Резюме. В настоящата работа, педагогическа по своя характер, е представен подход за първоначално запознаване с квантовото поведение на микрочастиците в случай на едномерно движение, при което потенциалната им енергия е постоянна, но се променя скокообразно при преминаване от една област в друга. Методът се базира на отчитането на вълновите свойства и изхожда от разбирането, че състоянието на всяка микрочастица се описва с вълнова функция, която е дефинирана за всяко \(x\). Тази функция удовлетворява принципа на суперпозицията и при свободно движение представлява вълна на Дьо Бройл. Физическата постановка на задачата определя и поведението на вълновата функция в класически забранената област – вълната на Дьо Бройл се превръща в затихваща експонента, като използваме явната параметрична зависимост от енергията на частицата. Стандартните изисквания за еднозначност, ограниченост и непрекъснатост на вълновата функция водят до еднозначно описание на физическата ситуация. Много полезна се оказва аналогията с поведението на електромагнитните вълни в оптиката. Като базов пример е взета задачата за движение на частица в поле с форма на потенциално стъпало и е приведено подробно решение.

Ключови думи: квантова физика; просто въведение

Въведение

Квантовата механика е основата на съвременната физика. Тя се формира като пълноценна физична теория в първата половина на ХХ век. Като правило, се изучава в рамките на университетския курс по физика. Овладяването на квантовата механика в нейната пълнота е съпроводено с две основни трудности. Първата е усвояването на разнообразния и богат математичен апарат, включващ частни диференциални уравнения, функционален анализ, специални функции и т.н. Втората, при това по-съществената, е осъзнаването на парадоксалността в поведението на микрочастиците, от гледна точка на описанието им в рамките на класическата механика, и необходимостта от въвеждането на нови понятия. За да се преодолеят усещането за дискомфорт при ползването на тези непривични понятия и комплексът за непълноценност, който неизбежно възниква в случая, има само един начин: за да се разбере тяхната същност, с тях трябва да се свикне. За тази цел е полезно да се използват аналогии между явления от различни области на физиката.

Основно свойство на микрочастиците е техният корпускулярно-вълнов дуализъм. Какво се подразбира под това понятие? В класическата физика широко се използват моделите на материална точка и вълна. Поотделно не е трудно да си ги представим. Материалната точка се свързва с частица (корпускула), а вълната – с произволна по природа вълна (вълна върху водна повърхност, звукова вълна, светлинна вълна). Оказва се, че електроните и другите микрочастици (протони, неутрони, атоми, молекули и всички елементарни частици) проявяват не само корпускулярни, но и вълнови свойства, а произволни по природа вълни – корпускулярни свойства. Колкото и да е удивително, квантовата механика успява да обедини в описанието несъчетаемите за класическата механика свойства – корпускулярните и вълновите свойства на един и същ обект, напр. електрона.

Основните особености на квантовата механика се разкриват в опита на Юнг, проведен с електрони. Този опит, блестящо анализиран в лекциите на Ричард Файнман (Feynman et al., 1963), води до следното заключение: електроните винаги попадат върху екрана цели, като частици, но мястото им не е еднозначно определено. Вероятността за попадане на електрон в дадена точка от екрана е разпределена така, както интензивността на вълните в опита на Юнг. В този смисъл, електронът има поведение и като частица, и като вълна. Опитът на Юнг с електрони не може да бъде обяснен, ако се придържаме към схващането, че всеки електрон се движи по определена траектория, т.е. във всеки момент частицата има определено положение и импулс (скорост). Те определят състоянието на частицата в класическата механика. За да може да се обясни опитът на Юнг, трябва да се формулира по нов начин понятието състояние.

В квантовата механика се приема, че състоянието се задава с вълнова функция \(\Psi(x, t)\) (x, t) (в едномерния случай), чрез която се пресмятат вероятностите за реализация на едно или друго положение в даден момент:

(1a)\[ d P(x, t)=|\Psi(x, t)|^{2} d x \]

е вероятността частицата да се намира в интервала от \(x\) до \(x+d x\), когато състоянието на частицата е \(\Psi(x, t)\). Особено важно е, че тази функция е зададена в цялото пространство! Тя трябва да удовлетворява изисквания за еднозначност, ограниченост и непрекъснатост и да бъде нормирана – напр. чрез равенството

(1b)\[ \int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x, t)|^{2} d x=1 \]

или с друго условие, еквивалентно на горното равенство (Landau & Lifshitz, 1972).

