}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)} . \)

Чрез тази формула може да се намери директно дължината на всяка височина в триъгълник, ако са дадени неговите страни. Без познанията за теоремата на Стюарт това се постига чрез пресмятане на лицето на триъгълника по Херонова формула и използване на равенствата \(h_{a}=\cfrac{2 . S}{a}, h_{b}=\cfrac{2 . S}{b}, h_{c}=\cfrac{2 . S}{c}\) .

(4) Нека точката \(D\) лежи на страната \(A B\) и \(\tfrac{A D}{D B}=\tfrac{A C^{2}}{B C^{2}} \Leftrightarrow \tfrac{m}{n}=\tfrac{b^{2}}{a^{2}}\) (т. е. \(C D-\) симедиана) и тъй като \(A D+B C=A B \Leftrightarrow m+n=c \Rightarrow m=\tfrac{b^{2} \cdot c}{a^{2}+b^{2}}, n=\tfrac{a^{2} \cdot c}{a^{2}+b^{2}}\)

\[ \Rightarrow C D^{2}=d^{2}=\tfrac{m \cdot a^{2}+n \cdot b^{2}}{c}-m \cdot n=\tfrac{\tfrac{b^{2} \cdot c}{a^{2}+b^{2}} \cdot a^{2}+\tfrac{a^{2} c}{a^{2}+b^{2}} \cdot b^{2}}{c}-\tfrac{a^{2} \cdot b^{2} \cdot c^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}} \Rightarrow \] дължината на симедианата \(C D=\tfrac{a b}{a^{2}+b^{2}} \cdot \sqrt{2 \cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)-c^{2}}\).

Приложения в задачи

Задача 1. Недианите \(B D\) и \(B E\) на \(\triangle A B C\) разделят \(\angle B\) на три равни части. Да се намерят отсечките \(A D, D E\) и \(E C\), ако \(A B: B D: B E: B C=\) \(2: \sqrt{3}: 2: 2 \sqrt{3}, A C=12 \mathrm{~cm}\) и \(D\) е между \(A\) и \(E\). Намерете дължините на страните \(A B\) и \(B C\) и недианите \(B D\) и \(B E\).

Решение. Нека \(A B: B D: B E: B C=\) \(2 . k: \sqrt{3} . k: 2 . k: 2 \sqrt{3} . k\), където \(k-\) естествено число (черт.4). Съгласно условието \(B D\)– ъглополовяща в \(\triangle A B E\), откъдето

(1) \(\cfrac{A D}{D E}=\cfrac{A B}{B E} \Leftrightarrow \cfrac{A D}{D E}=\cfrac{2 . k}{2 . k}=1 \Rightarrow A D=D E\)

Съгласно условието BE – ъглополовяща в \(\triangle DBC\) , откъдето

(2) \(\cfrac{D E}{E C}=\cfrac{D B}{B C} \Leftrightarrow \cfrac{D E}{E C}=\cfrac{\sqrt{3} k}{2 \sqrt{3}. k}=\cfrac{1}{2} \Rightarrow E C=2. D E\)

От (1), (2) и \(A C=12 \mathrm{~cm}\), следва, че \(A D=D E=3 \mathrm{~cm}\) и \(E C=6 \mathrm{~cm}\).

Ако използваме теоремата на Стюарт за недианата \(B E\) в \(\triangle D B C\), то

\(B E^{2}=\tfrac{E C \cdot D B^{2}+D E \cdot B C^{2}}{D C}-E C \cdot D E \Leftrightarrow(2 \cdot k)^{2}=\tfrac{6 \cdot(\sqrt{3} \cdot k)^{2}+3 \cdot(2 \sqrt{3} \cdot k)^{2}}{9}-6 \cdot 3\) \(\Rightarrow k^{2}=9 \Rightarrow k=3 \Rightarrow B E=6 \mathrm{~cm}, D B=3 . \sqrt{3} \mathrm{~cm}, B C=6 . \sqrt{3} \mathrm{~cm}\) и тъй като \(A B=B E\), то \(A B=6 \mathrm{~cm}\). Задачата може да бъде решена и по други начини.