За да може да се обясни интерференчната картина в опита на Юнг с електрони, вълновата функция трябва да удовлетворява принципа на суперпозицията. Ако \(\Psi_{1}(x, t)\) и \(\Psi_{2}(x, t)\) са две различни състояния на частицата, то възможно състояние е

(2)\[ \Psi(x, t)=c_{1} \Psi_{1}(x, t)+c_{2} \Psi_{2}(x, t) \]

с произволни комплексни числа \(c_{1}\) и \(c_{2}\). Квантовомеханичният принцип на суперпозицията на състоянията няма аналог в класическата механика. Налице е фундаментална разлика между състоянията \(\Psi_{1}(x, t)\) и \(\Psi_{2}(x, t)\), , от една страна, и състоянието \(\Psi(x, t)\), , от друга. Нека състоянията 1 и 2 са състояния с определена а енергия \(E_{1}\) и \(E_{2}\) съответно. Каква енергия има частицата в състояние \(\Psi(x, t)\), t) , което е суперпозиция на 1 и 2? Отговорът е, че частицата няма определена енергия в това състояние. Ако се проведе серия от опити за регистрация на енергията на частицата в квантовото състояние \(\Psi(x, t)\), t) , с вероятност \(P_{1} \sim\left|c_{1}\right|^{2}\) тя ще има енергия \(E_{1}\), а с вероятност \(P_{2} \sim\left|c_{2}\right|^{2}\)-енер- гия \(E_{2}\). Не е възможно да бъде регистрирана друга стойност на енергията на частицата!

За да стане описаният формализъм действащ, трябва да се посочи начин за определяне на вълновата функция при движение на частицата в силово поле с определена структура. През 1926 г. Ервин Шрьодингер формулира основното уравнение на нерелативистката квантова механика, като просто нейно изложение за първоначално запознаване е дадено в Warner & Cheng (2012).

Нашето изложение е свързано непосредствено с хипотезата на Дьо Бройл (Katlov & Kirichenko, 2004), че вълновата функция на свободно движеща се частица с енергия

(3)\[ E=\tfrac{p^{2}}{2 m} \]

е плоска вълна на Дьо Бройл

(4)\[ \Psi(x, t)=A e^{\tfrac{i}{\hbar}(p x-E t)}, \]

като са в сила съотношенията

(5)\[ E=h \nu, \quad p=\tfrac{h}{\lambda} \]

Тъй като енергията е определена с точност до произволна константа \(U_{0}\), съотношението (3) може да бъде заменено с израза

(6)\[ E=\tfrac{p^{2}}{2 m}+U_{0}, \]

при което в съответната област, където \(U_{0} \neq 0\), импулсът става \(p=\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)}\) и при същата енергия \(E\) на частицата дължината на вълната \(\lambda\) се променя.

В настоящата работа е показано как могат да бъдат анализирани чрез описания формализъм основни квантовомеханични задачи при едномерното движение на частица в потенциално поле, включващо няколко участъка с постоянна потенциална енергия, без явно да се използва уравнението на Шрьодингер. По този начин може да се демонстрира „едно от най-прекрасните свойства на квантовата механика – колко много може да се изведе от толкова малко“, както се е изразил Файнман. Читателят ще може да се убеди колко много ефекти могат да бъдат обяснени на базата на въведените по-горе принципи, като изложението предполага само елементарни знания по диференциално и интегрално смятане, както и знания от алгебрата на комплексните числа.

Основна задача

За да изясним каква промяна настъпва с вълновата функция, когато се наблюдава скок на потенциалната енергия, ще разгледаме неограничено едномерно движение на частица с енергия \(E\) в поле с потенциална енергия

(7)\[ U(x)= \begin{cases}0, & x \lt 0 ; \\ U_{0}, & x \geq 0 .\end{cases} \]

Възможни са два случая (фиг. 1) – с \(E \gt U_{0}\) и с \(E \lt U_{0}\) (Karlov & Kirichenko, 2004). В първия случай ( \(E \gt U_{0}\) ) в областта I ( \(x \lt 0\) ) импулсът и дължината на вълната на Дьо Бройл на частицата са съответно

(8a)\[ p=\sqrt{2 m E}, \quad \lambda=\tfrac{h}{p}=\tfrac{h}{\sqrt{2 m E}} \]

а в областта II \((x \gt 0)-\)

(8b)\[ p^{\prime}=\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)}, \quad \lambda^{\prime}=\tfrac{h}{p^{\prime}}=\tfrac{h}{\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)}} \]

Между \(\lambda\) и \(\lambda^{\prime}\) съществува връзката

\[ \lambda^{\prime}=\tfrac{\sqrt{2 m E}}{\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)}} \times \tfrac{h}{\sqrt{2 m E}}=\sqrt{\tfrac{E}{E-U_{0}}} \lambda=\tfrac{\lambda}{n} \]

По аналогия с оптиката областите I и II могат да се интерпретират като еднородни среди с относителен показател на пречупване

\[ =\tfrac{-}{n}=\sqrt{1-\tfrac{E}{E}} \lt 1 \]

Тогава разпространяващата се в посока \(x\) вълна на Дьо Бройл

(9a)\[ \psi_{0}(x, t)=A e^{\tfrac{i}{\hbar}(p x-E t)}=\psi_{0}(x) e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \]

когато достигне границата между двете области, може да се отрази (включително и пълно вътрешно отражение) и да премине. По този начин в областта I се формира отразена вълна

(9b)\[ \psi_{T}(x, t)=C e^{\tfrac{i}{\hbar}\left(p^{\prime} x-E t\right)}=\psi_{T}(x) e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \]

а в областта II – преминала вълна

(9c)\[ \psi_{T}(x, t)=C e^{\tfrac{i}{\hbar}\left(p^{\prime} x-E t\right)}=\psi_{T}(x) e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \]

Когато източник изстрелва постоянно частици в посока \(x\), може да се реализира стационарна ситуация. В областта I ще имаме наслагване на падаща вълна и отразена вълна, т.е.

(10a)\[ \psi_{\mathrm{I}}(x, t)=A e^{\tfrac{i}{\hbar}(p x-E t)}+B e^{-\tfrac{i}{\hbar}(p x+E t)}=\left(A e^{\tfrac{i}{\hbar} p x}+B e^{-\tfrac{i}{\hbar} p x}\right) e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t}, \]

а в областта II – само преминала вълна

(10b)\[ \psi_{\mathrm{II}}(x, t)=C e^{\tfrac{i}{\hbar}\left(p^{\prime} x-E t\right)}=C e^{\tfrac{i}{\hbar} p^{\prime} x} e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \]

Във втория случай (\(E \lt U_{0}\) ) за областта I ситуацията не се променя.

В областта II обаче имаме

(11)\[ p^{\prime}=\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)}=\sqrt{-2 m\left(U_{0}-E\right)}=i \sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)}=i q, \]

при което преминалата вълна се трансформира в затихваща, т.е. в сила е съответствието

(12)\[ \psi_{\mathrm{II}}(x, t)=C e^{\tfrac{i}{\hbar}\left(p^{\prime} x-E t\right)} \quad \rightarrow \quad \psi_{\mathrm{II}}(x, t)=C e^{-\tfrac{1}{\hbar} q x} e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \]

Полученият резултат може да бъде обобщен за случай на движение в обратна посока на оста \(x\) в поле с потенциална енергия

\[ U(x)= \begin{cases}U_{0}, & x \lt 0 \\ 0, & x \geq 0\end{cases} \]

В областта \(x \gt 0\) при всяка енергия има падаща и отразена вълна

\[ \psi_{\mathrm{I}}(x, t)=A e^{\tfrac{i}{\hbar}(-p x-E t)}+B e^{\tfrac{i}{\hbar}(p x-E t)}=\left(A e^{-\tfrac{i}{\hbar} p x}+B e^{\tfrac{i}{\hbar} p x}\right) e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} . \]