Задача 2. Недианите \(A M\) и \(B N\) на \(\triangle A B C\) се пресичат в точка О. Да се намери лицето на \(\triangle A B C\), ако лицата на \(\triangle B M O, \triangle A B O\) и \(\triangle A O N\) са съответно \(1 \mathrm{~cm}^{2}, 4 \mathrm{~cm}^{2}\) и \(6 \mathrm{~cm}^{2}\) (черт.5) .

Решение. За лицата на \(\triangle A B O\) и \(\triangle A O N\) е в сила равенството \(\tfrac{S_{\triangle A B O}}{S_{\triangle A O N}}=\tfrac{\tfrac{1}{2} \cdot B O \cdot h_{B O}}{\tfrac{1}{2} \cdot O N \cdot h_{O N}}\), но \(h_{B O}=h_{O N} \Rightarrow\) \(\tfrac{S_{\triangle A B O}}{S_{\triangle A O N}}=\tfrac{B O}{O N} \Leftrightarrow \tfrac{4}{6}=\tfrac{B O}{O N} \Rightarrow \tfrac{B O}{O N}=\tfrac{2}{3}\).

Аналогично за лицaта на \(\triangle O B M\) и \(\triangle O M N\)

имаме \(\tfrac{S_{\triangle O B M}}{S_{\triangle O M N}}=\tfrac{B O}{O N} \Leftrightarrow \tfrac{1}{S_{\triangle O M N}}=\tfrac{2}{3} \Rightarrow S_{\triangle O M N}=1,5 \mathrm{~cm}^{2}\).

За лицата на \(\triangle N B M\) и \(\triangle N M C\) е в сила равенството \(\tfrac{S_{\triangle A B M}}{S_{\triangle A M C}}=\tfrac{B M}{M C}\), а за лицата на \(\triangle A B M\) и \(\triangle A M C\) имаме \(\tfrac{S_{\triangle N B M}}{S_{\triangle N M C}}=\tfrac{B M}{M C}\), откъдето \(\tfrac{S_{\triangle N B M}}{S_{\triangle N M C}}=\tfrac{S_{\triangle A B M}}{S_{\triangle A M C}} \Rightarrow \tfrac{2,5}{S_{\triangle N M C}}=\tfrac{5}{7,5+S_{\triangle N M C}} \Rightarrow S_{N M C}=7,5 \mathrm{~cm}^{2}\).

\(\Rightarrow S_{A B C}=s_{A B O}+S_{A O N}+s_{O B M}+s_{O M N}+s_{N M C}=4+6+1+1,5+7,5=20 \mathrm{~cm}^{2}\)

Задача 3. Намерете височината \(C D\), медианата \(B M\) и ъглополовящата \(A L\) на \(\triangle A B C, D \in A B, M \in A C, L \in B C\), D∈AB, M∈AC, L∈BC, ако дължините на страните на триъгълника са \(A B=c=10, A C=b=5\) и \(B C=a=\sqrt{77}\).

Решение. Прилагаме изведената формула за пресмятане на височината \(C D=h_{c}=\tfrac{1}{2 \cdot c} \sqrt{2 \cdot\left(a^{2} \cdot b^{2}+a^{2} \cdot c^{2}+b^{2} \cdot c^{2}\right)-\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)}=\tfrac{\sqrt{2\left(\sqrt{77}^{2} \cdot 5^{2}+\sqrt{77}^{2} \cdot 10^{2}+5^{2} \cdot 10^{2}\right)-\left(\sqrt{77}^{4}+5^{4}+10^{4}\right)}}{2 \cdot 10}\)

Без следствията от теоремата на Стюарт, за да намерим височината \(C D\), трябва да пресметнем лицето \(S\) на \(\triangle A B C\) по Хероновата формула \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), където \(p=\tfrac{a+b+c}{n}\), т. е.