При \(x \lt 0\), когато \(E \gt U_{0}\), има само преминала вълна

\[ \psi_{\mathrm{II}}(x, t)=C e^{\tfrac{i}{\hbar}\left(-p^{\prime} x-E t\right)}=C e^{-\tfrac{i}{\hbar} p^{\prime} x} e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \] която преминава в затихваща, когато \(E \lt U_{0}\), т.е.

\[ \psi_{\mathrm{II}}(x, t)=C e^{\tfrac{1}{\hbar} q x} e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \]

Следователно за двата случая на разпространение на вълна на Дьо Бройл \(\left(E \gt U_{0}\right)\) можем да запишем общо условие за съответствие при \(E \lt U_{0}\) :

(13)\[ \psi_{\mathrm{II}}(x, t)=C e^{\tfrac{i}{\hbar}\left( \pm p^{\prime} x-E t\right)} \rightarrow \psi_{\mathrm{II}}(x, t)=C e^{-\tfrac{1}{\hbar} q|x|} e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \]

Този резултат е много важен. Въпреки областта II да е класически недостъпна за частицата, в квантовия случай съществува отлична от нула вероятност частицата да се намира в тази област при \(E \lt U_{0}\), като вероятността намалява експоненциално с навлизането – в класически забранената област. Освен това, ако частицата се приближава към потенциална стена с височина \(U_{0} \rightarrow \infty\), функцията \(\Psi_{\mathbb{I}}(x, t) \rightarrow 0\),t) → 0 , т.е. в област, където потенциалната енергия е безкрайно голяма, вълновата функция е равна на нула. Вероятността частицата да попадне на това място, е нула!

В заключение можем да дефинираме следните правила при задаване на вълновата функция за \(E \lt U_{0}\), когато потенциалната енергия търпи скок при \(x=0\) :

(14) \(\begin{array}{ccc} \begin{gathered} \psi_{\mathrm{I}}(x, t)=\left(A e^{\tfrac{i}{\hbar} p x}+B e^{-\tfrac{i}{\hbar} p x}\right) e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \\ \text { класически разрешена } \\ \text { област } \end{gathered} & \begin{gathered}\rightarrow\\ \\ \\ \end{gathered} & \begin{gathered} \psi_{\mathrm{II}}(x, t)=C e^{-\tfrac{1}{\hbar} q|x|} e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \\ \text { класически забранена } \\ \text { област } \end{gathered} \end{array}\)

Вълновата функция на частицата трябва да бъде еднозначна, непрекъсната и ограничена за всяко \(x\). В разглеждания случай еднозначността и непрекъснатостта на функцията

(15)\[ \psi(x, t)= \begin{cases}\psi_{\mathrm{I}}(x, t) & x \lt 0 \\ \psi_{\mathrm{I}}(x, t) & x \gt 0\end{cases} \]

не са осигурени при \(x=0\). Затова налагаме следните условия

(16a) \(\psi_{\mathrm{I}}(0, t)=\psi_{\mathrm{I}}(0, t) \text { (непрекъснатост) }, \)

(16b) \(\psi_{\mathrm{I}}^{\prime}(0, t)=\psi_{\mathrm{I}}^{\prime}(0, t) \text { (гладък преход). } \)

Основен пример

Нека разгледаме подробно двата възможни случая.

1. \(E \gt U_{0}\). Условията при \(x=0\) дават следните връзки между коефициентите:

\[ \begin{array}{cc} A+B=C, & p(A-B)=p^{\prime} C \\ B=\tfrac{p-p^{\prime}}{p+p^{\prime}} A, & C=\tfrac{2 p}{p+p^{\prime}} A . \end{array} \]

Тогава вълновата функция на частицата има вида

\[ \begin{gathered} \psi_{\mathrm{I}}(x, t)=A\left(e^{\tfrac{i}{\hbar} p x}+\tfrac{p-p^{\prime}}{p+p^{\prime}} e^{-\tfrac{i}{\hbar} p x}\right) e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \\ \psi_{\mathrm{II}}(x, t)=A \tfrac{}{p p^{\prime}} e^{\tfrac{i}{\hbar} p^{\prime} x} e^{\tfrac{i}{\hbar} E t} \end{gathered} \]

Тази функция е определена при всички възможни стойности на \(p\) и \(p^{\prime}\), т.е. при всяка стойност на енергията \(E\) на частицата. Е Ето защо частицата има непрекъснат енергетичен спектър. Константата \(A\) може да бъде определена чрез налагане на допълнително условие, например условие за нормировка.

Ако използваме аналогията с флуид с плътност \(\rho\) и скорост \(v\), чиято плътност на масовия поток е \(j=υ \rho\), можем да използваме съответствията

\[ \rho \rightarrow|\psi|^{2}, \quad v \rightarrow \tfrac{p}{m} \text { или } \tfrac{p^{\prime}}{m} . \]

Плътността на потока на вероятността в падащата вълна е

(17)\[ j_{0}=\tfrac{p}{m}\left|\psi_{0}\right|^{2}=\tfrac{p}{m}|A|^{2}, \]

като той може да бъде нормиран на скоростта на частицата, ако изберем \(|A|=1\).

Тогава можем да въведем следните две величини:

(18a)коефициент на отражение \(R=\left|\tfrac{j_{R}}{j_{0}}\right|=\left|\tfrac{B}{A}\right|^{2}=\tfrac{\left(p-p^{\prime}\right)^{2}}{\left(p+p^{\prime}\right)^{2}}=\left(\tfrac{1-\sqrt{1-U_{0} / E}}{1+\sqrt{1-U_{0} / E}}\right)^{2}\),

(18b)коефициент на преминаване \( T=\left|\tfrac{j_{T}}{j_{0}}\right|=\tfrac{p^{\prime}}{p}\left|\tfrac{C}{A}\right|^{2}=\tfrac{4 p p^{\prime}}{\left(p+p^{\prime}\right)^{2}}=4 \tfrac{\sqrt{1-U_{0} / E}}{\left(1+\sqrt{1-U_{0} / E}\right)^{2}} \)

които определят съответно вероятността \(R\) за отразяване от потенциалното стъпало и вероятността \(T\) за преминаване над потенциалното стъпало. Както се вижда, изпълнено е условието

(19)\[ R+T=1 \]

като едновременно \(0 \lt R \lt 1, \quad 0 \lt T \lt 1\). Налице е разлика от класическото поведение, при което се наблюдава само преминаване над бариерата с намалена скорост. В квантовия случай се наблюдава и надбариерно отражение, свързано с вълновите свойства на частиците.

2. \(E \lt U_{0}\). Както следва от (13) и (14), в този случай се променя характерът на вълновата функция в областта \(x \gt 0\)-от осцилираща тя става затихваща. Това е свързано с промяната на импулса \(p^{\prime} \rightarrow i q\). Условията, които трябва да удовлетворява вълновата функция при \(x=0\), се получават от тези за \(E \gt U_{0}\), като се използва замяната \(p^{\prime} \rightarrow i q\). Тогава при всяка енергия \(E \lt U_{0}\) имаме следните изрази за коефициентите

\[ B=\tfrac{p-i q}{p+i q} A, \quad C=\tfrac{2 p}{p+i q} A \] при което вълновата функция на частицата има вида

(20a) \(\psi_{\mathrm{I}}(x, t)=A\left(e^{\tfrac{i}{\hbar} p x}+\tfrac{p-i q}{p+i q} e^{-\tfrac{i}{\hbar} p x}\right) e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \)

(20b) \(\psi_{\mathrm{II}}(x, t)=A \tfrac{2 p}{p+i q} e^{-\tfrac{1}{\hbar} q x} e^{-\tfrac{i}{\hbar} E t} \)

Според определението коефициентът на отражение е

\[ R=\left|\tfrac{j_{R}}{j_{0}}\right|=\left|\tfrac{B}{A}\right|^{2}=\left|\tfrac{p-i q}{p+i q}\right|^{2}=1 \]

Това означава, че коефициентът на преминаване е \(T=0\). В класическия случай се наблюдава подобно поведение – частицата се отразява с вероятност 1 от стъпалото при \(E \lt U_{0}\), тъй като частицата не може да проникне в областта \(x \gt 0\), където кинетичната є енергия трябва да бъде отрицателна. Според квантовата физика частицата може да се намира при \(x \gt 0\) с отлична от нула плътност на вероятност