\(S=\sqrt{\left(\tfrac{15+\sqrt{77}}{2}\right)\left(\tfrac{15-\sqrt{77}}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{77}+5}{2}\right)\left(\tfrac{\sqrt{77}-5}{2}\right)}=\sqrt{\left(\tfrac{15^{2}-77}{4}\right)\left(\tfrac{77-5^{2}}{4}\right)}=\sqrt{481}\) и от равенството \(h_{c}=\tfrac{2 . S}{c}\) получаваме \(h_{c}=\tfrac{2 . \sqrt{481}}{10}=\tfrac{\sqrt{481}}{5}\).

За намиране на медианата \(B M\) прилагаме познатата формула

\(B M=m_{b}=\tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2\left(a^{2}+c^{2}\right)-b^{2}}=\tfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2\left(\sqrt{77}^{2}+10^{2}\right)-5^{2}}=\tfrac{\sqrt{329}}{2}\).

От формулата \(A L=l_{a}=\sqrt{b-\tfrac{b c a^{2}}{(b+c)^{2}}}\) намираме

\[ A L=l_{a}=\sqrt{5.10-\tfrac{5.10 . \sqrt{77}^{2}}{(5+10)^{2}}}=\sqrt{\tfrac{296}{9}}=\tfrac{2 . \sqrt{74}}{3} . \]

Задача 4. Докажете, че в правоъгълен триъгълник \(\triangle A B C\left(\angle C=90^{\circ}\right)\) симедианата \(C D(D \in A B)\) към хипотенузата съвпада с височината \(h_{c}\) към хипотенузата.

Решение. Съгласно изведената формула симедианата \(C D=\tfrac{a b}{a^{2}+b^{2}} \cdot \sqrt{2 \cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)-c^{2}}\).

По условие \(\triangle A B C\)– правоъгълен, следователно \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) и лицето \(S=\tfrac{a \cdot b}{2}=\tfrac{c \cdot h_{c}}{2}\). Окончателно получаваме \(C D=\tfrac{a b}{c^{2}} \cdot \sqrt{2 \cdot c^{2}-c^{2}}=\tfrac{a \cdot b}{c}=\tfrac{2 \cdot S}{c}=h_{c}\).

Задача 5. Отсечките \(A D\) и \(B F\) са съответно недиана и ъглополовяща в \(\triangle A B C, D \in B C, F \in A C\). Да се намери \(F D\), ако \(A C=7, A F=3, C D=5\) и \(D B=4\).

Решение. \(F C=A C-A F=4, C B=C D+D B=9\) (черт.6) .

От \(B F\)– ъглополовяща, следва

\(\tfrac{A B}{C B}=\tfrac{A F}{F C} \Leftrightarrow \tfrac{A B}{9}=\tfrac{3}{4} \Rightarrow A B=\tfrac{27}{4}=6 \tfrac{3}{4}\). Ђглополовящата \(B F=\sqrt{A B \cdot B C-A F \cdot F C}=\sqrt{\tfrac{27}{4} \cdot 9-3.4}=\sqrt{\tfrac{195}{4}}\).

Прилагаме теоремата на Стюарт за недианата \(F D\) в \(\triangle B C F\) и получаваме \(F D^{2}=\tfrac{C D \cdot F B^{2}+D B \cdot F C^{2}}{C B}-C D \cdot D B=\tfrac{5 \cdot\left(\sqrt{\tfrac{195}{4}}\right)^{2}+4 \cdot 4^{2}}{9}-5 \cdot 4 \Rightarrow F D=\tfrac{\sqrt{511}}{6}\).

Даденото решение е примерно, задачата може да бъде решена и по други начини.

Задача 6. В окръжност е вписан \(\triangle A B C\), в който \(A C=C B=a\) и \(A B=b\). През върховете \(B\) и \(C\) са построени допирателни, пресичащи се в точка \(P\), а \(D\) е пресечната точка на \(B C\) и \(A P\). Намерете \(C D, D B\) и \(A D\).