(21)\[ w_{\mathrm{II}}(x)=\left|\psi_{\mathrm{II}}(x, t)\right|^{2}=\tfrac{4 p^{2}}{p^{2}+q^{2}} e^{-\tfrac{2}{\hbar} q x}=\tfrac{4 p^{2}}{p^{2}+q^{2}} \exp \left[-\tfrac{2}{\hbar} \sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)} x\right] \]

В този израз определящ е експоненциалният множител, който зависи от три величини – масата на частицата \(m\), енергетичната разликата \(U_{0}-E\) и разстоянието от границата на стъпалото. За числена оценка на експоненциалния множител в случай на електрон ( \(m=9,1.10^{-31} \mathrm{~kg}\) ) ще използваме \(U_{0}-E=1 \mathrm{eV}\). При \(\mathrm{x}=10^{-10} \mathrm{~m}\), сравнимо с размерите на атома, имаме

(22a)\[ \exp \left[-\tfrac{2}{\hbar} \sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)} x\right] \approx 0,29 \]

т.е. вероятността за проникване в класически забранената област в дадения случай е достатъчно голяма. За сравнение, когато \(x=10^{-9} \mathrm{~m}\), получаваме

(22b)\[ \exp \left[-\tfrac{2}{\hbar} \sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)} x\right] \approx 4,5.10^{-8} \]

т.е. вероятността вече е пренебрежимо малка. Направените оценки показват, че в разгледания случай електронът със забележима вероятност може да проникне в областта II само на разстояния, сравними с атомните размери. Графически ходът на коефициента на отразяване \(R\) от потенциалното стъпало в зависимост от енергията \(E\) на частицата е показан на фиг. 2. Пълно отражение се наблюдава само при \(0 \lt E \lt U_{0}\).

Интересно е да се направи връзка с аналогично явление в класическата физика – явлението пълно вътрешно отражение във вълновата оптика. То се наблюдава, когато светлината достигне разделителната граница между оптично по-плътна и оптично по-малко плътна среда, т.е. когато относителният показател на пречупване \(n=n_{2} / n_{1} \lt 1\), и е възможно само когато ъгълът на падане е по-голям от граничния ъгъл. Светлината прониква в оптично по-малко плътната среда, като амплитудата є намалява експоненциално с дълбочината на проникване. В оптиката преминаването от режим на отражение и пречупване на светлината към режим на пълно вътрешно отражение се определя от стойностите на ъгъла на падане, докато в квантовата механика (едномерен случай) ролята на параметър, определящ преминаването от режим на отражение и преминаване на частицата през бариерата към режим само на отражение, е енергията є.

Заключение

В работата се използва метод, който отчита вълновите свойства на частиците, и е показано как от вида на вълната на Дьо Бройл може да се конструира вълновата функция в случай на едномерно движение, като потенциалната енергия е постоянна в дадена област, но се променя скокообразно при преминаване от една област в друга. Разгледаният подробно базов пример на движение на частица в поле с форма на потенциално стъпало дава възможност да се анализират трите типа състояния на една микрочастица – с дискретни енергии, с непрекъснато изменяща се енергия и така наречените квазистационарни състояния. Това ще бъде направено във втората част на работата, която се подготвя за печат.

ЛИТЕРАТУРА

Карлов, Н.В. & Кириченко, Н.А. (2004). Начальные главы квантовой механики. Москва: ФИЗМАТЛИТ.

Ландау, Л.Д. & Лифшиц, Е.М. (1972). Краткий курс теоретической физики, кн. 2 – Квантовая механика. Москва: Наука.

REFERENCES

Feynman, R., Leighton, R. & Sands, M. (1963). The Feynman lectures on physics, volume 1, chapter 37. Boston: Addison-Wesley.

Karlov, N.V. & Kirichenko, N.A. (2004). Nachalnie glavi kvantovoj mekhaniki. Moskwa: FIZMATLIT.

Landau, L.D. & Lifshitz, E.M. (1972). Kratkij kurs teoreticheskoj fiziki, kniga 2. Moskwa: Nauka.

Warner, M. & Cheung, A.C.H. (2012). A Cavendish quantum mechanics primer. Oxford: Oxford University Press.