Решение. Ако точката О е център на описаната окръжност \(k\), то от условието \(A C=C B=a\) следва, че \(\mathrm{O} \in C M\), където \(C M \perp A B, M \in A B\) (черт.7) . Построяваме допирателните към \(k\) в точките \(B\) и \(C\) и пресечната им точка \(P\), откъдето следва \(C P=B P\).

От \(C P \perp C O, C M \perp A B \Rightarrow C P \| A B\)

\(\begin{aligned} &\Rightarrow \angle P C B=\angle A B C \text { като кръстни ъгли} \quad\quad&(1).\\ &A C=C B \Rightarrow \angle C A B=\angle A B C &(2)\ \\ &\text{ и от } CP=BP\Rightarrow \angle PCB=\angle CBP &(3). \end{aligned}\)

Освен това \(\angle C D P=\angle A D B\) като връхни ъгли (4). От подобието на \(\triangle A B C\) и \(\triangle C B P\) съгласно (1), (2) и (3) следва \(\tfrac{A B}{C B}=\tfrac{C B}{C P} \Leftrightarrow \tfrac{b}{a}=\tfrac{a}{C P} \Rightarrow C P=\tfrac{a^{2}}{b}\). От подобието на \(\triangle P D C\) и \(\triangle A D B\) съгласно (1) и (4) следва \(\tfrac{C P}{A B}=\tfrac{C D}{D B} \Leftrightarrow \tfrac{\tfrac{a^{2}}{b}}{b}=\tfrac{x}{y} \Rightarrow \tfrac{x}{y}=\tfrac{a^{2}}{b^{2}}(5)\), където \(x=C D, y=D B\).

Но \(C D+D B=C B \Leftrightarrow x+y=a\) (6). От (5) и (6) получавамесистемата \(\left\lvert\, \begin{aligned} & \cfrac{x}{y}=\cfrac{a^{2}}{b^{2}} \\ & x+y=a \end{aligned}\right.\) с решения \(x=C D=\tfrac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}, y=D B=\tfrac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\). Прилагаме теоремата на Стюарт за недианата \(A D\) в \(\triangle A B C\) и получаваме

\[ \begin{aligned} & A D^{2}=\tfrac{C D \cdot A B^{2}+D B \cdot A C^{2}}{C B}-C D \cdot D B==\tfrac{\tfrac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}} \cdot b^{2}+\tfrac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \cdot a^{2}}{a}-\tfrac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}} \cdot \tfrac{a b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \\ & \Rightarrow A D=\tfrac{a b}{a^{2}+b^{2}} \cdot \sqrt{2 b^{2}+a^{2}} \end{aligned} \] По-наблюдателните ученици могат още от равенство (5) да стигнат до извода, че AD е симедиана и да намерят дължината є по съответната формула.

Задача \(7^{3)}\). Отсечката \(A M(M \in B C)\) е недиана в равнобедрения правоъгълен \(\triangle A B C(A C=B C)\). Да се намери \(\sin \angle C A M\), ако \(\sin \angle M A B=1-k\). При коя стойност на \(k\) недианата \(A M\) е ъглополовяща на \(\angle C A B\) ?

Решение. Нека \(\angle M A B=\alpha \Rightarrow \sin \angle C A M=\sin \left(45^{\circ}-a\right)\)

\(\Rightarrow \sin \angle C A M=\tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \alpha-\tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \alpha=\tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1-(1-k)^{2}}-\tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot(1-k)\)

\(\Rightarrow \sin \angle C A M=\tfrac{\sqrt{2} \cdot\left(\sqrt{2 k-k^{2}}+k-1\right)}{2}\).

Ако \(A M\) е ъглополовяща на \(\angle C A B\), то \(\sin \angle M A B=1-k=\sin \tfrac{45^{\circ}}{2}\), но

\(\sin \tfrac{45^{0}}{2}=\sqrt{\tfrac{1-\cos 45^{0}}{2}}=\sqrt{\tfrac{1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\tfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \Rightarrow 1-k=\tfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \Rightarrow k=\tfrac{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)

Задачи за самостоятелна работа

Задача 8. Докажете теоремата на Стюарт чрез теоремата на Питагор.

Упътване \({ }^{4)}\) : постройте височината \(C H(H \in A B)\) и при означенията на черт.9 приложете Питагорова теорема за \(\triangle H B C, \triangle A H C\) и \(\triangle D H C\) и идеята от доказателството чрез косинусова теорема.

Задача 9. Нека е даден \(\triangle A B C\) със страни \(A B=c, B C=a, A C=b\) и точка \(D\), лежаща на правата \(A B\). Ако точката \(B\) лежи между точките \(A\) и \(D, C D=d\), \(A D=m\) и \(D B=n\), то докажете, че \(c .\left(d^{2}-m n\right)=m . a^{2}-n . b^{2}\).

Упътване. Приложете теоремата на Стюарт за недианата \(C B\) в \(\triangle A D C\).

Задача 10. Нека е даден \(\triangle A B C\) със страни \(A B=c, B C=a, A C=b\) и точка \(D\), лежаща на правата \(A B\). Ако точката \(A\) лежи между точките \(D\) и \(B, C D=d\), \(A D=m\) и \(D B=n\), то докажете, че \(c .\left(d^{2}-m n\right)=-m . a^{2}+n . b^{2}\).

Упътване: приложете теоремата на Стюарт за недианата \(C A\) в \(\triangle D B C\).

NOTES / БЕЛЕЖКИ:

1. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1190794

2. https://bg.wikipedia.org/wiki/Теорема_на_Стюарт

3. https://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=13068

4. https://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=9564

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Kolarov, K., V. Mihaylov, P. Arnaudov, H. Lesov & U. Batalska (1989). Sbornik ot zadachi po geometriya VII – X klas (s.18, 25, 45, 66, 113). Sofia: Izd. „Narodna prosveta“. [Коларов, К., В. Михайлов, П. Арнаудов, Х. Лесов & У. Баталска (1989). Сборник от задачи по геометрия VII – X клас (с.18, 25, 45, 66, 113) . София: Народна просвета.]

Paskalev, G. & I. Chobanov (1985). Zabelezhitelni tochki v triagalnika (s. 81). Sofia: Izd. „Narodna prosveta“. [Паскалев, Г. & И. Чобанов (1985). Забележителни точки в триъгълника (с. 81) . София: Народна просвета.]

Grozdev , S. & H. Lesov (2012). Zimni matematicheski sastezaniya. Sofia: VUZF. (ISBN 978-954-8590-17-4), 351 stranitsi. [Гроздев, С. & Х. Лесов (2012). Зимни математически състезания. София: ВУЗФ. (ISBN 978-954-8590-17-4), 351 страници.]

Grozdev, S., V. Nenkov & S. Doychev (nauchna redaktsiya) (2012). Za visoki postizheniya v matematikata (v pomosht na uchitelya). Sofia: Fondatsii “M. Balkanski” i “Amerika za Balgaria”. (ISBN 978-95492830-3-7), 204 stranitsi. [ Гроздев, С., В. Ненков & С. Дойчев (научна редакция) (2012). За високи постижения в математиката (в помощ на учителя) . София: Фондации „М. Балкански“ и „Америка за България“. (ISBN 978-954-92830-3-7), 204 страници.]

Grozdev , S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice) . Sofia: ADE. (ISBN 978-954-92139-1-1), 295 pages.

Grozdev , S. & V . Nenkov (2010). T wo Remarkable Points of the Triangle Geometry . Resear ch and Education in Mathematics, Informatics and their Applications (REMIA 2010), Proceedings of the Anniversary International Confer ence Dedicated to the 40-th Anniversary of the Faculty of Mathematics and Informatics, Plovdiv University, 10 – 12 December, 2010, Plovdiv, 349 – 354 (ISBN 978954-423-648-9).